Fourier transform är en generalisering av den komplexa Fourier-serien i gränsen som 
. Ersätt den diskreta 
med den kontinuerliga 
medan du låter 
., id=”419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., Notationen
introduceras i Trott (2004, p. xxxiv) och 
och 
används ibland också för att beteckna Fouriertransformen respektive inverse Fouriertransformen (Krantz 1999, s. 202).
Observera att vissa författare (särskilt fysiker) föredrar att skriva transformationen när det gäller vinkelfrekvens 
istället för oscillationsfrekvensen 
.,”25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Som standard tar Wolfram-språket FourierParameters som 
. Tyvärr är ett antal andra konventioner i utbredd användning. Till exempel, 
används i modern fysik, 
används i ren matematik och systemteknik, 
används i sannolikhetsteori för beräkning av den karakteristiska funktionen, 
används i klassisk fysik, och 
används i används vid signalbehandling. I detta arbete, efter Bracewell (1999, s., 6-7), det antas alltid att 
och 
om inget annat anges. Detta val resulterar ofta i kraftigt förenklade omvandlingar av gemensamma funktioner som 1, 
, etc.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
 |
(19)
|
A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
 |
(20)
|
provided that
exists.,
2. Det finns ett begränsat antal diskontinuiteter.
3. Funktionen har avgränsad variation.,d”>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
det finns också ett något överraskande och extremt viktigt förhållande mellan autokorrelationen och Fouriertransformen som kallas Wiener-Khinchin-teoremet., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
 |
(33)
|
The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
 |
(40)
|
The first term consists of an oscillating function times 
., id=”3f4582000b”>
so 
has the Fourier transform
 |
(57)
|
If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=”ec13a9034f”>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
alla åtgärder på
som lämnar området oförändrat lämnar
oförändrat, eftersom
 |
(64)
|
Följande tabell sammanfattade några vanliga fouriertransformspar.,or 
, 
by
 |
 |
 |
(67)
|
 |
 |
 |
(68)
|