Efterpubliceringsaktivitet

Curator: Malcolm A. H. MacCallum

bidragsgivare:

exakta lösningar av Einsteins ekvationer

Einsteins allmänna relativitet är den ledande teorin om rymdtid och gravitation: den är mycket hög nonlinear. Exakta lösningar av Einsteins ekvationer modellerar sålunda gravitationssystem och möjliggör utforskning av teoriens matematik och fysik.,

innehåll

  • 1 Sammanfattning
  • 2 Einsteins ekvationer
  • 3 Gör ekvationerna tractable
    • 3.1 Symmetry grupper
    • 3.2 ”algebraiskt speciella” lösningar
    • 3.3 andra förenklade antaganden
  • 4 lösa ekvationerna
  • 5 vissa viktiga lösningar
    • 5.1 lösningar Schwarzschild och Kerr
    • 5.2 lösningarna Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (Flrw)
    • 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) lösningar
    • 5.4 flygvågor
    • 5.,5 taub-NUT-familjen
  • 6 Referenser
  • 7 Se även

sammanfattning

Einsteins fältekvationer av allmän relativitet är 10 Icke-linjära differentialekvationer i 4 oberoende variabler. Detta komplicerade system kan inte i allmänhet integreras, även om det har omformulerats som en självkopplad integrerad ekvation (Sciama, Waylen och Gilman, 1969). Analytiska och numeriska approximationer kan användasför att utforska fysiska situationer. Exakta lösningar, även om de erhålls genom att införa förenklade antaganden, kompletterar sådana tillvägagångssätt påflera sätt., De förkroppsligar den fullständiga ickelinjäriteten, vilket gör det möjligt att studera starka områdessystem. de ger bakgrund som störningarapproximationer kan byggas på, och de möjliggör kontroller av numerisk korrekthet.

termen ”exakt lösning” är inte väldefinierad: vanligtvis betyder det en lösning där alla kvantiteter uttrycks genom elementära funktioner eller de välkända specialfunktionerna, men ibland utvidgas den till att omfatta lösningar som endast är kända för att lösa en eller flera differentiella ekvationer., De kända exakta lösningarna erhålls från awide olika antaganden, det viktigaste av dessa ärgenomförandet av symmetrigrupper eller speciella former av krökningensensor. Bland de kända lösningarna har vissa varit av särskildbetydelse fysiskt eller matematiskt.

ett antal böcker ger enkäter om exakta lösningar, och bör besäljas om fylligare detaljer önskas. För en allmän undersökning av lösningar som innehåller thesimple energi-momenta ges av vakuum, elektromagnetism och perfectfluids se Stephani et al., (2003), för inhomogen cosmologicalsolutions (definierade som sådana som innehåller en särskild fall en av de FLRW modeller som diskuteras nedan) se Krasi$\akut{\rm n}$ski (1997), och för detaljerade undersökningar av somespecial klasser se Griffiths (1991) och Belinskii och Verdaguer(2001).

för fysiska tolkningar av många viktiga lösningar seeBi$\check{\rm C}\acute {\rm a}$k (2000) och Griffiths och Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Det bör noteras att en exakt lösning inte nödvändigtvis har enunik Tolkning., Till exempel kan Schwarzschilds lösning, bland de exempel som ges senare, tolkas som att den representerar antingen den yttre delen av en sfärisk massa eller interaktionsregionen efter kollisionen av två partikelformiga vågor. En relaterad punkt är att olika källor kan ge upphov till samma exakta lösning.

Einsteins ekvationer

Einsteins allmänna relativitetsteori generaliserar Newtons gravityteory till en kompatibel med speciell relativitet., Det modellerar utrymme ochtidpunkter som en (pseudo -) Riemannian fyrdimensionell grenrör med ametrisk \(g_{ab}\) av signatur \(\pm 2\) (teckenvalet ärkonventionell). Testpartiklar antas flytta på geodesiken avDetta mångfaldiga och tidvatten gravitationskrafter beskrivs av dessöverväxt.

