Pós-atividade publicação

Curador: Malcolm A. H. MacCallum

Contribuições:

Soluções Exactas de as Equações de Einstein

a Relatividade Geral de Einstein é a principal teoria do espaço-tempo e a gravidade: é altamente não-linear. Soluções exatas das equações de Einstein assim modelam sistemas gravitacionais e permitem a exploração da matemática e da física da teoria.,

Conteúdo

  • 1 Resumo
  • 2 as equações de Einstein
  • 3 Fazendo as equações tratável
    • 3.1 grupos de Simetria
    • 3.2 “Algebraically especial” soluções
    • 3.3 Outras suposições simplificadoras
  • 4 Resolvendo as equações
  • 5 Algumas soluções importantes
    • 5.1 A Schwarzschild e Kerr soluções
    • 5.2 As equações de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) soluções
    • 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (TBL) soluções
    • 5.4 Plano ondas
    • 5.,5 The Taub-NUT family
  • 6 References

    • 7 See also

Summary

Einstein’s field equations of general relativity are 10 nonlinearparcial differential equations in 4 independent variables. Este sistema complexo não pode ser geralmente integrado, embora tenha sido reformulado como uma equação integral auto-acoplada (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). As aproximações analíticas e numéricas podem ser utilizadas para explorar situações físicas. As soluções exactas, embora obtidas pela imposição de pressupostos simplificadores, complementam estas abordagens de várias formas., Eles incorporam toda a não-linearidade, permitindo o estudo de regimes de campo fortes; eles fornecem fundos sobre os quais podem ser construídas aproximações perturbadoras; e eles permitem o controle da acacácia numérica.

o termo “solução exata” não é bem definido: normalmente significa uma solução onde todas as quantidades são expressas por funções elementares ou pelas funções especiais bem conhecidas, mas às vezes é estendido para incluir soluções conhecidas apenas até a solução de uma ou mais equações diferenciais., As soluções exatas conhecidas são obtidas a partir de uma grande variedade de suposições, sendo a mais importante delas a imposição de grupos de simetria ou formas especiais do curvaturetensor. Entre as soluções conhecidas, algumas têm sido de particular importância física ou matematicamente.vários livros fornecem inquéritos sobre soluções exatas e devem ser consultados se forem desejados mais detalhes. Para uma pesquisa geral de soluções que contêm o momento energético exemplopor vácuo, eletromagnetismo e perfectflóides, ver Stephani et al., (2003), para não homogêneas cosmologicalsolutions (definidos como aqueles que contêm como um caso especial de um dos modelos de FLRW discutido abaixo) ver Krasi$\acute{\rm n}$de esqui (1997), e para pesquisas detalhadas de somespecial aulas Griffiths (1991) e Belinskii e Verdaguer(2001).

For physical interpretations of many important solutions seeBi$\check{\rm c} \ acute{\rm A}$k (2000) and Griffiths and Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Note-se que uma solução exata não tem necessariamente interpretação aunique., Por exemplo, entre os exemplos dados mais tarde a solução de Schwarzschild pode ser interpretada como representando ou a região exterior de uma esférica, ou a região de interação após a colisão de duas ondas de planador particulares. Um ponto relacionado é que fontes diferentes podem dar origem à mesma solução exata.

as equações de Einstein

a teoria da Relatividade Geral de Einstein generaliza a gravidade de Newton para uma Compatível com a relatividade especial., Ele modela o espaço e o tempo como uma variedade (pseudo-)riemaniana de quatro dimensões com uma variedade amétrica \(g_{ab}\) de assinatura \(\pm 2\) (a escolha do sinal é convencional). Assume-se que as partículas de ensaio se movem sobre a geodésica desta variedade e as forças gravitacionais das marés são descritas pela sua curvatura.

