differentialkalkyl används för att hitta förändringshastigheten för en variabel—jämfört med en annan variabel.
i den verkliga världen kan den användas för att hitta hastigheten på ett rörligt objekt eller för att förstå hur el och magnetism fungerar. Det är mycket viktigt för att förstå fysik-och många andra områden av vetenskap.
differentialkalkyl är också användbar för grafer., Den kan användas för att hitta lutningen på en kurva och de högsta och lägsta punkterna i en kurva (dessa kallas maximalt och minimum).
variabler kan ändra deras värde. Detta skiljer sig från siffror eftersom siffrorna alltid är desamma. Till exempel är antalet 1 alltid lika med 1, och antalet 200 är alltid lika med 200. Man skriver ofta variabler som bokstäver som bokstaven x:” x ” kan vara lika med 1 vid en punkt och 200 vid en annan.
några exempel på variabler är Avstånd och tid, eftersom de kan ändras., Hastigheten på ett objekt är hur långt det reser i en viss tid. Så om en stad är 80 kilometer (50 miles) bort och en person i en bil kommer dit på en timme, de har rest med en medelhastighet på 80 kilometer (50 miles) per timme. Men det här är bara ett genomsnitt: kanske reste de snabbare ibland (säg på en motorväg) och långsammare vid andra tillfällen (säg vid ett trafikljus eller på en liten gata där människor bor). Visst är det svårare för en förare att räkna ut en bils hastighet med endast sin vägmätare (avståndsmätare) och klocka—utan hastighetsmätare.,
tills kalkylen uppfanns, var det enda sättet att räkna ut detta att skära tiden i mindre och mindre bitar, så medelhastigheten över den mindre tiden skulle komma närmare och närmare den faktiska hastigheten vid en tidpunkt. Detta var en mycket lång och hård process, och var tvungen att göras varje gång folk ville arbeta ut något.
på en kurva har två olika punkter olika backar. De röda och blå linjerna är tangenter till kurvan.,
ett mycket liknande problem är att hitta lutningen (hur brant det är) när som helst på en kurva. Lutningen på en rak linje är lätt att träna — det är helt enkelt hur mycket Det går upp eller ner (y eller vertikalt) dividerat med hur mycket Det går över (x eller horisontellt). På en kurva är lutningen emellertid en variabel (har olika värden vid olika punkter) eftersom linjen böjer sig. Men om kurvan skulle skäras i mycket, mycket små bitar, skulle kurvan vid punkten se nästan ut som en mycket kort rak linje., Så för att träna sin sluttning kan en rak linje dras genom punkten med samma lutning som kurvan vid den punkten. Om detta görs exakt rätt, kommer den raka linjen att ha samma lutning som kurvan och kallas en tangent. Men det finns inget sätt att veta (utan komplex matematik) om tangenten är exakt rätt, och våra ögon är inte tillräckligt exakta för att vara säkra på om det är exakt eller helt enkelt mycket nära.
vad Newton och Leibniz hittade var ett sätt att träna lutningen (eller hastigheten i avståndsexemplet) exakt, med hjälp av enkla och logiska regler., De delade kurvan i ett oändligt antal mycket små bitar. De valde sedan punkter på vardera sidan av intervallet de var intresserade av och utarbetade tangenter vid varje. När punkterna rörde sig närmare varandra mot den punkt de var intresserade av, närmade sig lutningen ett visst värde när tangenterna närmade sig kurvans verkliga lutning. Det särskilda värdet det närmade sig var den faktiska lutningen.
en bild som visar vad x och x + h betyder på kurvan.,
matematiker har vuxit denna grundläggande teori för att göra enkla algebraregler—som kan användas för att hitta derivatet av nästan vilken funktion som helst.