Curator: Malcolm A. H. ciprian marica
Soluții Exacte de Ecuațiile lui Einstein
Relativității lui Einstein este lider teoria spațiu-timp și gravitație: este foarte neliniar. Soluțiile exacte ale ecuațiilor lui Einstein modelează astfel sistemele gravitaționale și permit explorarea matematicii și fizicii teoriei.,
Cuprins
- 1 Rezumat
- 2 ecuațiile lui Einstein
- 3 Efectuarea de ecuații maleabil
- 3.1 grupuri de Simetrie
- 3.2 „Algebric speciale” soluții
- 3.3 Alte ipoteze simplificatoare
- 4 Rezolvarea ecuațiilor
- 5 Unele importante soluții
- 5.1 Schwarzschild și Kerr soluții
- 5.2 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) soluții
- 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) soluții
- 5.4 unde Plane
- 5.,5 Taub-NUT de familie
- 6 Bibliografie
- 7 a se Vedea, de asemenea,
Sumar
ecuațiile lui Einstein a relativitatii generale sunt 10 nonlinearpartial ecuații diferențiale în 4 variabile independente. Acest sistem complicat nu poate fi în general integrat, deși a fost reformulat ca o ecuație integrală auto-cuplată (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Pot fi utilizate aproximări analitice și numericepentru a explora situațiile fizice. Soluții exacte, deși obținute prinimpunând ipoteze simplificatoare, completează astfel de abordări înmai multe moduri., Ei întruchipează complet de neliniaritate, care să permită studiul intreaga domeniul regimuri; ele oferă fundaluri pe care perturbativeapproximations poate fi construit; și acestea permit verificări de numericalaccuracy.
termenul soluție exactă nu este bine definit: de obicei, aceasta înseamnă asolution în cazul în care toate cantitățile sunt exprimate prin funcții elementare sau bine-cunoscut funcții speciale, dar, uneori, acesta este extins toinclude soluții cunoscute numai până la soluția de unul sau moredifferential ecuații., Soluțiile exacte cunoscute sunt obținute dintr-o mare varietate de ipoteze, cea mai importantă dintre acestea fiind impoziția grupurilor de simetrie sau a formelor speciale ale senzorului de curbură. Printre soluțiile cunoscute, unele au fost deosebit de importanteimportanță fizică sau matematică.
un număr de cărți oferă sondaje de soluții exacte, și ar trebui să fieconsultat dacă se dorește detalii mai complete. Pentru un studiu general de soluții care conțin simple icoane energie-momenta dat de vid, electromagnetism și perfectfluids vezi Arthur et al., (2003), pentru neomogene cosmologicalsolutions (definite ca cele care conțin ca un caz special una dintre FLRW modele discutate mai jos) a se vedea Krasi$\acută{\rm n}$de schi (1997), iar pentru studii detaliate de somespecial clase vedea Griffiths (1991) și Belinskii și Verdaguer(2001).pentru interpretările fizice ale multor soluții importante seebi$ \ check {\rm c} \ acut {\rm a} $ k (2000) și Griffiths și Podolsk$\acut{\rm y}$ (2009). Trebuie remarcat faptul că o soluție exactă nu are neapărat ainterpretare unică., De exemplu, printre exemplele date mai târziu soluția Schwarzschild poate fi interpretată ca reprezentând, fie la exterior o regiune dintr-un sphericalmass, sau interacțiunea regiune în urma coliziunii a două particularplane valuri. Un punct legat este că diferite surse pot da naștere la aceeași soluție exactă.
ecuațiile lui Einstein
Teoria Relativității Generale a lui Einstein generalizează teoria gravitației lui Newton la una compatibilă cu relativitatea specială., Modele spațiu andtime puncte ca o (pseudo-)Riemanniene patru-dimensional galeriei cu ametric \(g_{ab}\) de semnătură \(\pm 2\) (semnul alegerea isconventional). Se presupune că particulele de testare se deplasează pe geodezica acestei forțe gravitaționale multiple și maree sunt descrise de curbura sa.
ecuațiile au fost introduse în termeni de coordonate de baza butare frecvent scrisă în forma obținută prin presupunând o tetrada (o alegere de baza tangenta spațiu vectorial baza căror vectori haveconstant scalar produse), sau în termeni de spin-coeficientul de formalism.,
Pentru că pornind de la un set diferit de caracterizarea assumptionsone poate ajunge la aceeași soluție în diferite coordonatele’equivalence problema de a decide când două colectoare sunt (la nivel local) același, adică izometrice, este de importanță. Acest lucru este în mod oficial nedecidabildar în practică poate fi rezolvat, de obicei, folosind metode bazate pe idei de Cartan (vezi capitolul 9 din Stephani et al. (2003)).,aceleași ecuații (mutatis mutandis) au fost folosite și rezolvate în dimensiuni mai mari (vezi inelul negru), cu unele dintre aceleași tehnici, dar până acum a fost explorat foarte puțin din peisajul complet al soluțiilor posibile în 5 sau mai multe dimensiuni.
