dyskusja
stałe przyspieszenie
rachunek jest zaawansowanym zagadnieniem matematycznym, ale sprawia, że wyprowadzanie dwóch z trzech równań ruchu jest znacznie prostsze. Z definicji przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości w odniesieniu do czasu. Weź operację w tej definicji i odwróć ją. Zamiast różnicować prędkość, aby znaleźć przyspieszenie, Zintegruj przyspieszenie, aby znaleźć prędkość. To daje nam równanie prędkości i czasu., Jeśli założymy, że przyspieszenie jest stałe, otrzymamy tzw. pierwsze równanie ruchu .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Odwróć tę operację. Zamiast różnicować pozycję, aby znaleźć prędkość, Zintegruj prędkość, aby znaleźć pozycję. Daje nam to równanie położenia i czasu dla stałego przyspieszenia, znane również jako drugie równanie ruchu .,td>
⌡
w przeciwieństwie do pierwszego i drugiego równania ruchu, nie ma oczywistego sposobu na wyprowadzenie trzeciego równania ruchu (tego, które odnosi się do prędkości do położenia) za pomocą rachunku różniczkowego., Nie możemy tego odwrócić od definicji. Musimy zagrać dość wyrafinowaną sztuczkę.
pierwsze równanie ruchu odnosi prędkość do czasu. Zasadniczo pochodna ta została wyprowadzona …
| DV | = a |
| dt |
drugie równanie ruchu odnosi się do czasu., Pochodzi z tej pochodnej…
| DS | = v |
| dt |
trzecie równanie ruchu odnosi się do prędkości położenia. Przez logiczne rozszerzenie powinno pochodzić z pochodnej, która wygląda tak…
| dv | = ? |
| ds |
ale co to oznacza? Cóż, nic z definicji, ale jak wszystkie ilości, to się równa. Jest również równa się pomnożona przez 1., Użyjemy specjalnej wersji 1 (dtdt) oraz specjalnej wersji algebry (algebra z infinitezymalami). Zobacz, co się stanie, kiedy to zrobimy. Otrzymujemy jedną pochodną równą przyspieszeniu (dvdt), a drugą pochodną równą odwrotności prędkości (dtds).,”2″> =
Next step, separation of variables., Zbierz rzeczy, które są podobne razem i zintegruj je.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Jednak tak naprawdę zadziałało tylko dlatego, że przyspieszenie było stałe — stałe w czasie i stałe w przestrzeni. Jeśli przyspieszenie zmieni się w jakikolwiek sposób, Metoda ta byłaby nieprzyjemnie trudna. Wrócilibyśmy do używania algebry tylko po to, by uratować nasze zdrowie psychiczne. Nie żeby było w tym coś złego. Algebra działa, a rozsądek jest wart ocalenia.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Zastosujmy go do sytuacji o nietypowej nazwie-constant jerk. Nie kłamię, tak to się nazywa. Jerk to szybkość zmiany przyspieszenia w czasie.
| j = | da |
| dt |
To sprawia, że jerk jest pierwszą pochodną przyspieszenia, drugą pochodną prędkości, a trzecią pochodną pozycji.,
| j = | da | = | D2V | = | d3s |
| dt | DT2 | DT3 |
jednostka SI szarpnięcia jest licznikiem na sekundę.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/C3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
zapasowy blok G na sekundę.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/C3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
durniu, to nie jest po prostu jakiś mądrala fizyki odpowiedź na pytanie: „o tak, to, co nazywasz trzeciej pochodnej stanowiska?”Palant to znacząca ilość.
Ludzkie ciało jest wyposażone w czujniki do wyczuwania przyspieszenia i szarpnięcia., Znajduje się głęboko wewnątrz ucha, zintegrowane z naszych czaszek, znajduje się szereg komór zwanych labirynt. Część labiryntu poświęcona jest naszemu zmysłowi słuchu (ślimak), a część naszemu zmysłowi równowagi (układ przedsionkowy). System przedsionkowy wyposażony jest w czujniki wykrywające Przyspieszenie kątowe (kanały półkoliste) oraz czujniki wykrywające Przyspieszenie liniowe (otolity). W każdym uchu mamy dwie otolity-jedną do wykrywania przyspieszenia w płaszczyźnie poziomej (utricle) i jedną do wykrywania przyspieszenia w miejscu pionowym (saccule)., Otolity to nasze własne akcelerometry.
słowo otolit pochodzi od greckiego οτο (oto) dla ucha i λιθος (lithos) dla kamienia. Każdy z naszych czterech otolitów składa się z twardej kościopodobnej płytki przymocowanej do maty włókien czuciowych. Gdy głowa przyspiesza, Płyta przesuwa się w jedną stronę, zginając włókna czuciowe. To wysyła sygnał do mózgu mówiąc: „przyspieszamy.”Ponieważ grawitacja również ciągnie na płytach, sygnał może również oznaczać” ta droga jest w dół.”Mózg jest całkiem dobry w zrozumieniu różnicy między tymi dwoma interpretacjami. Tak dobrze, że mamy tendencję do ignorowania tego., Wzrok, dźwięk, zapach, smak — dotyk-gdzie jest równowaga na tej liście? Ignorujemy go, dopóki coś nie zmieni się w sposób niezwykły, nieoczekiwany lub ekstremalny.
