discussie
constante versnelling
Calculus is een geavanceerd wiskundig onderwerp, maar het maakt het afleiden van twee van de drie vergelijkingen van beweging veel eenvoudiger. Per definitie is versnelling de eerste afgeleide van snelheid met betrekking tot tijd. Neem de operatie in die definitie en draai het om. In plaats van de snelheid te differentiëren om versnelling te vinden, integreer versnelling om snelheid te vinden. Dit geeft ons de snelheid-tijd vergelijking., Als we aannemen dat de versnelling constant is, krijgen we de zogenaamde eerste vergelijking van beweging .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Draai deze operatie om. In plaats van positie te differentiëren om snelheid te vinden, integreer snelheid om positie te vinden. Dit geeft ons de positie-tijd vergelijking voor constante versnelling, ook bekend als de tweede vergelijking van beweging .,td>
⌡
In tegenstelling tot de eerste en tweede vergelijkingen van beweging, er is geen voor de hand liggende manier voor het afleiden van de derde vergelijking van de beweging (de één dat betrekking heeft velocity-stand) met behulp van calculus., We kunnen het niet reverse-engineeren vanuit een definitie. We moeten een gesofisticeerde truc doen.
de eerste vergelijking van beweging relateert snelheid aan tijd. We hebben het in wezen afgeleid van deze afgeleide …
| dv | = a | dt |
de tweede vergelijking van beweging heeft betrekking op positie en tijd., Het kwam uit dit derivaat…
| ds | = v | dt |
de derde vergelijking van beweging relateert snelheid aan positie. Door logische extensie moet het komen van een afgeleide die er zo uitziet…
| dv | =? | ds |
maar wat is dit gelijk? Nou niets per definitie, maar zoals alle grootheden is het gelijk aan zichzelf. Het is ook gelijk aan zichzelf vermenigvuldigd met 1., We gebruiken een speciale versie van 1 (dtdt) en een speciale versie van algebra (algebra met infinitesimalen). Kijk wat er gebeurt als we dit doen. We krijgen een afgeleide gelijk aan versnelling (dvdt) en een andere afgeleide gelijk aan de inverse van snelheid (dtds).,”2″> =
Next step, separation of variables., Krijg dingen die vergelijkbaar zijn bij elkaar en integreer ze.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Het werkte echter alleen omdat de versnelling constant was-constant in de tijd en constant in de ruimte. Als de versnelling op enigerlei wijze varieerde, zou deze methode onaangenaam moeilijk zijn. Dan gebruiken we weer algebra om ons gezond verstand te redden. Niet dat daar iets mis mee is. Algebra werkt en gezond verstand is het redden waard.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Laten we het toepassen op een situatie met een ongebruikelijke naam — constante eikel. Geen leugen, zo heet het. Ruk is de snelheid van verandering van versnelling met de tijd.
| j = | da | dt |
Dit maakt ruk het eerste derivaat van versnelling, het tweede derivaat van snelheid en het derde derivaat van positie.,
| j = | da | = | D2 | DT3 |
de SI-eenheid van ruk is de meter per seconde in de kubus.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
Een alternatieve eenheid is de g per seconde.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Jerk is niet alleen verstandig kont natuurkundigen antwoord op de vraag, “Oh ja, dus wat noem je de derde afgeleide van de positie?”Jerk is een betekenisvolle hoeveelheid.
het menselijk lichaam is uitgerust met sensoren om versnelling en ruk te detecteren., Diep in het oor, geïntegreerd in onze schedels, ligt een reeks kamers genaamd Het labyrint. Een deel van dit labyrint is gewijd aan ons gehoor (het slakkenhuis) en een deel aan ons evenwichtsgevoel (het vestibulaire systeem). Het vestibulaire systeem is uitgerust met sensoren die Hoekversnelling detecteren (de halfronde kanalen) en sensoren die lineaire versnelling detecteren (de otolieten). We hebben twee otolieten in elk oor-een voor het detecteren van versnelling in het horizontale vlak (de utricle) en een voor het detecteren van versnelling in de verticale plaats (de saccule)., Otolieten zijn onze eigen ingebouwde versnellingsmeters.het woord otoliet komt van het Grieks οτο (oto) voor oor en λιθος (lithos) voor steen. Elk van onze vier otolieten bestaat uit een hard bot-achtige plaat bevestigd aan een mat van zintuiglijke vezels. Wanneer het hoofd versnelt, verschuift de plaat naar één kant en buigt de sensorische vezels. Dit stuurt een signaal naar de hersenen dat zegt: “We versnellen. Omdat de zwaartekracht ook op de platen trekt, kan het signaal ook betekenen dat deze weg naar beneden is.”De hersenen zijn heel goed in het uitzoeken van het verschil tussen de twee interpretaties. Zo goed dat we het negeren., Zicht, geluid, geur, smaak, aanraking-waar is balans in deze lijst? We negeren het totdat er iets verandert op een ongewone, onverwachte of extreme manier.
