Curator: Malcolm A. H. MacCallum
exacte oplossingen van Einsteins vergelijkingen
exacte oplossingen van Einsteins vergelijkingen
niet-lineair. Exacte oplossingen van Einsteins vergelijkingen modelleren zo zwaartekrachtsystemen en maken exploratie van de wiskunde en natuurkunde van de theorie mogelijk.,
Inhoud
- 1 Samenvatting
- 2 vergelijkingen van Einstein
- 3 het Maken van de vergelijkingen handelbaar
- 3.1 Symmetrie groepen
- 3.2 “Algebraically speciale” oplossingen
- 3.3 Andere vereenvoudigende aannamen
- 4 Oplossen van de vergelijkingen
- 5 Enkele belangrijke oplossingen
- 5.1 De Schwarzschild en Kerr oplossingen
- 5.2 De Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) oplossingen
- 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) oplossingen
- 5.4 vlakke golven
- 5.,5 De Taub-NUT familie
- 6 Referenties
- 7 Zie ook
samenvatting
Einsteins veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie zijn 10 niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen in 4 onafhankelijke variabelen. Dit ingewikkelde systeem kan over het algemeen niet worden geïntegreerd, hoewel het is geherformuleerd als een zelfgekoppelde integrale vergelijking (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Analytische en numerieke benaderingen kunnen worden gebruikt om fysieke situaties te onderzoeken. Exacte oplossingen, hoewel verkregen door het stellen van vereenvoudigende aannames, vullen dergelijke benaderingen op verschillende manieren aan., Ze belichamen de volledige niet-lineariteit, waardoor sterke veldregimes kunnen worden bestudeerd; ze bieden achtergronden waarop afwijkende benaderingen kunnen worden gebouwd; en ze maken controle van de numerieke nauwkeurigheid mogelijk.
De term ‘exacte oplossing’ is niet goed gedefinieerd: meestal betekent het een oplossing waarbij alle grootheden worden uitgedrukt door elementaire functies of de bekende speciale functies, maar soms wordt het uitgebreid tot oplossingen die alleen bekend zijn tot de oplossing van een of meer verschillende vergelijkingen., De bekende exacte oplossingen worden verkregen uit een grote verscheidenheid aan veronderstellingen, de belangrijkste daarvan is deinpositie van symmetriegroepen of speciale vormen van de krommingsensor. Sommige van de bekende oplossingen zijn fysisch of wiskundig van bijzonder belang geweest.
een aantal boeken geeft een overzicht van de exacte oplossingen, en moet worden geraadpleegd indien meer details gewenst zijn. Zie Stephani et al.voor een algemeen overzicht van oplossingen die het simple energiemoment bevatten, gegeven door vacuüm, elektromagnetisme en perfectfluids., (2003), voor inhomogene kosmologische oplossingen (gedefinieerd als die welke als een speciaal geval een van de hieronder besproken FLRW-modellen bevatten) zie Krasi$\acute{\rm n}$ski (1997), en voor gedetailleerde overzichten van sommige speciale klassen zie Griffiths (1991) en Belinskii en Verdaguer(2001).
voor fysieke interpretaties van veel belangrijke oplossingen ziebi$ \ check {\rm c} \ acute {\rm a}$k (2000) en Griffiths en Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Opgemerkt moet worden dat een exacte oplossing niet noodzakelijkerwijs een unieke interpretatie heeft., Onder de voorbeelden die later worden gegeven, kan de Schwarzschild-oplossing bijvoorbeeld worden geïnterpreteerd als ofwel het buitenste gebied van een bolvormige massa, ofwel het interactiegebied na de botsing van twee specifieke vlakgolven. Een verwant punt is dat verschillende bronnen kunnen leiden tot dezelfde exacte oplossing.
Einsteins vergelijkingen
Einsteins algemene relativiteitstheorie veralgement de gravitetheorie van Newton tot één die compatibel is met de speciale relativiteit., Het modelleert ruimte-en tijdpunten als een (pseudo -) Riemann vierdimensionale variëteit met ametrische \(g_{ab}\) van handtekening \(\pm 2\) (de tekenkeuze isconventioneel). Er wordt aangenomen dat de testdeeltjes zich bewegen op de geodesics van deze variëteit en de getijdengravitatiekrachten worden beschreven door de curvature.
de vergelijkingen zijn ingevoerd in termen van een coördinatenbasis, maar worden vaak geschreven in de vorm die wordt verkregen door een tetrad (een keuze van de basis van de raakvectorruimte waarvan de basisvectoren vaste scalaire producten hebben), of in termen van het spin-coefficient formalisme.,
omdat men vanuit een andere verzameling karakteriseringsveronderstellingen op verschillende coördinaten tot dezelfde oplossing kan komen, is het’ equivalentieprobleem ‘ van het bepalen wanneer twee variëteiten (lokaal) hetzelfde zijn, d.w.z. isometrisch, van belang. Dit is formeel onbeslist, maar in de praktijk kan meestal worden opgelost met behulp van methoden gebaseerd op ideeën van Cartan (zie hoofdstuk 9 van Stephani et al. (2003)).,
dezelfde vergelijkingen (mutatis mutandis) zijn gebruikt en opgelost in hogere dimensies (zie zwarte ring), met enkele van dezelfde technieken, maar tot nu toe is zeer weinig van het volledige landschap van mogelijke oplossingen in 5 of meer dimensies onderzocht.
de vergelijkingen tracteerbaar maken
auteurs nemen soms een metrische vorm aan en gebruiken Eq. (1) berekenen van de energie-momentum(dit is de verouderde \(g\)-methode beschreven doorysynge (1971)). Aangezien geen vergelijking daadwerkelijk is opgelost, verdient het resultaat niet om een oplossing genoemd te worden., Exacte oplossingen worden echter over het algemeen verkregen door minder extreme vormen van vereenvoudiging die, in een vorm van energiemoment, automatisch kunnen garanderen dat sommige van de gevolgen waar zijn, terwijl andere moeten worden opgelost.