As equações foram introduzidas em termos de uma base de coordenadas, mas são frequentemente escritas na forma obtida assumindo um tetrad (achoice de base do espaço vetorial tangente cuja base vetores tem produtos escalares), ou em termos do formalismo de spin-coefficient.,

porque, partindo de um conjunto diferente de caracterizar assumptionsone pode chegar à mesma solução em diferentes coordenadas, o “problema deequivalência” de decidir quando duas variedades são (localmente) o mesmo, ou seja, isométricas, é de importância. Isto é formalmente indecideablebut na prática geralmente pode ser resolvido usando métodos baseados em ideasof Cartan (ver Capítulo 9 de Stephani et al. (2003)).,

as mesmas equações (mutatis mutandis) foram usadas e resolvidas em dimensões mais altas (ver anel preto), com algumas das mesmas técnicas, mas até agora muito pouco da paisagem completa de possíveis soluções em 5 ou mais dimensões foi explorado.

tornando as equações tratáveis

autores às vezes assumem uma forma métrica e usam Eq. (1) calcular o momento-Energia [Este é o método obsoleto \(g\) descrito por bySynge(1971)]. Uma vez que nenhuma equação é realmente resolvida, o resultado não merece ser chamado de solução., No entanto, as soluções exactas são geralmente obtidas através de formas de simplificação menos extremas que, para uma determinada forma de energia-momentum, podem automaticamente garantir que algumas delas são verdadeiras, deixando outras para serem resolvidas.grupos de simetria as soluções obtidas por tais pressupostos são abrangidas pela Parte II de estefão e outros. (2003): see also Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) and Bolejko et al (2010).,

“soluções algebricamente especiais”

um tensor de Weyl não-zero tem a propriedade de que existem quatro “principais direções nulas” (PNDs),definidas por vetores nulos obedecendo\bc}k^bk^c=0.\]A estrutura algébrica do tensor de Weyl é então caracterizada por se dois ou mais dos PNDs coincidem. Quando pelo menos dois fazem, então,fornecendo um momento-Energia adequado é assumido, o tensor métrico pode serimplificado., Esses intervalos são conhecidos como “algebricamente especiais”, e podem ser classificados nos tipos Petrov pelos números de sinais coincidentes: os detalhes dos casos possíveis são dados no artigo sobre o formalismo de spin-coefficient. Para a energia-momenta usuallyconsidered em tais spacetimes, o vetor campo das repetidas PND isgeodesic e shearfree pelo Kundt-teorema de Thompson, que (ver Stephani etal (2003), teorema 7.5) generaliza o Goldberg-Sachs teorema. Quando apenas dois PNDs coincidem, o espaço-tempo isof Petrov tipo II., No artigo sobre o formalismo do coeficiente de rotação, o exemplo das soluções Robinson-Trautman (métricas Petrov tipo II em que o campo de PNDs repetidos é livre de torção) é derivado em detalhe.as soluções algebricamente especiais conhecidas são discutidas na Parte III de Estefani et al. (2003). Há naturalmente uma sobreposição com as soluções captadas assumindo grupos de simetria. Por exemplo, todas as soluções esfericalisimétricas são do tipo Petrov D ou, como um caso especial, conformalmente flat.,

Outras suposições simplificadoras

Algumas outras especializações de interesse surgem a partir dos seguintes pressupostos

  • existem constante vetorial ou tensorial campos
  • a curvatura é recorrente, complexo recorrente ou simétrica (estas são condições, por exemplo,,, \(R_{abcd;e}\))
  • há um Matando ou Matando-Yano tensor
  • o espaço-tempo admite isolante movimentos ou collineations (campos vetoriais gerar uma transformação em que a métrica é mapeado para um múltiplo de si mesmo ou a curvatura para si)
  • o espaço-tempo contém superfícies com propriedades especiais (por exemplo, televisão, televisão tridimensional fatias)
  • o espaço-tempo tem especial a incorporação de propriedades

particularmente Um caso comum é onde existe um isolante movimento forwhich o múltiplo é uma constante: tais transformações são calledhomotheties., Seus campos vetoriais geradores obedecem\onde \(C\) é uma constante. Um número significativo de soluções conhecidas admitem homoteties, embora muitas delas tenham sido descobertas sem a presença da homotety serassumida.

resolvendo as equações

Uma vez que se tenha simplificado a métrica e introduzido um tensor de energia-momento, as restantes equações não-triviais formarão um sistema de equações diferenciais (ou, no caso da espacimehomogeneidade, equações algébricas). Não há algoritmo geral para todos os casos, mas alguns métodos usados em outras áreas provaram ser úteis.,