ekvationerna har införts i form av en koordinatbas, men skrivs ofta i den form som erhålls genom att man antar en tetrad (achoice av grund för tangent vektorutrymme vars grundvektorer harkonstant skalära produkter), eller i form av spin-koefficientformalism.,

eftersom genom att starta från en annan uppsättning karakteriserande assumptionsone kan komma fram till samma lösning i olika koordinater, är ”equivalence problem” att bestämma när två mångfalder är (lokalt) samma, dvs isometrisk, av betydelse. Detta är formellt undecideablemen i praktiken kan vanligtvis lösas med hjälp av metoder baserade på ideasof Cartan (se Kapitel 9 i Stephani et al. (2003)).,

samma ekvationer (i tillämpliga delar) har använts och lösts i högre dimensioner (se svart ring), med några av samma tekniker, men hittills har mycket lite av hela landskapet av möjliga lösningar i 5 eller fler dimensioner undersökts.

att göra ekvationerna tractable

författare antar ibland en metrisk form och använder Eq. (1) att beräkna energi-momentum (detta är den föråldrade \(g\)-metoden som beskrivs avsynge (1971)). Eftersom ingen ekvation faktiskt är löst, gör utfalletinte förtjänar att kallas en lösning., De exakta lösningarnafungerar emellertid i allmänhet genom mindre extrema förenklingsformer som, fören form av energikraft, automatiskt kan säkerställa att vissa av kraven är sanna samtidigt som andra måste lösas.

Symmetry groups

lösningar som erhålls genom sådana antaganden omfattas av Del II ofStephani et al. (2003): se även Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) och Bolejko et al (2010).,

”Algebraically speciell” lösningar

En icke-noll Weyl tensor har egenskapen att det finns fyra huvudsakliga null riktningar” (PNDs),som definieras genom null vektorer lyda\bc}k^bk^c=0.\]Den algebraiska strukturen hos Weyl tensor kännetecknas sedan avom två eller flera av PNDs sammanfaller. När minst två gör, då, som ger en lämplig energi-momentum antas, kan metriska tensor varaförenklad., Sådana rymdtider kallas ”algebraiskt speciella”, ochkan klassificeras i Petrov-typerna med antalet sammanfallnapnds: detaljerna i de möjliga Fallen ges i artikeln omformalismen för spin-koefficienten. För energi-momenta betraktas vanligen i sådana spacetimes, vector field upprepade PND isgeodesic och shearfree av Kundt-Thompson sats, som (se Stephani etal (2003), sats 7.5) generalises den Goldberg-Sachs sats. När bara två PNDs sammanfaller, rumtiden isof Petrov typ II., I artikeln om spin-koefficienten formalism är exemplet på Robinson-Trautman solutions (Petrov typ II-mätvärden där fältet för upprepade PNDs är vriddfri) härledd i detalj.

de kända algebraiskt speciella lösningarna diskuteras i del III avstephani et al. (2003). Det finns naturligtvis en överlappning med lösningarobserveras genom att anta symmetri grupper. Till exempel är alla sfäriskasymmetriska lösningar av Petrov Typ D eller, som ett speciellt fall, konformelltflat.,

andra förenklande antaganden

några andra specialiseringar av intresse härrör från följande antaganden

  • Det finns konstanta vektor-eller tensorfält
  • krökningen är återkommande, komplex återkommande eller symmetrisk (dessa är villkor på, t. ex.,, \(R_{abcd;e}\))
  • Det finns en dödande eller dödande-Yano tensor
  • rymdtiden medger konformala rörelser eller collineations (vektorfält som genererar en transformation under vilken metriken mappas till en multipel av sig själv eller krökningen till sig själv)
  • rymdtiden innehåller ytor med speciella egenskaper (till exempel plana tredimensionella skivor)
  • rymdtiden har speciella inbäddningsegenskaper

ett särskilt vanligt fall är där det finns en konformell rörelse förvilken multipel är en konstant: sådana omvandlingar kallashemdelar., Deras genererande vektorfält lyder \ where\ (C\) är en konstant. Ett betydande antal kända lösningar erkänner homotheties, även om många av dessa upptäcktes utan närvaro av homothety beingassumed.

lösa ekvationerna

När man har förenklat metriska och infört en lämpligenergi-momentum tensor, kommer de återstående icke-triviala ekvationerna att bildaett system av differentialekvationer (eller i fallet med spacetimehomogeneity, algebraiska ekvationer). Det finns ingen allmän algoritm föralla fall men vissa metoder som används på andra områden har visat sig vara användbara.,