făcând ecuațiile tractabile
autorii presupun uneori o formă metrică și folosesc Eq. (1) tocalculate energie-impuls(aceasta este deprecated \(g\)-metoda descrisă bySynge (1971)). Deoarece nici o ecuație este de fapt rezolvată, rezultatul doesnot merit fiind numit o soluție., Cu toate acestea, soluțiile exacte sunt obținute în general prin forme mai puțin extreme de simplificare care, pentru o anumită formă de impuls energetic, pot asigura în mod automat că unele dintre ecuații sunt adevărate, lăsând altele să fie rezolvate.
grupuri de simetrie
soluțiile obținute prin astfel de ipoteze sunt acoperite de partea II ofStephani et al. (2003): a se vedea, de asemenea, Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) și Bolejko et al (2010).,
„Algebric speciale” soluții
Un non-zero Weyl tensor are proprietatea că există patru „principal null direcții” (pnd-uri),definit de nul vectori ascultarea\bc}k^bk^c=0.\] Structura algebrică a tensorului Weyl este apoi caracterizată dedacă două sau mai multe dintre PNDs coincid. Atunci când cel puțin două fac, atunci,oferind un impuls adecvat de energie se presupune, tensorul metric poate fisimplificat., Astfel spacetimes sunt cunoscute ca `algebric speciale’, șipoate fi clasificate în Petrov tipuri de numere de coincidentPNDs: detaliile posibile cazuri sunt prezentate în articolul de pe spin-coeficientul de formalism. Pentru energie-impulsurile usuallyconsidered în astfel de spacetimes, vectorul câmp de repetate PND isgeodesic și shearfree de Kundt-Thompson teorema, care (vezi Arthur etal (2003), teorema 7.5) generalizează Goldberg-Sachs teorema. Când doar două PND-uri coincid, spațiul-timp estede Tip Petrov II., În articolul despre formalismul coeficientului de spin, exemplul luisoluțiile Robinson-Trautman (metrici Petrov de tip II în care câmpul PND-urilor repetate este fără răsucire) este derivat în detaliu.soluțiile algebrice speciale cunoscute sunt discutate în partea a III-a dinstephani și colab. (2003). Există în mod natural o suprapunere cu soluțiileobținută prin asumarea grupurilor de simetrie. De exemplu, toate sfericsoluțiile simetrice sunt de tip Petrov D sau, ca caz special, conformplat.,
Alte ipoteze simplificatoare
alte specializări de interes apărea din următoarele ipoteze
- există constante vector sau tensor domenii
- curbura este recurent, complex recurente sau simetrice (acestea sunt condițiile pe, de exemplu,, \(R_{abcd;e}\))
- există o Ucidere sau Killing-Yano tensor
- spațiu-timp admite conforme propuneri sau collineations (câmpuri vectoriale generează o transformare în care metrica este mapat la un multiplu de sine sau curbura la sine)
- spațiu-timp conține suprafețe cu proprietăți speciale (de exemplu, tv cu trei-dimensional felii)
- spațiu-timp a special încorporarea proprietăți
Un deosebit comun caz este în cazul în care există o proiecție de mișcare pentrucare multiple este o constantă: astfel de transformări sunt calledhomotheties., Câmpurile lor vectoriale generatoare obey \ unde \(C\) este o constantă. Un număr semnificativ de soluții cunoscute recunosc homotheties, deși multe dintre acestea au fost descoperite fără prezența homothety beingassumed.