Mentira ponto de simetrias do sistema de equações, embora útil inmany situações (ver e.g. Stephani (1989) ou Olver (1986)), usuallyreduce no espaço-tempo de contexto para difeomorfismos do coletor(apenas dizendo que os resultados são coordenadas invariável) ou toisometric ou homotética movimentos. No entanto, existem casos (por exemplo, fluidos perfeitos semear esféricos simétricos) em que simetrias Liepoint têm sido úteis para encontrar soluções exatas. As simetrias generalizadas, o prolongamento e a linearização podem igualmente ser úteis.,

Em particular, soluções com duas deslocações Matar vetores (atuando onspacelike ou timelike bidimensional superfícies), e contendo matterwith adequado de energia-momentum, são passíveis de métodos de theoryof de sistemas integráveis, tais como harmônica (mapas de potencial spacesymmetries), transformações de Bäcklund, inverso de espalhamento, andRiemann-Hilbert problemas. Por exemplo, todos os intervalos estáticos axisymmetricvacuum podem ser obtidos utilizando técnicas geradoras que iniciam a partir do espaço plano. Entre os resultados estão soluções solitônicas.,

algumas soluções importantes

muitas soluções são conhecidas,como a leitura das referências citadas no resumo mostrará, e muitas delas não foram interpretadas fisicamente. Conhecendo a métrica em forma fechada, a elucidação de suas propriedades físicas ainda pode ser difícil (veja Griffiths e Podolsk$ \ acute {\rm y}$ (2009))): por exemplo, as equações geodésicas, cujas soluções dão as possíveis trilhas de partículas de teste e raios de luz, podem ser intratáveis até mesmo para a simplemática. Entre as soluções mais importantes contam-se as que são agora sucintamente descritas., (Note that although the selected solutions are all algebraicallyspecial and several are sphericallysymmetric, this is far from being the case for all solutions.) Os trabalhos originais em que as soluções selecionadas foram primeiramente derivadas estão todos prontamente disponíveis, tendo, exceto para o primeiro papel plane waves, sido incluído na série “Golden Oldies”.

as soluções de Schwarzschild e Kerr

a métrica de Schwarzschild é a única solução externa para um corpo esférico simétrico em um espaço vazio circundante., Isto sugere que a Relatividade Geral compartilha com a gravidade newtoniana a propriedade de que o campo externo de qualquer corpo esférico depende apenas de sua massa total e não da distribuição radial da matéria. No entanto, a interpretação da solução como a mesma que a de um ponto de massa no centro é insatisfatória porque a forma acima é adequada apenas em \(r>2m\). Nos primeiros anos após a descoberta da solução, os pesquisadores não eram claros se \(r=2m\), onde a métrica de Eq. (5) claramente tem um coeficiente singular, representou uma verdadeira singularidade., É agora bem entendido que é um “horizonte de eventos”, o limite de um buraco negro, e que a continuação analítica completa da solução é singular em \(r=0\). Para informações históricas veja Eisenstaedt (1982) e para uma discussão geral das propriedades globais do espaço-tempo, incluindo aqueles discutidos aqui, veja Hawking e Ellis (1973). A solução de Schwarzschild forneceu um padrão para investigações posteriores de singularidades e buracos negros.a singularidade desta solução mostra que a relatividade geral não admite ondas gravitacionais monopolares., É também a aproximação de ordem mais baixa ao campo de corpos astronômicos reais, como a terra e o sol. Calculando geodésicas neste campo permitiu previsões precisas de flexão de luz pelo sol e o avanço do periélio de mercúrio, dois dos “testes clássicos” da teoria da relatividade geral.

a solução de Schwarzschild é um caso especial da solução de Kerr (encontrada em 1963) que representa o campo externo de um buraco negro rotativo. Isto pode ser escrito como um exemplo de QE. (4) com \(e=g=l=\Lambda=0\) e é normal escrever \(a^2:=\gamma\)., A relação entre o spin e a massa (em unidades geometrizadas) é então \(a/m\). As soluções de Schwarzschild e Kerr fornecem o fundo para estudos da física no campo dos buracos negros, que são usados na modelagem de fontes binárias de raios X e núcleos galácticos ativos na astronomia. Observations of radiation from matter near black holes enables us to infer that there are astronomical black holes with \(a / m > 0,95\): see Black holes.

os buracos negros de Schwarzschild e Kerr podem ser facilmente generalizados para incluir cargas eletromagnéticas não-zero e (usando Eq., (4) por exemplo) não-zero \(l\) e \(\Lambda\). Existem teoremas de singularidade que mostram (com algumas reservas técnicas) que estas famílias são os únicos buracos negros estacionários com topologia esférica de um horizonte de eventos não-singular.

