em analogia com a fórmula semi-inteira,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3) (3 n − 2 ) ! ! ! 3 N Γ (n + 1 4) = Γ ( 1 4) (4 n − 3)! ! ! ! 4 N Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p) (p n − (p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{alinhado}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)} {p^{n}}}}\end{alinhado}}}}
where n!(p) denota o pth multifatorial de n. Numericamente,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142., não se sabe se essas constantes são transcendentais em geral, mas Γ (1/3) e Γ(1/4) foram mostrados como transcendentais por G. V. Chudnovsky. Γ(1/4) / 4√π também é conhecido por ser transcendental, e Yuri Nesterenko provou em 1996 Que Γ (1/4), π, e en são algebricamente independentes.,
O número de Γ(1/4) está relacionada com a constante de Gauss G por
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
e especula-se por Gramain que
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
onde δ é a Masser–Gramain constante OEIS: A086058, embora numérica de trabalho por Melquiond et al. indica que esta conjectura é falsa.,
Borwein e Zucker descobriram que Γ(n/24) pode ser expressa algebraically em termos de π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)) e K(k(6)), onde K(k(N)) é uma integral eliptica completa do primeiro tipo. This permits eficientemente approximating The gamma function of rational arguments to high precision using quadratically convergent arithmetic–geometric mean iterations. Não se conhecem relações similares Para Γ (1/5) ou outros denominadores.,
Em particular, onde AGM() é a aritmética média geométrica, temos
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGO ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 de 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGO ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGO ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Outras fórmulas incluem o infinito produtos
Γ ( 1 de 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
e
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) (k − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{k(-1)^{k}}}
a, onde a é o Glaisher–Kinkelin constante e G é o catalão é constante.,as duas representações seguintes Para Γ (3/4) foram dadas por I., k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2 k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
e
π 2 1 Γ 2 ( 3 de 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik,\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
onde ϑ1 e ϑ4 são dois dos theta de Jacobi funções.,