i analogi med halv heltal formel,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n-2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4) (4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p) (p n − (p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{anpassas}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\höger)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}} \ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left ({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}} \ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left ({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (} PN-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligned}}}
var n!(s) betecknar de pth multifaktoriell n. Numeriskt,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ca 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ca 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\ca 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ca 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\ca 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\ca 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
det är okänt om dessa konstanter är transcendentala i allmänhet, men Γ (1/3) och Γ(1/4) visades vara transcendentala av G. V. Chudnovsky. Γ (1/4) / 4√π har också länge varit känt för att vara transcendental, och Yuri Nesterenko visade 1996 att Γ(1/4), π och en är algebraiskt oberoende.,
numret Γ (1/4) är relaterat till Gauss konstant g med
Γ ( 1 4) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G {\sqrt {2 \ pi ^{3}}}}},}
och det har givits av Gramain att
Γ (1 4) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3} e^{2\gamma -\mathrm {\delta} +1}}}}}
där δ är Massörgramain konstant OEIS: A086058, även om numeriskt arbete av Melquiond et al. indikerar att denna gissning är falsk.,
Borwein och Zucker har funnit att Γ (n / 24) kan uttryckas algebraiskt i termer av π, K(k(1)), K(K(2)), K(K(3)) och K(K(6)) där K(K(N)) är en komplett elliptisk integrerad av det första slaget. Detta möjliggör en effektiv approximering av gammafunktionen hos rationella argument till hög precision med hjälp av kvadratiskt konvergerande aritmetiska geometriska medel iterationer. Inga liknande relationer är kända för Γ (1/5) eller andra nämnare.,
i synnerhet, där årsstämman() är det aritmetiska geometriska medelvärdet, har vi
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 årsstämman 2 3 3 1 årsstämman ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{3}} \ right)={\frac {2^{\frac {7}{9}} \ cdot \ pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}} \ cdot \ operatorname {AGM}\left(2, {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}} \ right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4) = (2 π) 3 2 AGM (2, 1) {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{4}} \ right) = {\sqrt {\frac {(2\pi) ^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \ left ({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 årsstämma ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{6}} \ right)={\frac {2^{\frac {14}{9}} \ cdot 3^{\frac {1}{3}} \ cdot \ pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM}\left(1+{\sqrt {3}}, {\sqrt {8}} \ right)^{\frac {2}{3}}}}.,{\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1} {4}}\right ) = ( 2\pi) ^{\frac {3} {4}}\prod _{k = 1}^{\infty} \tanh \left ({\frac {\pi k} {2}}\right)}
och
γ (1 4)=a 3 e − g π π 2 1 6 K=1(1 − 1 2 K) K (−1) k {\displaystyle \gamma \Left ({\tfrac {1} {4}}}\right ) = a^{3}e^{-{\frac {g}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{K = 1}^{\infty }\Left ( 1 ) 1-{\frac {1}{2K}}\right)^{k (-1)^{k}}}
där A är Glaisher–kinkelin-konstanten och g är katalansk konstant.,
följande två representationer för Γ(3/4) gavs av I., k = − e π ( k − 2 k 2 ) 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e-π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e ^ {\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2K^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
och
π 2 1 Γ 2 ( 3 4) = K = − 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\gamma ^{2}\Left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
där trip1 och trip4 är två av Jacobi theta-funktionerna.,