działalność po publikacji

kurator: Malcolm A. H. MacCallum

autorzy:

dokładne rozwiązania równań Einsteina

Ogólna teoria względności Einsteina jest wiodącą teorią czasoprzestrzeni i grawitacji.nieliniowe. Dokładne rozwiązania równań Einsteina modelują w ten sposób układy Grawitacyjne i umożliwiają eksplorację matematyki i fizyki teorii.,

spis treści

  • 1 Podsumowanie
  • 2 równania Einsteina
  • 3 Rozwiązywanie równań równań ciągłych
    • 3.1 grupy symetrii
    • 3.2 „algebraicznie specjalne” rozwiązania
    • 3.3 inne założenia upraszczające
  • 4 Rozwiązywanie równań
  • 5 niektóre ważne rozwiązania
    • 5.1 rozwiązania Schwarzschilda i Kerra
    • 5.2 rozwiązania Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera (flrw)
    • 5.3 rozwiązania Lemaître-tolmana-Bondiego (LTB)
    • 5.4 fale płaszczyznowe
    • 5.,5 rodzina Taub-NUT
  • 6 Referencje
  • 7 patrz również

podsumowanie

równania pola Einsteina ogólnej teorii względności to 10 nieliniowych równań różniczkowych w 4 zmiennych niezależnych. Ten skomplikowany system nie może być ogólnie zintegrowany, chociaż został przeformułowany jako samo sprzężone równanie całkowe (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Analityczne i numeryczne przybliżenia mogą być wykorzystane do zbadania sytuacji fizycznych. Dokładne rozwiązania, choć uzyskane poprzez uproszczenie założeń, uzupełniają takie podejścia w kilka sposobów., Uosabiają one pełną Nieliniowość, pozwalając na badanie silnych reżimów polowych; dostarczają tła, na których można budować perturbacyjne maksimum; oraz umożliwiają sprawdzenie poprawności numerycznej.

termin „rozwiązanie dokładne” nie jest dobrze zdefiniowany: zwykle oznacza ono rozwiązanie, wktórym wszystkie wielkości są wyrażane przez funkcje elementarne lub znane funkcje specjalne, ale czasami rozszerza się je na rozwiązania znane tylko do rozwiązania jednego lub kilku równań., Znane dokładne rozwiązania są uzyskiwane zróżnorodności założeń, zktórych najważniejsze sąpozycje grup symetrii lub specjalne formy krzywej. Wśród znanych rozwiązań niektóre miały szczególne znaczenie fizyczne lub matematyczne.

wiele książek dostarcza dokładnych rozwiązań i powinno być sprawdzonych, jeśli pożądane są pełniejsze szczegóły. Ogólne badanie roztworów zawierających energię pędu podaną przez próżnię, elektromagnetyzm i perfectfluids patrz Stephani et al., (2003), dla niejednorodnych cosmologicalsolutions (zdefiniowanych jako te zawierające jako szczególny przypadek jeden z modeli flrw omówione poniżej) patrz Krasi$\acute{\RM n}$ski (1997), a dla szczegółowych badań niektórych klas specjalnych patrz Griffiths(1991) i Belinskii and Verdaguer (2001).

dla fizycznych interpretacji wielu ważnych rozwiązań zobacz:$\check {\RM c}\acute {\RM A}$K (2000) oraz Griffiths and Podolsk$\acute {\RM y} $ (2009). Należy zauważyć, że dokładne rozwiązanie nie musi mieć wyjątkowej interpretacji., Na przykład, wśród przykładów podanych później rozwiązanie Schwarzschilda może być interpretowane jako reprezentujące albo zewnętrzny region sferyczny, albo Region interakcji po zderzeniu dwóch fal partykularnych. Inną kwestią jest to, że różne źródła mogą prowadzić do tego samego rozwiązania.

