diskussion
konstant acceleration
kalkyl är en avancerad matematik ämne, men det gör härleda två av de tre ekvationer av rörelse mycket enklare. Per definition är acceleration det första derivatet av hastighet med avseende på tid. Ta operationen i den definitionen och omvänd den. Istället för att differentiera hastigheten för att hitta acceleration, integrera acceleration för att hitta hastighet. Detta ger oss hastighetstidsekvationen., Om vi antar att accelerationen är konstant får vi den så kallade första ekvationen av rörelse .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Omvänd denna operation. Istället för att differentiera position för att hitta hastighet, integrera hastighet för att hitta position. Detta ger oss position-tid ekvation för konstant acceleration, även känd som den andra ekvationen av rörelse .,td>
till skillnad från de första och andra ekvationerna av rörelse finns det inget uppenbart sätt att härleda den tredje ekvationen av rörelse (den som relaterar hastighet till position) med hjälp av kalkyl., Vi kan inte bara rekonstruera det från en definition. Vi måste spela ett ganska sofistikerat trick.
den första ekvationen för rörelse avser hastighet till tid. Vi härledde det väsentligen från detta derivat…
| DV | = a |
| dt |
den andra ekvationen av rörelse relaterar position till tid., Det kom från detta derivat…
| DS | = v |
| dt |
den tredje ekvationen för rörelse relaterar hastighet till position. Med logisk förlängning bör den komma från ett derivat som ser ut så här…
| DV | = ? |
| DS |
men vad är detta lika? Tja ingenting per definition, men som alla kvantiteter gör det lika sig själv. Det är också lika med sig själv multiplicerat med 1., Vi använder en speciell version av 1 (dtdt) och en speciell version av algebra (algebra med infinitesimals). Se vad som händer när vi gör det här. Vi får ett derivat lika med acceleration (dvdt) och ett annat derivat lika med invers av hastighet (DTD).,”2″> =
Next step, separation of variables., Få saker som liknar varandra och integrera dem.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Men det fungerade verkligen bara för att accelerationen var konstant-konstant i tid och konstant i rymden. Om accelerationen varierade på något sätt skulle denna metod vara obehagligt svår. Vi skulle vara tillbaka till att använda algebra bara för att rädda vårt förnuft. Inte för att det är något fel med det. Algebra fungerar och sanity är värt att spara.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Låt oss tillämpa det på en situation med ett ovanligt namn-konstant ryck. Ingen lögn, det är vad det kallas. Jerk är hastigheten för förändring av acceleration med tiden.
| j = | da |
| dt |
detta gör jerk det första derivatet av acceleration, det andra derivatet av hastighet och det tredje derivatet av position.,
| j = | da | = | D2V | = | D3S |
| dt | DT2 | DT3 |
SI-enheten för Jerk är mätaren per sekund kubad.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
En alternativ enhet g per sekund.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Jerk är inte bara några kloka röv fysiker svar på frågan, ”Oh yeah, så vad kallar du den tredje derivatan av position?”Jerk är en meningsfull mängd.
människokroppen är utrustad med sensorer för att känna av acceleration och ryck., Ligger djupt inne i örat, integrerat i våra skallar, ligger en serie kamrar som kallas labyrinten. En del av denna labyrint är tillägnad vår känsla av hörsel (cochlea) och del till vår känsla av balans (det vestibulära systemet). Det vestibulära systemet är utrustat med sensorer som detekterar Vinkelacceleration (de halvcirkelformade kanalerna) och sensorer som detekterar linjär acceleration (otoliterna). Vi har två otoliter i varje öra-en för detektering av acceleration i horisontalplanet (utricle) och en för detektering av acceleration på vertikal plats (saccule)., Otoliter är våra egna inbyggda accelerometrar.
ordet otolith kommer från det grekiska οτο (oto) för örat och λιθος (lithos) för sten. Var och en av våra fyra otoliter består av en hård benliknande platta fäst vid en matta av sensoriska fibrer. När huvudet accelererar skiftar plattan till ena sidan och böjer de sensoriska fibrerna. Detta sänder en signal till hjärnan som säger ” vi accelererar.”Eftersom tyngdkraften också slår på plattorna kan signalen också betyda” den här vägen är nere.”Hjärnan är ganska bra på att räkna ut skillnaden mellan de två tolkningarna. Så bra, att vi tenderar att ignorera det., Syn, ljud, lukt, smak, beröring — var är balans i den här listan? Vi ignorerar det tills något förändras på ett ovanligt, oväntat eller extremt sätt.