Ik ben nooit in een baan geweest of op een andere planeet geleefd. Zwaartekracht trekt me altijd op dezelfde manier naar beneden. Staan, lopen, zitten, liggen-het is allemaal heel kalm. Laten we nu springen in een achtbaan of deelnemen aan een soortgelijke spannende activiteit zoals afdalen, Formule 1 racen, of fietsen in Manhattan verkeer. De acceleratie wordt eerst de ene kant op gestuurd, dan de andere. U kunt zelfs korte periodes van gewichtloosheid of inversie ervaren., Dit soort sensaties genereren intense mentale activiteit, daarom doen we ze graag. Ze scherpen ons ook op en houden ons gefocust tijdens mogelijk levenseindende momenten, dat is waarom we dit gevoel in de eerste plaats hebben ontwikkeld. Je vermogen om ruk te voelen is van vitaal belang voor je gezondheid en welzijn. Jerk is zowel spannend als noodzakelijk.
constante ruk is wiskundig eenvoudig te verwerken. Als een leeroefening, laten we afleiden van de vergelijkingen van beweging voor constante jerk. Je bent van harte welkom om te proberen meer ingewikkelde jerk problemen als je wilt.
ruk is de afgeleide van versnelling., Maak dat proces ongedaan. Integreer jerk om acceleratie te krijgen als functie van de tijd. Ik stel voor dat we dit de zeroeth-vergelijking van beweging voor constante eikel noemen. De reden waarom zal duidelijk zijn nadat we klaar zijn met de volgende afleiding.,”c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integreer versnelling om snelheid te krijgen als functie van de tijd. We hebben dit proces eerder gedaan. We noemden het resultaat De snelheid-tijd relatie of de eerste vergelijking van beweging wanneer de versnelling constant was. We moeten het een vergelijkbare naam geven. Dit is de eerste vergelijking van beweging voor constante eikel.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integreer snelheid om verplaatsing te krijgen als functie van de tijd. We hebben dit ook eerder gedaan. De resulterende verdringing-tijd relatie zal onze tweede vergelijking van beweging voor constante jerk.,v id=”2b78da115e”> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Wanneer ruk nul is, keren ze allemaal terug naar de vergelijkingen van beweging voor constante versnelling. Nul ruk betekent constante versnelling, dus alles is goed met de wereld die we hebben gecreëerd. (Ik heb nooit gezegd dat constante versnelling realistisch was. Constant jerk is net zo mythisch. In hypertextbookwereld zijn echter alle dingen mogelijk.)
waar gaan we nu heen? Moeten we werken aan een snelheid-verplaatsing relatie (de derde vergelijking van beweging voor constante jerk)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Dat kan onze vriend niet zijn. Op dit moment kan het me niet schelen. Ik weet niet of dit me iets interessants zou vertellen. Ik weet dat ik nog nooit een derde of vierde vergelijking van beweging nodig heb gehad voor constante eikel — nog niet. Ik laat dit probleem over aan de wiskundigen van de wereld.
Dit is het soort probleem dat fysici onderscheidt van wiskundigen. Een wiskundige zou niet per se de zorg over de fysieke betekenis en zou gewoon de fysicus bedanken voor een interessante uitdaging., Een natuurkundige zou niet per se geven om het antwoord, tenzij het nuttig bleek te zijn, in welk geval de natuurkundige de wiskundige zeker zou bedanken voor zijn nieuwsgierigheid.
constant niets
deze pagina in dit boek gaat niet over beweging met constante versnelling, of constante ruk, of constante snap, crackle of pop. Het gaat over de algemene methode voor het bepalen van de hoeveelheden beweging (positie, snelheid en versnelling) met betrekking tot tijd en elkaar voor elke vorm van beweging., De procedure hiervoor is ofwel differentiatie (het vinden van de afgeleide) …
- De afgeleide van positie met tijd is snelheid (v = dsdt).
- de afgeleide van snelheid met tijd is versnelling (a = dvdt).
or integration (finding the integral) …
- de integraal van acceleratie in de tijd is verandering in snelheid (∆v = ∫a dt).
- de integraal van snelheid in de tijd is verandering in positie (∆s = v v dt).
Dit is de manier waarop het werkt. Een kenmerk van de beweging van een object wordt beschreven door een functie., Kun je de afgeleide van die functie vinden? Dat geeft je een ander kenmerk van de beweging. Kun je de integraal vinden? Dat geeft je een andere eigenschap. Herhaal beide bewerkingen zo vaak als nodig is. Pas dan de technieken en concepten toe die je hebt geleerd in calculus en aanverwante takken van de wiskunde om meer betekenis te extraheren — bereik, domein, limiet, asymptoot, minimum, maximum, extremum, concaviteit, buiging, analytisch, numeriek, exact, benaderend, enzovoort. Ik heb een aantal belangrijke opmerkingen hierover toegevoegd aan de samenvatting voor dit onderwerp.,