równania Einsteina

Ogólna teoria względności Einsteina uogólnia grawitację Newtona do jednej zgodnej ze szczególną teorią względności., Modeluje punkty przestrzeni i czasu jako (pseudo)Riemannowski czterowymiarowy kolektor z ametrycznym \(g_{ab}\) o sygnaturze \(\pm 2\) (wybór znaku jest konwencjonalny). Zakłada się, że badane cząstki poruszają się po geodezjach tego kolektora, a pływowe siły grawitacyjne są opisywane przez jego kształt.

równania zostały wprowadzone pod względem bazy współrzędnych, ale często zapisywane są w formie otrzymanej przez założenie czworościanu (iloczynu bazy stycznej przestrzeni wektorowej, której wektory bazowe mają stałe produkty skalarne), lub pod względem formalizmu współczynnika spinu.,

ponieważ wychodząc z innego zbioru założeń charakteryzujących można dojść do tego samego rozwiązania w różnych współrzędnych, ważny jest „problem równoważności” decydowania o tym, czy dwa Rozmaitości są (lokalnie) tożsame, tj. izometryczne. Jest to formalnie nierozstrzygnięte, ale w praktyce zwykle można je rozwiązać za pomocą metod opartych na ideach Kartanu (patrz rozdział 9 Stephani et al. (2003)).,

te same równania (mutatis mutandis) były używane i rozwiązywane w wyższych wymiarach (patrz czarny pierścień), przy użyciu niektórych z tych samych technik, ale do tej pory zbadano bardzo niewiele pełnego krajobrazu możliwych rozwiązań w 5 lub więcej wymiarach.

czyniąc równania tractable

autorzy czasami przyjmują formę metryczną i używają Eq. (1) obliczyć energię-pęd(jest to przestarzała metoda \(g\) – opisana przez synge ' a (1971)). Ponieważ żadne równanie nie jest faktycznie rozwiązane, wynik nie zasługuje na miano rozwiązania., Jednak dokładne rozwiązania są zazwyczaj uzyskiwane przez mniej skrajne formy uproszczenia, które w przypadku danej formy energii-pędu mogą automatycznie zapewnić, że niektóre z nich są prawdziwe, pozostawiając inne do rozwiązania.

grupy symetrii

rozwiązania uzyskane dzięki takim założeniom są objęte częścią II Stephani et al. (2003): zobacz także Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) i Bolejko et al (2010).,

„algebraicznie specjalne” rozwiązania

niezerowy tensor Weyla ma właściwość,że istnieją cztery „główne kierunki null” (PNDs), zdefiniowane przez wektory null spełniające\bc}k^bk^c=0.\] Struktura algebraiczna tensora Weyla charakteryzuje się tym, że dwie lub więcej z nich pokrywają się ze sobą. Gdy co najmniej dwa tak robią, to przy założeniu odpowiedniej energii-pędu można przyjąć tensor metryczny., Takie przestrzenie są znane jako „algebraicznie specjalne” i można je klasyfikować do typów Petrowa według liczb zbieżnych: szczegóły możliwych przypadków podano w artykule o formalizmie współczynnika spinu. W przypadku energii-pędu Zwykle rozważanej w takich przestrzeniach, pole wektorowe powtarzającego się PND jestgeodowe i wolne od ścinania przez twierdzenie Kundta-Thompsona, które (zob. Stephani etal (2003), twierdzenie 7.5) uogólnia twierdzenie Goldberga-Sachsa. Gdy zbiegają się tylko dwa PNDs, czasoprzestrzeń jest typu II., W artykule o formalizmie współczynnika spinowego szczegółowo przedstawiono przykład rozwiązań Robinsona-Trautmana (metryki Petrowa typu II, w których pole powtarzalnych PNDs jest skrętne).

