definicje średniej i mediany
w matematyce i statystyce średnia lub średnia arytmetyczna listy liczb jest sumą całej listy podzieloną przez liczbę pozycji na liście. Patrząc na rozkład symetryczny, średnia jest prawdopodobnie najlepszą miarą do osiągnięcia tendencji centralnej. W teorii prawdopodobieństwa i statystyki, mediana jest liczba oddzielająca wyższą połowę próby, populacji, lub rozkład prawdopodobieństwa, z dolnej połowy.,
jak obliczyć
średnia lub średnia jest prawdopodobnie najczęściej stosowaną metodą opisu tendencji centralnej. Średnia jest obliczana przez zsumowanie wszystkich wartości i podzielenie tego wyniku przez liczbę wartości. Średnia arytmetyczna próbki 
jest sumą próbkowanych wartości podzielonych przez liczbę pozycji w próbie:
mediana jest liczbą znajdującą się dokładnie w środku zestawu wartości. Mediana może być obliczona przez wyszczególnienie wszystkich liczb w porządku rosnącym, a następnie zlokalizowanie liczby w środku tego rozkładu., Ma to zastosowanie do listy liczb nieparzystych; w przypadku parzystej liczby obserwacji nie ma pojedynczej wartości średniej, więc zwyczajową praktyką jest przyjmowanie średniej z dwóch wartości średnich.
przykład
powiedzmy, że w klasie jest dziewięciu uczniów z następującymi wynikami na teście: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 83. W tym przypadku średni wynik (lub średnia) jest sumą wszystkich wyników podzielonych przez dziewięć. To działa do 144/9 = 16. Zauważ, że chociaż 16 jest średnią arytmetyczną, jest zniekształcona przez niezwykle wysoki wynik 83 w porównaniu do innych wyników., Prawie wszystkie wyniki uczniów są poniżej średniej. Dlatego w tym przypadku średnia nie jest dobrym przedstawicielem tendencji centralnej tej próby.
natomiast mediana jest wartością taką, że połowa wyników jest powyżej, a połowa poniżej. W tym przykładzie mediana wynosi 8. Są cztery wyniki poniżej i cztery powyżej wartości 8. Tak więc 8 reprezentuje środkowy punkt lub centralną tendencję próbki.,
porównanie średniej, mediany i trybu dwóch rozkładów log-normalnych z różnymi skewness.
wady średnich arytmetycznych i Medianów
Średnia nie jest solidnym narzędziem statystycznym, ponieważ nie może być stosowana do wszystkich rozkładów, ale jest łatwo najczęściej używanym narzędziem statystycznym do wyprowadzania tendencji centralnej., Powodem, dla którego średnia nie może być zastosowana do wszystkich rozkładów jest to, że dostaje nadmiernie wpływ na wartości w próbce, które są zbyt małe do zbyt dużych.
wadą mediany jest to, że jest ona trudna do opanowania teoretycznie. Nie ma łatwego wzoru matematycznego do obliczenia mediany.
inne rodzaje środków
istnieje wiele sposobów na określenie tendencji centralnej lub średniej zbioru wartości. Średnia omówiona powyżej jest technicznie średnią arytmetyczną i jest najczęściej używaną statystyką dla średniej., Istnieją inne rodzaje środków:
średnia geometryczna
średnia geometryczna jest zdefiniowana jako n-ty pierwiastek iloczynu n liczb, tj. dla zbioru liczb x1, x2,…, xn, średnia geometryczna jest zdefiniowana jako
środki geometryczne są lepsze niż środki arytmetyczne do opisu proporcjonalnego wzrostu. Na przykład dobrym zastosowaniem dla średniej geometrycznej jest obliczanie połączonej rocznej stopy wzrostu (CAGR).
Średnia harmoniczna
średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej wzajemności., Średnia harmoniczna H dodatnich liczb rzeczywistych X1,x2,…, xn jest
dobrym zastosowaniem dla środków harmonicznych jest uśrednianie wielokrotności. Na przykład lepiej jest użyć ważonej średniej harmonicznej przy obliczaniu średniego stosunku ceny do zysku (P/E). Jeśli współczynniki P / E są uśrednione przy użyciu ważonej średniej arytmetycznej, wysokie punkty danych uzyskać nadmiernie większą wagę niż niskie punkty danych.
środki pitagorejskie
średnia arytmetyczna, średnia geometryczna i średnia harmoniczna tworzą razem zbiór środków zwanych środkami Pitagorejskimi., Dla dowolnego zbioru liczb, średnia harmoniczna jest zawsze najmniejsza ze wszystkich środków pitagorejskich, a średnia arytmetyczna jest zawsze największa ze środków 3. tj. średnia harmoniczna ≤ średnia geometryczna ≤ średnia arytmetyczna.