transformata Fouriera jest uogólnieniem złożonych szeregów Fouriera w granicy jako
. Zastąp dyskretną 
ciągłą 
, pozwalając 
., id=”419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., Zapis 
jest wprowadzony w Trott (2004, str. xxxiv), a 
I
są czasami również używane do oznaczania odpowiednio transformaty Fouriera i odwrotnej transformacji Fouriera (Krantz 1999, str. 202).
zauważ, że niektórzy autorzy (zwłaszcza fizycy) wolą pisać transformatę pod względem częstotliwości kątowej
zamiast częstotliwości oscylacji
.,”25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Domyślnie język Wolfram przyjmuje cztery parametry jako 
. Niestety, wiele innych konwencji jest w powszechnym użyciu. Na przykład 
jest używany we współczesnej fizyce, 
jest używany w czystej matematyce i inżynierii systemów, 
jest używany w teorii prawdopodobieństwa do obliczania funkcji charakterystycznej, 
jest używany w klasycznej fizyka, a 
jest używany w przetwarzaniu sygnałów. W tej pracy, po Bracewell (1999, pp., 6-7), zawsze przyjmuje się, że 
I 
chyba że podano inaczej. Ten wybór często skutkuje znacznie uproszczonymi transformacjami typowych funkcji, takich jak 1, 
, itd.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
 |
(19)
|
A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
 |
(20)
|
provided that
exists.,
2. Istnieje skończona liczba nieciągłości.
3. Funkcja ma ograniczoną zmienność.,d”>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
istnieje również dość zaskakująca i niezwykle ważna zależność między autokorelacją a transformatą Fouriera, znaną jako twierdzenie Wienera-Khinchina., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
 |
(33)
|
The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
 |
(40)
|
The first term consists of an oscillating function times 
., id=”3f4582000b”>
so 
has the Fourier transform
 |
(57)
|
If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=”ec13a9034f”>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
każda operacja na 
która pozostawia swój obszar bez zmian pozostawia 
bez zmian, od
 |
(64)
|
poniższa tabela podsumowała niektóre wspólne pary transformat Fouriera.,or 
, 
by
 |
 |
 |
(67)
|
 |
 |
 |
(68)
|