znane algebraicznie Rozwiązania specjalne omówiono w części III et al. (2003). Zachodzi naturalnie pokrywanie się rozwiązań z założeniem grup symetrii. Na przykład, wszystkie sferycznesymetryczne rozwiązania są Petrov typu D lub, w szczególnym przypadku, conform flat.,

inne założenia upraszczające

niektóre inne interesujące specjalizacje wynikają z następujących założeń

  • istnieją stałe pola wektorowe lub tensorowe
  • krzywizna jest powtarzalna, złożona powtarzalna lub symetryczna (są to warunki na, np.,, \(R_{abcd;e}\))
  • istnieje Tensor zabijania lub zabijania-Yano
  • czasoprzestrzeń przyjmuje ruchy konforemne lub kolineacje (pola wektorowe generujące przekształcenie, w ramach którego metryka jest odwzorowywana na wielokrotność siebie lub krzywizny do siebie)
  • czasoprzestrzeń zawiera powierzchnie o specjalnych właściwościach (na przykład płaskie trójwymiarowe plasterki)
  • czasoprzestrzeń ma specjalne właściwości osadzania

szczególnie częstym przypadkiem jest tam, gdzie istnieje ruch konforemny, dla którego wielokrotność jest stałą: takie przekształcenia nazywa się Homotetie., Ich generujące pola wektorowe są równe\gdzie \(C\) jest stałą. Znaczna liczba znanych rozwiązań przyznaje się do homotetyki, choć wiele z nich zostało odkrytych bez obecności homotetyki.

Rozwiązywanie równań

Po uproszczeniu metryki i wprowadzeniu odpowiedniego tensora energii i pędu, Pozostałe nietrywialne równania będą formować układ równań różniczkowych (lub w przypadku przestrzeni homogeniczności, równań algebraicznych). Nie ma ogólnego algorytmu dla wszystkich przypadków, ale niektóre metody stosowane w innych dziedzinach okazały się przydatne.,

symetrie punktów leżących układu równań, choć przydatne w wielu sytuacjach (zob. np. Stephani (1989) lub Olver (1986)), Zwykle wyprowadzają w kontekście czasoprzestrzeni dyfeomorfizmy Rozmaitości(po prostu mówiąc, że wyniki są niezmiennikami współrzędnych) lub toisometryczne lub homotetyczne ruchy. Istnieją jednak przypadki (np. sferycznie symetryczne ciecze doskonałe), w których symetrie Liepoint były pomocne w znalezieniu dokładnych rozwiązań. Pomocne mogą być również uogólnione symetrie, wydłużenie i linearyzacja.,

w szczególności, rozwiązania z dwoma dojazdowymi wektorami zabijania (działającymi na powierzchniach dwuwymiarowych lub czasowych) i zawierającymi materię z odpowiednią energią-pędem, są podatne na metody z teorii układów całkowalnych, takich jak mapy harmoniczne (potencjalne przestrzeniesymetrie), transformacje Bäcklunda, rozpraszanie odwrotne, problemy andriemanna-Hilberta. Na przykład wszystkie nieruchome aksymmetryczne przestrzenie można uzyskać za pomocą takich technik generowania, począwszy od przestrzeni płaskiej. Wśród rezultatów są rozwiązania solitoniczne.,

niektóre ważne rozwiązania

znanych jest bardzo wiele rozwiązań, jak pokazane zostaną odniesienia cytowane w podsumowaniu, a wiele z nich nie zostało w pełni zinterpretowanych fizycznie. Znając metrykę w postaci zamkniętej, wyjaśnienie jej właściwości fizycznych może być nadal trudne (patrz Griffiths and Podolsk$\acute{\RM y}$ (2009)):na przykład równania geodezyjne, których rozwiązania dają możliwe wyniki badań cząstek i promieni świetlnych, mogą być trudne nawet dla prostymmetrii. Wśród najważniejszych rozwiązań są obecnie krótko opisane., (Zauważ, że chociaż wybrane rozwiązania są wszystkie algebraiczne, a kilka jest sferycznych, to nie ma to miejsca w przypadku wszystkich rozwiązań.) Oryginalne prace, w których po raz pierwszy opracowano wybrane rozwiązania, są łatwo dostępne, z wyjątkiem pierwszego papieru plane waves, zaliczanego do serii „Złote Oldies”.

