w analogii ze wzorem half-integer,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 N Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4) (4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 N Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p) (p n − (p − 1 ) ) ! ( p) p n {\displaystyle {\begin{aligned} \Gamma\left(n+{\tfrac {1}{3}} \ right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right) {\frac {(3n-2)!!!{3^{n}}}\ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left ({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,{4^{n}}} \ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left ({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (} pn-(P-1){\big )}!^{(p)}} {p^{n}}}\end{aligned}}}
gdzie n!(p) oznacza wieloczynnik PTH N. numerycznie,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {3}} \ right) \ approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {4}} \ right) \ approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ (1 5) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1} {5}} \ right) \ approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {6}} \ right) \ approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {7}} \ right) \ approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {8}} \ right) \ approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
nie wiadomo, czy te stałe są transcendentalne w ogóle, ale Γ (1/3) i Γ (1/4) zostały wykazane przez G. V. Chudnovsky ' ego jako transcendentalne. Γ ( 1/4) / 4√π jest również od dawna znane jako transcendentalne, a Jurij Nesterenko udowodnił w 1996 roku, że Γ(1/4), π i en są algebraicznie niezależne.,
Liczba Γ (1/4) jest związana ze stałą Gaussa g przez
Γ ( 1 4 ) = 2 g 2 π 3, {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac{1} {4}} \ right)={\sqrt {2G {\sqrt {2\pi ^{3}}}}},} \displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{4}}\right) = {\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma − \mathrm {\delta} + 1}}}}}
Gdzie δ jest stałą Massera-Gramaina OEIS: a086058, chociaż praca numeryczna przez melquiond et al. wskazuje, że to przypuszczenie jest fałszywe.,
Borwein i Zucker odkryli, że Γ(n/24) można wyrazić algebraicznie w kategoriach π, k(k(1)), K(k(2)), K(K(3)) i K(6)), gdzie K(k(N)) jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju. Pozwala to na efektywne przybliżenie funkcji gamma argumentów racjonalnych z dużą precyzją przy użyciu kwadratowo zbieżnych iteracji średniej arytmetyczno-geometrycznej. Podobne relacje nie są znane dla Γ (1/5) lub innych mianowników.,
w szczególności, gdzie AGM () jest średnią arytmetyczno-geometryczną, mamy
Γ (1 3 ) = 2 7 9 π π 2 3 3 1 12 AG AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7} {9}}\cdot \ pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1} {12}}\cdot \ operatorname {AGM} \left(2, {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4) = (2 π ) 3 2 AGM (2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi) ^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \ left ({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14} {9}}\cdot 3^{\frac {1} {3}}\cdot \ pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM}\left(1+{\sqrt {3}}, {\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
inne formuły obejmują nieskończone iloczyny
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π K 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
I
γ ( 1 4 ) = A 3 E − G π π 2 1 6 ∏ K = 1 ∞ ( 1 − 1 2 K ) K ( − 1 ) k {\displaystyle \gamma \Left({\tfrac {1}{4}}\right)=a^{3}e^{-{\frac {g}{\pi }}}{\sqrt {\Pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{K=1}^{\infty }\Left(1-{\frac {1}{2K}}\right)^{k(-1)^{k}}}
gdzie A jest stałą Glaisher 'a–Kinkel' A, A G jest stałą katalońskiego.,
następujące dwie reprezentacje dla Γ(3/4) zostały podane przez I., k = – ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 (i π 2 (2 k − 1), e-π), {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2K^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2K-1),e^{-\pi }\right),}
I
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ K = − ∞ ∞ ∞ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\Left({\frac {3}{4}}\right)}}=\Sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(IK\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi K^{2}}}},}
Gdzie ϑ1 i ϑ4 są dwiema funkcjami Jacobiego theta.,