rachunek różniczkowy służy do znalezienia szybkości zmiany zmiennej-w porównaniu do innej zmiennej.
w realnym świecie można go użyć do określenia prędkości poruszającego się obiektu lub do zrozumienia działania elektryczności i magnetyzmu. Jest to bardzo ważne dla zrozumienia fizyki—i wielu innych dziedzin nauki.
rachunek różniczkowy jest również przydatny do Wykresów., Można za jego pomocą znaleźć nachylenie krzywej oraz najwyższe i najniższe punkty krzywej (nazywane są one odpowiednio maksymalnym i minimalnym).
zmienne mogą zmieniać swoją wartość. Różni się to od liczb, ponieważ liczby są zawsze takie same. Na przykład liczba 1 jest zawsze równa 1, A Liczba 200 jest zawsze równa 200. Często zapisuje się zmienne w postaci liter, takich jak litera x: „x” może być równy 1 w jednym punkcie i 200 w innym.
niektóre przykłady zmiennych to odległość i czas, ponieważ mogą się zmieniać., Prędkość obiektu jest to, jak daleko porusza się w określonym czasie. Więc jeśli miasto jest 80 kilometrów (50 mil) od hotelu i osoba w samochodzie dociera tam w ciągu godziny, podróżują ze średnią prędkością 80 kilometrów (50 mil) na godzinę. Ale to tylko średnia: być może podróżowali szybciej w niektórych momentach (powiedzmy na autostradzie), A wolniej w innych czasach (powiedzmy na światłach lub na małej uliczce, gdzie ludzie mieszkają). Z pewnością kierowcy trudniej jest obliczyć prędkość samochodu za pomocą licznika kilometrów i zegara—bez prędkościomierza.,
dopóki nie wynaleziono rachunku, jedynym sposobem na wypracowanie tego było cięcie czasu na mniejsze i mniejsze kawałki, aby średnia prędkość w mniejszym czasie zbliżała się do rzeczywistej prędkości w danym momencie. Był to bardzo długi i trudny proces i musiał być wykonywany za każdym razem, gdy ludzie chcieli coś wypracować.
na krzywej dwa różne punkty mają różne nachylenia. Czerwone i niebieskie linie są styczne do krzywej.,
bardzo podobnym problemem jest znalezienie nachylenia (jak stroma jest) w dowolnym punkcie na krzywej. Nachylenie linii prostej jest łatwe do obliczenia — po prostu jest to, ile idzie w górę lub w dół (y lub pionowo) podzielone przez ile idzie w poprzek (X lub poziomo). Jednak na krzywej nachylenie jest zmienne (ma różne wartości w różnych punktach), ponieważ linia wygina się. Ale gdyby krzywa miała być pocięta na bardzo, bardzo małe kawałki, krzywa w punkcie wyglądałaby prawie jak bardzo krótka linia prosta., Aby obliczyć jego nachylenie, można narysować prostą linię przez punkt o takim samym nachyleniu, jak krzywa w tym punkcie. Jeśli jest to zrobione dokładnie w porządku, linia prosta będzie miała takie samo nachylenie jak krzywa i nazywa się styczną. Ale nie ma sposobu, aby wiedzieć (bez skomplikowanej matematyki), czy styczna jest dokładnie właściwa, a nasze oczy nie są wystarczająco dokładne, aby mieć pewność, czy jest dokładna, czy po prostu bardzo blisko.
to, co Newton i Leibniz znaleźli, było sposobem na dokładne obliczenie nachylenia (lub prędkości w przykładzie odległości), przy użyciu prostych i logicznych reguł., Podzielili krzywą na nieskończoną liczbę bardzo małych kawałków. Następnie wybierali punkty po obu stronach zakresu, którym byli zainteresowani i wypracowywali styczne na każdej z nich. Gdy punkty przesuwały się bliżej siebie w kierunku punktu, którym były zainteresowane, nachylenie zbliżało się do określonej wartości, gdy styki zbliżały się do rzeczywistego nachylenia krzywej. Szczególną wartością, do której się zbliżył, było rzeczywiste nachylenie.
obrazek pokazujący, co oznaczają x i x + h na krzywej.,
Matematycy rozwinęli tę podstawową teorię, tworząc proste zasady algebry—które można wykorzystać do znalezienia pochodnej prawie każdej funkcji.