rozwiązania Schwarzschilda i Kerra

metryka Schwarzschilda jest unikalnym rozwiązaniem zewnętrznym dla sferycznie symetrycznego ciała w otaczającej pustej przestrzeni., To sugeruje, że ogólna teoria względności podziela z grawitacją Newtonowską właściwość, że zewnętrzne pole dowolnego ciała kulistego zależy tylko od jego całkowitej masy, a nie od radialnego rozkładu materii. Jednak interpretacja rozwiązania jako takiego samego jak masy punktu w centrum jest niezadowalająca, ponieważ powyższa forma jest odpowiednia tylko w \(r >2m\). We wczesnych latach po odkryciu rozwiązania badacze nie byli pewni, czy \(r=2M\), gdzie metryka Eq. (5) wyraźnie ma współczynnik liczby pojedynczej, reprezentuje prawdziwą osobliwość., Jest teraz dobrze zrozumiane, że jest to „horyzont zdarzeń”, granica czarnej dziury, i że całkowita kontynuacja analityczna rozwiązania jest pojedyncza przy \(r = 0\). Dla informacji historycznych patrz Eisenstaedt (1982) i dla ogólnej dyskusji globalnych właściwości przestrzeni, w tym te omówione tutaj, patrz Hawking and Ellis (1973). Rozwiązanie Schwarzschilda dostarczyło wzorca do późniejszych badań osobliwości i czarnych dziur.

wyjątkowość tego rozwiązania pokazuje, że ogólna teoria względności nie dopuszcza monopolarnych fal grawitacyjnych., Jest to również przybliżenie najniższego rzędu do pola rzeczywistych ciał astronomicznych, takich jak Ziemia i słońce. Obliczenia geodezyjne w tej dziedzinie umożliwiły dokładne przewidywanie załamania światła przez słońce i postępu Peryhelium Merkurego, dwóch z „klasycznych testów” ogólnej teorii względności.

rozwiązanie Schwarzschilda jest szczególnym przypadkiem rozwiązania Kerra (znalezionego w 1963 roku), które reprezentuje zewnętrzne pole obracającej się czarnej dziury. Można to zapisać jako przykład Eq. (4) z \(e = g = l = \ Lambda = 0\) i zwykle zapisuje \(a^2: = \ gamma\)., Stosunek spinu do masy(w jednostkach geometrycznych) wynosi wtedy \(A/M\). Rozwiązania Schwarzschilda i Kerra stanowią tło dla badań fizyki w dziedzinie czarnych dziur, które są wykorzystywane w modelowaniu rentgenowskich źródeł binarnych i aktywnych jąder galaktyk w astronomii. Obserwacje promieniowania materii w pobliżu czarnych dziur pozwalają wywnioskować, że istnieją astronomiczne czarne dziury z \ (a / m > 0.95\): patrz czarne dziury.

czarne dziury Schwarzschilda i Kerra można łatwo uogólnić na niezerowe ładunki elektromagnetyczne i (przy użyciu Eq., (4) na przykład) niezerowe \ (l\) i \ (\Lambda\). Istnieją twierdzenia o wyjątkowości pokazujące (z pewnymi zastrzeżeniami technicznymi), że rodziny te są unikalnymi stacjonarnymi czarnymi dziurami z topologią sferyczną nieosobowego horyzontu zdarzeń.

rozwiązania Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera (FLRW)

te rozwiązania dają geometrię „modelu standardowego” we współczesnej kosmologii, a tym samym stanowią tło dla ogromnej liczby prac studiujących fizykę kosmologiczną, w tym perturbacji rozwiązań., Ich geometria została wyjaśniona niezależnie przez Robertsona i Walkera w latach 30., a najczęściej stosowane konkretne rozwiązania zostały znalezione przez Friedmanna i Lemaître w latach 20.: stąd długa nazwa.

