calculul diferențial este folosit pentru a găsi rata de schimbare a unei variabile—în comparație cu o altă variabilă. în lumea reală, poate fi folosit pentru a găsi viteza unui obiect în mișcare sau pentru a înțelege cum funcționează electricitatea și magnetismul. Este foarte important pentru înțelegerea fizicii—și multe alte domenii ale științei.calculul diferențial este, de asemenea, util pentru grafică., Poate fi folosit pentru a găsi panta unei curbe și punctele cele mai înalte și cele mai joase ale unei curbe (acestea se numesc maxim și respectiv minim).variabilele își pot schimba valoarea. Acest lucru este diferit de numere, deoarece numerele sunt întotdeauna aceleași. De exemplu, numărul 1 este întotdeauna egal cu 1, iar numărul 200 este întotdeauna egal cu 200. Se scriu adesea variabile ca litere precum litera x:” x ” poate fi egal cu 1 la un punct și 200 la altul. câteva exemple de variabile sunt distanța și timpul, deoarece se pot schimba., Viteza unui obiect este cât de departe călătorește într-un anumit timp. Așadar, dacă un oraș se află la 80 de kilometri (50 de mile) distanță și o persoană într-o mașină ajunge acolo într-o oră, ei au călătorit cu o viteză medie de 80 de kilometri (50 de mile) pe oră. Dar aceasta este doar o medie: poate că au călătorit mai repede uneori (să zicem pe o autostradă) și mai lent în alte momente (să zicem la un semafor sau pe o stradă mică unde locuiesc oamenii). Cu siguranță, este mai dificil pentru un șofer să—și dea seama de viteza unei mașini folosind doar odometrul (contorul de distanță) și ceasul-fără vitezometru.,
până la inventarea calculului, singura modalitate de a rezolva asta a fost să tăiem timpul în bucăți din ce în ce mai mici, astfel încât viteza medie în timpul mai mic să se apropie din ce în ce mai mult de viteza reală la un moment dat. Acesta a fost un proces foarte lung și greu, și a trebuit să fie făcut de fiecare dată când oamenii au vrut să lucreze ceva.
pe o curbă, două puncte diferite au pante diferite. Liniile roșii și albastre sunt tangente la curbă.,
o problemă foarte asemănătoare este găsirea pantei (cât de abruptă este) în orice punct al unei curbe. Panta unei linii drepte este ușor de realizat — este pur și simplu cât de mult merge în sus sau în jos (y sau vertical) împărțită la cât de mult trece (x sau orizontal). Pe o curbă, cu toate acestea, panta este o variabilă (are valori diferite în puncte diferite), deoarece linia se îndoaie. Dar dacă curba ar fi tăiată în bucăți foarte, foarte mici, curba din punct ar arăta aproape ca o linie dreaptă foarte scurtă., Deci, pentru a-și elabora panta, o linie dreaptă poate fi trasă prin punctul cu aceeași pantă ca curba din acel punct. Dacă acest lucru se face exact corect, linia dreaptă va avea aceeași pantă ca curba și se numește tangentă. Dar nu există nicio modalitate de a ști (fără matematică complexă) dacă tangenta este exact corectă, iar ochii noștri nu sunt suficient de exacți pentru a fi siguri dacă este exactă sau pur și simplu foarte aproape.ceea ce Newton și Leibniz au găsit a fost o modalitate de a elabora exact panta (sau viteza în exemplul distanței), folosind reguli simple și logice., Ei au împărțit curba într-un număr infinit de bucăți foarte mici. Apoi au ales puncte de pe fiecare parte a gamei de care erau interesați și au elaborat tangente la fiecare. Pe măsură ce punctele se apropiau mai mult de punctul de care erau interesați, panta se apropia de o anumită valoare pe măsură ce tangentele se apropiau de panta reală a curbei. Valoarea deosebită pe care a abordat-o a fost panta reală.
o imagine care arată ce înseamnă x și x + h pe curbă.,matematicienii au dezvoltat această teorie de bază pentru a face reguli simple de algebră—care pot fi folosite pentru a găsi derivata aproape a oricărei funcții.