Jag har aldrig varit i omloppsbana eller bott på en annan planet. Gravitationen drar alltid ner mig på samma sätt. Stående, promenader, sittande, liggande-det är allt ganska lugnande. Låt oss nu hoppa i en berg-och dalbana eller delta i en liknande spännande aktivitet som utförsåkning, Formel 1 racing eller cykling i Manhattan trafik. Acceleration riktas först på ett sätt, sedan en annan. Du kan även uppleva korta perioder av viktlöshet eller inversion., Dessa typer av känslor genererar intensiv mental aktivitet, varför vi gillar att göra dem. De skärper oss också och håller oss fokuserade under eventuellt livslutande stunder, varför vi utvecklade denna känsla i första hand. Din förmåga att känna jerk är avgörande för din hälsa och välbefinnande. Jerk är både spännande och nödvändigt.
konstant ryck är lätt att hantera matematiskt. Som en inlärningsövning, låt oss härleda ekvationerna för rörelse för konstant ryck. Du är välkommen att prova mer komplicerade jerk problem om du vill.
Jerk är derivatet av acceleration., Ångra den processen. Integrera jerk för att få acceleration som en funktion av tiden. Jag föreslår att vi kallar det här nollpunktsekvationen för konstant ryck. Anledningen till varför kommer att vara uppenbart efter att vi har avslutat nästa avledning.,”c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integrera acceleration för att få hastighet som en funktion av tiden. Vi har gjort den här processen förut. Vi kallade resultatet hastighetstidsförhållandet eller den första ekvationen av rörelse när accelerationen var konstant. Vi borde ge det ett liknande namn. Detta är den första ekvationen av rörelse för konstant ryck.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integrera hastighet för att få förskjutning som en funktion av tiden. Vi har gjort det här förut också. Det resulterande förskjutnings-tidsförhållandet blir vår andra ekvation av rörelse för konstant ryck.,v id=”2b78da115e”> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., När jerk är noll, återgår de alla tillbaka till ekvationerna för rörelse för konstant acceleration. Zero jerk betyder konstant acceleration, så allt är rätt med den värld vi har skapat. (Jag sa aldrig att konstant acceleration var realistisk. Konstant ryck är lika mytisk. I hypertextbook world är dock alla saker möjliga.)
var går vi nästa? Ska vi arbeta på ett hastighetsförskjutningsförhållande (den tredje ekvationen för rörelse för konstant ryck)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Det kan inte vara vår vän. För tillfället kan jag inte bli störd. Jag vet inte om det skulle berätta nåt intressant. Jag vet att jag aldrig har behövt en tredje eller fjärde ekvation av rörelse för konstant jerk-inte än. Jag lämnar detta problem till världens matematiker.
det här är den typ av problem som skiljer fysiker från matematiker. En matematiker skulle inte nödvändigtvis bry sig om den fysiska betydelsen och bara kan tacka fysikern för en intressant utmaning., En fysiker skulle inte nödvändigtvis bry sig om svaret om det inte visade sig vara användbart, i vilket fall fysikern skulle säkert tacka matematikern för att vara så nyfiken.
konstant ingenting
den här sidan i den här boken handlar inte om rörelse med konstant acceleration, eller konstant ryck, eller konstant snap, crackle eller pop. Det handlar om den allmänna metoden för att bestämma rörelsemängderna (position, hastighet och acceleration) med avseende på tid och varandra för någon form av rörelse., Förfarandet för att göra detta är antingen differentiering (hitta derivatet)…
- derivatet av position med tiden är hastighet (v = dsdt).
- derivatet av hastighet med tiden är acceleration (a = dvdt).
eller integration (finding the integral)…
- integralen av accelerationen över tiden är hastighetsförändring (trip dt).
- hastighetsintegrationen över tiden är förändring av position (s = v dt).
Så här fungerar det. Vissa egenskaper hos ett objekts rörelse beskrivs av en funktion., Kan du hitta derivatet av den funktionen? Det ger dig en annan egenskap av rörelsen. Kan du hitta dess integral? Det ger dig en annan egenskap. Upprepa antingen operationen så många gånger som nödvändigt. Använd sedan de tekniker och begrepp du lärde dig i kalkyl och relaterade grenar av matematik för att extrahera mer meningsområde, domän, gräns, asymptote, minimum, maximum, extremum, konkavitet, böjning, analytisk, numerisk, exakt, ungefärlig och så vidare. Jag har lagt till några viktiga anteckningar om detta i sammanfattningen för detta ämne.,