rozwiązania Lemaître-Tolmana-Bondiego (LTB)

te sferycznie symetryczne rozwiązania są rozwiązaniami dla Eq. (2) zawierające ” pył ” (doskonały płyn z \(p=0\)) z \(\Lambda=0\). Uogólniają one rozwiązania FLRW dla pyłu do niejednorodnych rozwiązań., Ponieważ uważa się, że pył jest odpowiednią reprezentacją materii wszechświata na szeroką skalę w chwili obecnej, rozwiązania LTB były szeroko wykorzystywane do dostarczania dokładnych modeli struktur we wszechświecie (patrz Bolejko et al (2010)). Zawierają w szczególnych przypadkach zarówno roztwory Schwarzschilda, jak i pyłu FLRW.

fale płaszczyznowe

te przestrzenie stanowią ważny przykład nieoczekiwanej struktury globalnej., Jeśli połączymy płaszczyznę fali z płaskimi przestrzeniami po obu stronach pewnego zakresu \(u\), tworząc „falę kanapkową”, to stożek świetlny z punktu po jednej stronie ponownie się koncentruje po drugiej stronie, jak odkrył Penrose (1965). Struktura fali kanapkowej rozwiązała kwestię, czy fale grawitacyjne znalezione po raz pierwszy, używając przybliżeń, przez Einsteina, mogą być jedynie efektami współrzędnych: Bondi, Pirani i Robinson (1959) wykazali, że wolne cząstki testowe są stosunkowo przyspieszane przez przejście przez obszar fal, co sugeruje, że fala musi przenosić energię.,

fale płaszczyznowe są pierwszym przybliżeniem promieniowania grawitacyjnego odległego od źródła w innej pustej przestrzeni. Są one szczególnym przypadkiem bardziej ogólnych fal pp, rozwiązań o kowariantnie stałym zerowym wektorze zabijania, odwracających płaszczyznowe fale grawitacyjne o promieniach równoległych i odkrytych w 1925 roku przez Brinkmana. Cała ta klasa jest typu N (wszystkie cztery PNDs zbieżne) lub konformistycznie płaska.

rodzina Taub-NUT

czasoprzestrzeń Taub-NUT ma bardzo nieoczekiwane globalne właściwości., NUTregion zawiera zamknięte linie czasowe i nie ma sensownych powierzchni Cauchy ' ego, istnieją dwa nierównomierne maksymalne rozszerzenia analityczne regionu theTaub (lub jeden kolektor Nie Hausdorffa z obu rozszerzeń), thespacetime jest nonsingular w sensie krzywizny osobliwości, i istnieją geodezje skończonej długości parametru afinicznego. Właściwości te dały początek tytułowi pracy Misnera z 1963 roku (niektóre z tych właściwości są dzielone przez inne metryki Taub-nuta)., Rozwiązanie to miało duży wpływ na badania układów i modeli kosmologicznych, które są przestrzennie jednorodne i ogólnie na te, które są hipersurface-jednorodne i podobne, na kosmologię w ogóle oraz na nasze rozumienie globalnej analizy i osobliwości w czasoprzestrzeni.

Belinski, V A i Verdaguer, E (2001). Grawitacyjne solitony. Cambridge University Press, Cambridge.

Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arch. Hist. Dokładnie Sci. 27: 157-198.

Ellis, G F R and Madsen, M (1991)., Dokładne kosmologie pola skalarnego. Klasy. Quant. Grav. 8: 667-676.

Zderzających się fal płaszczyznowych w ogólnej teorii względności. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford.

Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$ \ RM N}$ski, a (1997). Niejednorodne modele kosmologiczne. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, P J (1986). Zastosowania grup Lie ' a do równań różniczkowych. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., Niezwykła właściwość fal płaszczyznowych w ogólnej teorii względności. Ks. Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, D W; Waylen, P C and Gilman, R C (1969). Ogólnie kowariantne całkowe sformułowanie równań pola Einsteina. Przegląd Fizyczny A 187: 1762.

Równania różniczkowe-ich rozwiązania wykorzystujące symetrie. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Teoria względności-teoria ogólna. Północna Holandia, Dordrecht.

Zobacz też

czarna dziura, czarny pierścień, stała kosmologiczna,Ogólna teoria względności, formalizm współczynnika spinu