as soluções Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)

estas soluções dão a geometria do “modelo padrão” na cosmologia moderna, e assim fornecem o fundo para um enorme número de trabalhos que estudam física cosmológica, incluindo perturbações das soluções., Sua geometria foi clarificada por Robertson e Walker, independentemente, na década de 1930, e as soluções específicas mais usadas foram encontradas por Friedmann e por Lemaître na década de 1920: daí o nome longo.

soluções de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)

estas soluções esfericamente simétricas são as soluções para Eq. (2) contendo “poeira” (um fluido perfeito, com \(p=0\), com \(\Lambda=0\). Eles generalizam as soluções FLRW para poeira para soluções não homogêneas., Uma vez que se acredita que a poeira seja uma representação adequada do conteúdo de matéria do universo em grande escala atualmente, as soluções LTB têm sido muito usadas para fornecer modelos exatos de estruturas no universo (ver Bolejko et al (2010)). Eles contêm como casos especiais tanto as soluções Schwarzschild quanto as soluções FLRW de poeira.

ondas planas

estes intervalos fornecem um exemplo importante de uma estrutura global inesperada., Se se junta uma onda plana a espaços planos de ambos os lados de algum intervalo de \(u\), formando uma “onda sanduíche”, então o cone de luz a partir de um ponto de um lado se concentra no outro lado, como encontrado por Penrose (1965). A estrutura da onda sandwich resolveu a questão de saber se as ondas gravitacionais encontradas pela primeira vez, usando aproximações, por Einstein poderiam ser apenas efeitos coordenados: Bondi, Pirani e Robinson (1959) mostraram que as partículas de teste livres são relativamente aceleradas pela passagem através da região da onda, implicando que a onda deve transportar energia.,

As ondas planas são a primeira aproximação para a radiação gravitacional longe de uma fonte em um espaço vazio. Eles são um caso especial das ondas pp mais gerais, soluções com um vetor nulo covariantemente constante de matar redirecionando ondas gravitacionais planeadas com raios paralelos e encontradas em 1925 por Brinkman. Toda esta classe é de Petrov tipo N (todos os quatro PNDs coincidentes) ou conformalmente plana.

A Família Taub-NUT

o espaço-tempo Taub-NUT tem propriedades globais muito inesperadas., O NUTregion contém closed timelike linhas e não sensível superfícies de Cauchy,há dois inequivalent máxima analítica extensões de theTaub região (ou de um não-Hausdorff manifold com ambas as extensões), thespacetime é nonsingular no sentido de uma curvatura singularidade,e há geodesia finitos afim parâmetro de comprimento. Estas propriedades deram origem ao título do artigo de migner de 1963 (algumas destas propriedades são compartilhadas por outras métricas Taub-NUT)., A solução teve uma grande influência nos estudos de soluções exatas e modelos cosmológicos que são espacialmente homogêneos, e mais geralmente naqueles que são hipersurface-homogêneos e eu-semelhantes, na cosmologia em geral, e na nossa compreensão da análise global e das singularidades no espaço-tempo.

Belinski, V A e Verdaguer, e (2001). Solítons gravitacionais. Cambridge University Press, Cambridge.

Eisenstaedt, j (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arco. Hist. Exactamente Sci. 27: 157-198. Ellis, G F R e Madsen, m (1991)., Cosmologias de campo escalares exactas. Classe. Quantum. Gravidade. 8: 667-676. Griffiths, J B (1991). Ondas planas colidindo na relatividade geral. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford. Hawking, S W and Ellis, G F R (1973). A estrutura em grande escala do espaço-tempo. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$ \ acute{\rm n}$ski, A (1997). Modelos cosmológicos não homogéneos. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, P J (1986). Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, Heidelberg. Penrose, R (1965)., Uma propriedade notável das ondas planas na relatividade geral. Rev. Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, D W; Waylen, P C e Gilman, R C (1969). Generally covariant integral formulation of Einstein’s field equations. Physical Review A 187: 1762.

Stephani, H (1989). Equações diferenciais-suas soluções usando simetrias. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Relativity: the general theory. North-Holland, Dordrecht.

See also

Black hole, Black ring, Cosmological Constant, General relativity, Spin-coefficient formalism