nigdy nie byłem na orbicie ani nie żyłem na innej planecie. Grawitacja zawsze ściąga mnie w dół w ten sam sposób. Stojąc, chodząc, siedząc, leżąc-to wszystko jest dość uspokajające. Wskakuj do kolejki górskiej lub weź udział w równie ekscytujących zajęciach, takich jak jazda na nartach zjazdowych, wyścigi Formuły 1 lub jazda na rowerze w ruchu na Manhattanie. Przyspieszenie jest kierowane najpierw w jedną stronę, potem w drugą. Mogą nawet wystąpić krótkie okresy nieważkości lub inwersji., Tego rodzaju doznania generują intensywną aktywność umysłową, dlatego lubimy je wykonywać. Wyostrzają nas również i utrzymują nas w skupieniu podczas ewentualnie kończących się chwil życia, dlatego wyewoluowaliśmy ten sens w pierwszej kolejności. Twoja zdolność do wyczuwania szarpnięcia jest niezbędna dla Twojego zdrowia i dobrego samopoczucia. Jerk jest zarówno ekscytujące i konieczne.
stała jest łatwa do opanowania matematycznie. Jako ćwiczenie poznawcze wyprowadźmy równania ruchu dla ciągłości. Możesz spróbować bardziej skomplikowanych problemów jerk, jeśli chcesz.
jest pochodną przyspieszenia., Cofnij ten proces. Zintegruj szarpnięcie, aby uzyskać przyspieszenie w funkcji czasu. Proponuję nazwać to równaniem zerowym ruchu dla ciągłości ciągłej. Powód dlaczego będzie widoczny po zakończeniu następnego wyprowadzenia.,”c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Zintegruj przyspieszenie, aby uzyskać prędkość jako funkcję czasu. Już to robiliśmy. Wynik nazywamy relacją prędkość-czas lub pierwszym równaniem ruchu, gdy przyspieszenie było stałe. Powinniśmy nadać mu podobną nazwę. Jest to pierwsze równanie ruchu dla ciągłości ciągłej.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Zintegruj prędkość, aby uzyskać przemieszczenie w funkcji czasu. Już to robiliśmy. Wynikająca z tego zależność przemieszczenie-czas będzie drugim równaniem ruchu dla ciągłości ciągłej.,v id=”2b78da115e”> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Gdy jest zero, wszystkie powracają do równań ruchu dla stałego przyspieszenia. Zero jerk oznacza ciągłe przyspieszenie, więc wszystko jest w porządku ze światem, który stworzyliśmy. (Nigdy nie mówiłem, że stałe przyspieszenie jest realistyczne. Ciągłe Szarpanie jest równie mityczne. Jednak w świecie hipertekstowym wszystko jest możliwe.)
Gdzie idziemy dalej? Czy powinniśmy pracować nad relacją prędkość-przemieszczenie(trzecie równanie ruchu dla ciągłości)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., To nie może być nasz przyjaciel. W tej chwili nie mogę się przejmować. Nie wiem, czy wypracowanie tego powie mi coś ciekawego. Wiem, że nigdy nie potrzebowałem trzeciego lub czwartego równania ruchu dla ciągłego szarpania — jeszcze nie. Pozostawiam ten problem matematykom świata.
jest to problem, który odróżnia fizyków od matematyków. Matematyk niekoniecznie dbałby o znaczenie fizyczne i mógłby po prostu podziękować fizykowi za interesujące wyzwanie., Fizyk niekoniecznie dba o odpowiedź, chyba że okaże się przydatna, w takim przypadku fizyk z pewnością podziękuje matematykowi za to, że jest tak ciekawy.
stałe nic
ta strona w tej książce nie jest o ruchu ze stałym przyspieszeniem, czy ciągłym szarpaniu, czy ciągłym trzaskaniu, trzaskaniu czy popie. Chodzi o ogólną metodę określania wielkości ruchu (położenia, prędkości i przyspieszenia) w odniesieniu do czasu i siebie nawzajem dla każdego rodzaju ruchu., Procedura polega na różnicowaniu (znajdowaniu pochodnej)…
- pochodną pozycji z czasem jest prędkość (v = dsdt).
- pochodną prędkości z czasem jest przyspieszenie (a = dvdt).
lub całkowanie (znalezienie całki)…
- całką przyspieszenia w czasie jest zmiana prędkości (∆v = ∫a dt).
- całką prędkości w czasie jest zmiana położenia (∆s = ∫v dt).
tak to działa. Pewna charakterystyka ruchu obiektu jest opisana przez funkcję., Możesz znaleźć pochodną tej funkcji? To daje kolejną charakterystykę ruchu. Czy możesz znaleźć jego integralną część? To daje Ci inną charakterystykę. Powtórz każdą operację tyle razy, ile to konieczne. Następnie zastosuj techniki i pojęcia, których nauczyłeś się w rachunku różniczkowym i pokrewnych gałęziach matematyki, aby wyodrębnić więcej znaczeń-zakres, dziedzina, limit, asymptota, minimum, maksimum, extremum, wklęsłość, przegięcie, analityczne, numeryczne, dokładne, przybliżone i tak dalej. Dodałem kilka ważnych uwag na ten temat do podsumowania tego tematu.,