Lie point-symmetrier i ekvationssystemet, även om det är användbart i många situationer (se t.ex. Stephani (1989) eller Olver (1986))), usuallyreducera i rymdtidssammanhang till diffeomorphisms av grenröret(säger bara att resultaten är koordinat invariant) eller toisometriska eller homotetiska rörelser. Det finns dock fall (till exempel sfäriskt symmetriska shearfree perfect fluids) där liepoint-symmetrier har varit till hjälp för att hitta exactsolutions. Generaliserade symmetrier, förlängning och linearisering kan ocksåvara till hjälp.,

i synnerhet är lösningar med två pendlande dödande vektorer (som verkar påspacelike eller tidsliknande tvådimensionella ytor) och som innehåller mattermed lämplig energi-momentum, mottagliga för metoder från teorierna av integrerbara system, såsom harmoniska kartor (potentiella rymdsymmetrier), Bäcklundtransformationer, omvänd spridning, ochriemann-Hilbert-problem. Till exempel kan alla stationära axisymmetricvacuum spacetimes erhållas med hjälp av sådana genereringstekniker som börjar från Plant utrymme. Bland resultaten är solitoniska lösningar.,

några viktiga lösningar

många lösningar är kända, eftersom genomläsning av referenserna citeras i sammanfattningen kommer att visa, och många av dessa har inte fullständigt tolkats fysiskt. Att känna till metriken i sluten form, belysningav dess fysikaliska egenskaper kan fortfarande vara svårt (Se Griffiths och Podolsk$ \ acute {\rm y}$ (2009)): till exempel kan de geodetiska ekvationerna, vars lösningar ger möjligatracker av testpartiklar och ljusstrålar, vara otänkbara även för simplemetrics. Bland de viktigaste lösningarna är de nu korthetbeskrivs., (Observera att även om de valda lösningarna är alla algebraicallyspecial och flera är sfäriskallysymmetrisk, är detta långt ifrån fallet för alla lösningar.) De ursprungliga papper där de valda lösningarna först härleddes är alla lättillgängliga, med undantag för det första Planet waves-papperet, inkluderats i” Golden Oldies ” – serien.

Schwarzschild-och Kerr-lösningarna

Schwarzschild-mätvärdet är den unika externa lösningen för en sfäriskt symmetrisk kropp i ett omgivande tomt utrymme., Detta tyder på att allmän relativitet delar med newtonisk gravitation egenskapen att det yttre fältet i någon sfärisk kropp endast beror på dess totala massa och inte på materiens radiella fördelning. Tolkningen av lösningen som densamma som för en punktmassa i mitten är emellertid otillfredsställande eftersom formuläret ovan endast är lämpligt i \(r > 2m\). Under de första åren efter upptäckten av lösningen, forskare var inte klart om \(R=2m\), där metriska av Eq. (5) uppenbarligen har en singular koefficient, representerade en sann singularitet., Det är nu väl förstått att det är en ”händelsehorisont”, gränsen för ett svart hål och att den fullständiga analytiska fortsättningen av lösningen är singular at \(r=0\). För historisk information se Eisenstaedt (1982) och för en allmän diskussion av den globala egenskaper spacetimes, inklusive de som diskuteras här, se stephen Hawking och Ellis (1973). Schwarzschild-lösningen gav ett mönster för senare undersökningar av singulariteter och svarta hål.

denna lösnings unika karaktär visar att allmän relativitet inte medger monopolära gravitationsvågor., Det är också den lägsta ordningen approximation till området för verkliga astronomiska kroppar som jorden och solen. Beräkning geodesi i detta område har möjliggjort noggranna förutsägelser av ljusböjning av solen och förskottet av Kvicksilverperihelionen, två av de ”klassiska testerna” av allmän relativitetsteori.

Schwarzschild-lösningen är ett specialfall av Kerr-lösningen (finns 1963) som representerar det yttre fältet i ett roterande svart hål. Detta kan skrivas som en instans av Eq. (4) med \(e=g=l=\Lambda=0\) och det är vanligt att skriva \(a^2:=\gamma\)., Förhållandet mellan spinn och massa(i geometriserade enheter) är då \(a/m\). Schwarzschild-och Kerr-lösningarna ger bakgrunden till studier av fysiken inom området svarta hål, som används vid modellering av röntgen binära källor och aktiva galaktiska kärnor i astronomi. Observationer av strålning från materia nära svarta hål gör att vi kan dra slutsatsen att det finns astronomiska svarta hål med \(a/M > 0.95\): se svarta hål.

Schwarzschild och Kerr svarta hål kan lätt generaliseras för att inkludera icke-noll elektromagnetiska laddningar och (med Eq., (4) till exempel) icke-noll \(l\) och \(\Lambda\). Det finns unika teoremer som visar (med vissa tekniska försiktighetsåtgärder) att dessa familjer är de unika stationära svarta hålen med sfärisk topologi av en icke-singulär händelsehorisont.

