naar analogie met de half-integer formule,
Γ (n + 1 3) = Γ ( 1 3) (3 n − 2)! ! ! 3 N Γ (n + 1 4) = Γ ( 1 4) (4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 N Γ (n + 1 p) = Γ ( 1 p) (p n − (p − 1 ) ) ! (p ) p n {\displaystyle {\begin{aligned} \Gamma\left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma\left ({\tfrac {1}{3}}\right) {\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{4}}\right)&= \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\ \ \ Gamma \ left (n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right) {\frac {{\big (}pn-(p-1) {\big)}!^{(p)}}{p^{n}}} \ end{aligned}}}
waar n!(p) geeft de pth multifactoriële van n. Numeriek,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ca 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ca 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\ca 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ca 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\ca 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\ca 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
het is onbekend of deze constanten over het algemeen transcendentaal zijn, maar Γ(1/3) en Γ(1/4) bleken transcendentaal te zijn door G. V. Chudnovsky. Γ(1/4) / 4√π is ook al lang bekend als transcendentaal, en Yuri Nesterenko bewees in 1996 dat Γ (1/4), π en en algebraïsch onafhankelijk zijn.,
Het aantal Γ(1/4) is in verband met Gauss constante G door
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
en het is giste door Gramain dat
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma\mathrm {\delta } +1}}}}
waar δ de Masser–Gramain constante OEIS: A086058, hoewel numerieke werk door Melquiond et al. geeft aan dat dit vermoeden onjuist is.,
Borwein en Zucker hebben ontdekt dat Γ(n/24) algebraïsch kan worden uitgedrukt in termen van π, K(k(1)), K(k(2)), K(K(3)) en K(K(6)), waarbij K(k(N)) een complete elliptische integraal van de eerste soort is. Dit maakt het efficiënt benaderen van de gammafunctie van rationele argumenten tot hoge precisie met behulp van Quadratisch convergente rekenkundig-geometrisch gemiddelde iteraties. Er zijn geen vergelijkbare relaties bekend voor Γ (1/5) of andere noemers.,
In het bijzonder, waar AGM() is het rekenkundig–meetkundig gemiddelde, we hebben
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma\left ({\tfrac {1}{6}} \ right) = {\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \ pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatornaam {AGM} \ left (1+{\sqrt {3}}, {\sqrt {8}} \ right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Andere formules zijn de oneindige producten
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
en
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k) (−1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{k(-1)^{k}}}
waar is de Glaisher–Kinkelin constante en G is de catalaanse constant.,
De volgende twee voorstellingen voor Γ(3/4) werden gegeven door I., k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k-2 ) ϑ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\som _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
en
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\som _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
waar ϑ1 en ϑ4 zijn twee van de Jacobi theta-functies.,