Rezolvarea ecuațiilor
Odată ce unul a simplificat metric și a introdus o suitableenergy-impuls tensor, restul de non-triviale de ecuații va forma sistemul de ecuații diferențiale (sau, în cazul spacetimehomogeneity, ecuații algebrice). Nu există un algoritm general pentrutoate cazurile, dar unele metode utilizate în alte domenii s-au dovedit utile.,
Minciună punct de simetrii ale sistemului de ecuații, deși util în multe situații (a se vedea, de exemplu, Arthur (1989) sau Olver (1986)), usuallyreduce în contextul spațiu-timp pentru a diffeomorphisms a galeriei(doar spun că rezultatele sunt coordonate invariante) sau toisometric sau omotetică propuneri. Cu toate acestea, există cazuri (de exemplu, sferic, simetric shearfree perfect lichide) în cazul în care Liepoint simetrii au fost de ajutor în găsirea exactsolutions. Simetriile generalizate, prelungirea și liniarizarea potde asemenea, să fie de ajutor.,
În special, soluții cu două naveta Uciderea vectori (actorie onspacelike sau timelike de două-dimensional de suprafete), și conțin apucat potrivit energie-impuls, sunt supuse la metode de theoryof integrabilă sisteme, cum ar fi aplicatii armonice (potențial spacesymmetries), Bäcklund transformări inverse împrăștiere, andRiemann-Hilbert probleme. De exemplu, toate staționare axisymmetricvacuum spacetimes pot fi obținute folosind astfel de generatoare techniquesstarting de spațiu plat. Printre rezultate se numără soluțiile solitonice.,
Un important soluții
Un mare număr de soluții sunt cunoscute, ca lectura de referințe citedin Rezumatul va arăta, și multe dintre acestea nu au fost fullyinterpreted fizic. Știind metrice într-o formă închisă, elucidationof proprietățile sale fizice poate fi încă dificil (a se vedea Griffiths și Podolsk$\acută{\rm y}$ (2009)):de exemplu, geodezice ecuații, ale căror soluții da possibletracks de test de particule și razele de lumină, poate fi greu de rezolvat chiar și pentru simplemetrics. Printre cele mai importante soluții sunt cele pe scurtdescrise., (Rețineți că, deși soluțiile selectate sunt toate algebricespeciale și mai multe sunt sfericsimetrice, acest lucru este departe de a fi cazul tuturor soluțiilor.) Documentele originale în care soluțiile selectate au fost derivate pentru prima dată sunt disponibile, având, cu excepția primei hârtii plane waves, incluse în seria „Golden Oldies”.
soluțiile Schwarzschild și Kerr
metrica Schwarzschild este soluția externă unică pentru un corp sferic simetric într-un spațiu gol înconjurător., Acest lucru sugerează că relativitatea generală Împărtășește cu gravitația Newtoniană proprietatea că câmpul extern al oricărui corp sferic depinde numai de masa sa totală și nu de distribuția radială a materiei. Cu toate acestea, interpretarea soluției ca fiind aceeași cu cea a unei mase punctuale la centru este nesatisfăcătoare, deoarece forma de mai sus este adecvată numai în \(r>2m\). În primii ani după descoperirea soluției, cercetătorii nu au fost clar dacă \(r=2M\), în cazul în care metrica Eq. (5) are în mod clar un coeficient singular, a reprezentat o singularitate adevărată., Acum este bine înțeles că este un „orizont de evenimente”, limita unei găuri negre și că continuarea analitică completă a soluției este singulară la \(r=0\). Pentru informații istorice vedea Eisenstaedt (1982) și pentru o discuție generală a global properties de spacetimes, inclusiv a celor discutate aici, vezi Hawking și Ellis (1973). Soluția Schwarzschild a oferit un model pentru investigațiile ulterioare ale singularităților și găurilor negre.unicitatea acestei soluții arată că relativitatea generală nu admite undele gravitaționale monopolare., Este, de asemenea, cea mai mică aproximare pentru domeniul corpurilor astronomice reale, cum ar fi Pământul și soarele. Calculul geodezicii în acest domeniu a permis predicții exacte ale curbării luminii de către Soare și avansarea periheliului lui Mercur, două dintre „testele clasice” ale teoriei relativității generale. soluția Schwarzschild este un caz special al soluției Kerr (Găsită în 1963) care reprezintă câmpul extern al unei găuri negre rotative. Acest lucru poate fi scris ca o instanță a Eq. (4) cu \(e=g=L=\Lambda=0\) și este obișnuit să scrieți \(a^2:=\gamma\)., Raportul dintre rotire și masă(în unități geometrizate) este apoi \(a/m\). Soluțiile Schwarzschild și Kerr oferă fundalul pentru studiile fizicii în domeniul găurilor negre, care sunt utilizate în modelarea surselor binare de raze X și a nucleelor galactice active în astronomie. Observațiile radiației din materia din apropierea găurilor negre ne permit să deducem că există găuri negre astronomice cu \(a/M > 0.95\): a se vedea găurile negre.găurile negre Schwarzschild și Kerr pot fi ușor generalizate pentru a include sarcini electromagnetice non-zero și (folosind Eq., (4) de exemplu) non-zero \(l\) și \(\Lambda\). Există teoreme de unicitate care arată (cu unele avertismente tehnice) că aceste familii sunt găurile negre staționare unice cu topologie sferică a unui orizont de evenimente non-singular.
De Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) soluții
Aceste soluții dau geometrie de „modelul standard” în cosmologia modernă, și, astfel, oferă fundalul pentru un număr enorm de lucrări studierea cosmologice fizica, inclusiv perturbatii de soluții., Geometria lor a fost clarificată de Robertson și Walker, independent, în anii 1930, iar cele mai frecvent utilizate soluții specifice au fost găsite de Friedmann și de Lemaître în anii 1920: de aici și numele îndelungat.
soluții Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
aceste soluții simetrice sferice sunt soluțiile pentru Eq. (2) conținând „praf” (un fluid perfect cu \(p=0\)) cu \(\Lambda=0\). Acestea generalizează soluțiile FLRW pentru praf în soluții neomogene., Deoarece praful este considerat a fi o reprezentare adecvată a conținutului de materie al universului pe scară largă în prezent, soluțiile LTB au fost mult folosite pentru a oferi modele exacte de structuri în univers (vezi Bolejko et al (2010)). Acestea conțin ca cazuri speciale atât soluțiile Schwarzschild, cât și soluțiile de praf FLRW.
undele Plane
aceste spații oferă un exemplu important de structură globală neașteptată., Dacă unul se alătură unui val plan în spații plate de o parte și de alta a unei anumite game de \(u\), formând un „val sandwich”, atunci conul de lumină dintr-un punct de pe o parte se reorientează pe cealaltă parte, așa cum a constatat Penrose (1965). Structura de undă sandwich a rezolvat problema dacă undele gravitaționale găsite pentru prima dată, folosind aproximări, de Einstein ar putea fi doar efecte de coordonate: Bondi, Pirani și Robinson (1959) au arătat că particulele de test libere sunt relativ accelerate prin trecerea prin regiunea undelor, ceea ce implică faptul că valul trebuie să transporte energie.,undele Plane sunt prima aproximare a radiației gravitaționale departe de o sursă într-un spațiu altfel gol. Ele sunt un caz special de mai general pp-valuri, soluții cu un covariantly constanta null Uciderea vector reresenting avion-fronted undele gravitaționale cu raze paralele și a găsit în 1925 de către Brinkman. Această întreagă clasă este de tip Petrov N (toate cele patru PNDs coincident) sau conform plat.
familia Taub-NUT
Taub-NUT spațiu-timp are proprietăți globale foarte neașteptate., La NUTregion conține închis timelike linii și nu sensibil Cauchy suprafețe,există două inequivalent maximă analitice extensiile de theTaub regiune (sau una non-Hausdorff galeriei cu ambele extensii), thespacetime este nesingulara, în sensul de a o curbură singularitate,și există geodezice de finite afine parametru lungime. Aceste proprietăți au dat naștere titlului lucrării lui Misner din 1963 (unele dintre aceste proprietăți sunt împărtășite de alte metrici Taub-NUT)., Soluția avut o mare influență asupra studiilor de exactsolutions și modelele cosmologice care sunt spațial-omogen, și apoi, în general, pe cei care sunt hypersurface-omogen andself-similare, pe cosmologyin general, și pe înțelegerea noastră de analiză globală andsingularities în spațiu-ori.Belinski, V a și Verdaguer, E (2001). Solitonii gravitaționali. Cambridge University Press, Cambridge. Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arch. Hist. Sci Exact. 27: 157-198. Ellis, G F R și Madsen, M (1991)., Cosmologiile exacte ale câmpului scalar. Clasă. Quant. Grav. 8: 667-676. Griffiths, J B (1991). Coliziunea undelor plane în relativitatea generală. Monografii matematice Oxford. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, S W și Ellis, G F R (1973). Structura pe scară largă a spațiului-timp. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi$ \ acut {\rm n} $ ski,A (1997). Modele cosmologice neomogene. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). Aplicații ale grupurilor Lie la ecuații diferențiale. Springer-Verlag, Heidelberg. Penrose, R (1965)., O proprietate remarcabilă a undelor plane în relativitatea generală. Rev. Mod. Fiz. 37: 215. Sciama, D W; Waylen, P C și Gilman, R C (1969). În general, formularea integrală covariantă a ecuațiilor de câmp ale lui Einstein. Revizuirea Fizică A 187: 1762. Stephani, H (1989). Ecuații diferențiale-soluțiile lor folosind simetrii. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relativitatea: teoria generală. Olanda De Nord, Dordrecht.
Vezi și
gaură neagră, inel negru, constantă cosmologică,relativitate generală, formalism cu coeficient de centrifugare