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) lösningar

dessa lösningar ger geometrin för ”standardmodellen” i modern kosmologi och ger därmed bakgrunden till ett enormt antal papper som studerar kosmologisk fysik, inklusive störningar av lösningarna., Deras geometri klargjordes av Robertson och Walker, oberoende, på 1930-talet, och de mest använda specifika lösningarna hittades av Friedmann och av Lemaître på 1920-talet: därav det långa namnet.

Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) lösningar

dessa sfäriskt symmetriska lösningar är lösningarna för Eq. (2) innehåller ”Damm” (En perfekt vätska med \(p=0\)) med \(\Lambda=0\). De generaliserar FLRW-lösningarna för damm till inhomogena lösningar., Eftersom stoft tros vara en lämplig representation av universums materiainnehåll i stor skala för närvarande har LTB-lösningar använts mycket för att tillhandahålla exakta modeller av strukturer i universum (se Bolejko et al (2010)). De innehåller särskilda fall både Schwarzschild och damm FLRW lösningar.

Planvågor

dessa rymdtider ger ett viktigt exempel på oväntad global struktur., Om man ansluter sig till en planvåg till plana utrymmen på vardera sidan av något område av \(u\), bildar en ”sandwichvåg”, då ljuskonen från en punkt på ena sidan omfokuserar på andra sidan, som hittades av Penrose (1965). Sandwichvågstrukturen löste frågan om gravitationsvågorna först hittades, med hjälp av approximationer, av Einstein kunde bara vara koordinateffekter: Bondi, Pirani och Robinson (1959) visade att fria testpartiklar relativt accelereras genom passage genom vågområdet, vilket innebär att vågen måste bära energi.,

Planvågor är den första approximationen för gravitationsstrålning långt från en källa i ett annars tomt utrymme. De är ett speciellt fall av de mer allmänna pp-vågorna, lösningar med en kovariant konstant null Killing vector reresenting planfronted gravitationsvågor med parallella strålar och hittades 1925 av Brinkman. Hela denna klass är av Petrov Typ N (alla fyra PNDs sammanfaller) eller överensstämmande platt.

taub-NUT-familjen

taub-NUT spacetime har mycket oväntade globala egenskaper., Den NUTregion innehåller stängt tidsenliga linjer och ingen vettig Cauchy ytor,det finns två inequivalent maximal analytiska tillägg av theTaub region (eller en icke-Hausdorff grenrör med både tillägg), thespacetime är nonsingular i betydelsen av en krökning singularitet,och det är geodesics av ändliga affina parameter längd. Dessa egenskaper gav upphov till titeln på Misners 1963-papper (några av dessa egenskaper delas av de andra taub-NUT-mätvärdena)., Lösningen hade ett stort inflytande på studier av exactsolutions och kosmologiska modeller som är rumsligt homogena ochmer allmänt på de som är hypersurface-homogena ochsjälvliknande, på kosmologii allmänhet och på vår förståelse av global analys ochsingulariteter i rymdtider.

Belinski, V och Verdaguer, E (2001). Gravitationsolitoner. Cambridge University Press, Cambridge.

Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singulariteter de la lösning de Schwarzschild: (1915-1923). Båge. Hist. Exakt Sci. 27: 157-198.

Ellis, G f r och Madsen, m (1991)., Exakt skalära fält kosmologier. Klass. Quant. Grav. 8: 667-676.

Griffiths, J B (1991). Kolliderar planvågor i allmän relativitet. Oxford matematiska monografier. Oxford University Press, Oxford.

Hawking, S W och Ellis, G F R (1973). Den storskaliga strukturen av rymdtid. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$\akut{\rm n}$ski, A (1997). Inhomogena kosmologiska modeller. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, P J (1986). Tillämpningar av Lie grupper till differentialekvationer. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., En anmärkningsvärd egenskap hos planvågor i allmän relativitet. Rev.Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, D W, Waylen, P C och Gilman, R C (1969). Generellt kovariant integrerad formulering av Einsteins fältekvationer. Fysisk Granskning A 187: 1762.

Stephani, h (1989). Differentialekvationer – deras lösningar med symmetrier. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J l (1971). Relativitet: den allmänna teorin. Nord-Holland, Dordrecht.

Se även

svart hål, svart ring, kosmologisk konstant, allmän relativitet, Spin-koefficientformalism