Symmetriegroepen
oplossingen verkregen door dergelijke veronderstellingen worden behandeld in Deel II van Stephani et al. (2003): zie ook Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) en Bolejko et al (2010).,
” algebraïsch speciale “oplossingen
een niet-nul Weyl tensor heeft de eigenschap dat er vier “hoofdnull directions” (PNDs) zijn,gedefinieerd door nulvectoren die\bc}k^bk^c=0 gehoorzamen.\]De algebraïsche structuur van de Weyl tensor wordt dan gekarakteriseerd door de vraag of twee of meer van de PND ‘ s samenvallen. Wanneer ten minste twee doen, dan, het verstrekken van een geschikte energie-momentum wordt aangenomen, kan de metrische tensor worden vereenvoudigd., Dergelijke ruimtetijden staan bekend als’ algebraïsch speciaal’, en kunnen worden geclassificeerd in de Petrov types door de aantallen toevallige pnds: de details van de mogelijke gevallen worden gegeven in het artikel over spin-coefficient formalisme. Voor het energiemomenta wordt in dergelijke ruimtetijden gewoonlijk gedacht, is het vectorveld van de herhaalde PND geodetisch en afschuifvrij door de stelling van Kundt-Thompson, die (zie stelling 7.5 van Stephani etal (2003)) de stelling van Goldberg-Sachs veralgement. Wanneer slechts twee PND ‘ s samenvallen, is de ruimtetijd van Petrov type II., In het artikel over het spin-coefficient formalisme wordt het voorbeeld van de Robinson-Trautman-oplossingen (Petrov type II-metrics waarin het gebied van herhaalde PND ‘ s twistvrij is) in detail afgeleid.
de bekende algebraïsch speciale oplossingen worden besproken in deel III van Stephani et al. (2003). Er is natuurlijk een overlap met oplossingen die worden bereikt door symmetriegroepen aan te nemen. Bijvoorbeeld, alle sfericallysymmetrische oplossingen zijn van Petrov type D of, als een speciaal geval, conforme vlakte.,
andere vereenvoudigende aannames
enkele andere interessante specialisaties komen voort uit de volgende aannames
- Er bestaan constante vector-of tensorvelden
- de kromming is terugkerend, complex terugkerend of symmetrisch (dit zijn omstandigheden op, bijv.,, \(R_{abcd;e}\))
- er is een Moord of Doodslag-Yano tensor
- de ruimtetijd geeft conformele bewegingen of collineations (vector velden genereren van een transformatie van de grond waarop het gegeven is toegewezen aan een veelvoud van zichzelf of de kromming aan zichzelf)
- de ruimtetijd bevat oppervlakken met speciale eigenschappen (bijvoorbeeld, een flatscreen drie-dimensionale plakjes)
- de ruimtetijd heeft een speciale verankering eigenschappen
Een bijzonder gemeenschappelijke zaak is waar er is een conforme beweging forwhich de meerdere is een constante: een dergelijke transformaties zijn calledhomotheties., Hun genererende vectorvelden gehoorzamen\waar \(C\) een constante is. Een aanzienlijk aantal bekende oplossingen laten homothetieën toe, hoewel veel daarvan werden ontdekt zonder de aanwezigheid van de homothetie die werd verondersteld.
het oplossen van de vergelijkingen
zodra men de metriek heeft vereenvoudigd en een geschikte energie-momentum tensor heeft geïntroduceerd, zullen de resterende niet-triviale vergelijkingen een systeem van differentiaalvergelijkingen vormen (of in het geval van ruimtetimehomogeniteit, algebraïsche vergelijkingen). Er is geen algemeen algoritme voor alle gevallen, maar sommige methoden die op andere gebieden zijn gebruikt, zijn nuttig gebleken.,
lie puntsymmetrieën van het stelsel van vergelijkingen, hoewel nuttig in veel situaties (zie bijvoorbeeld Stephani (1989) of Olver (1986)), meestal in de ruimtetijd context tot diffeomorfismen van de variëteit(alleen maar zeggen dat de resultaten zijn coördinaat invariant) of toisometrische of homothetische bewegingen. Er zijn echter gevallen (bij voorbeeld, sferisch symmetrische shearfree perfect fluids) waar Liepoint symmetrieën nuttig zijn geweest bij het vinden van exacte oplossingen. Veralgemeende symmetrieën, verlenging en linearisatie kunnen ook helpen.,
in het bijzonder zijn oplossingen met twee Pendeldodende vectoren (die inwerken op tweedimensionale oppervlakken in de tijd), en die materiaal bevatten met een geschikt energie-momentum, vatbaar voor methoden uit de theorie van integreerbare systemen, zoals harmonische kaarten (potentiële ruimtesymmetrieën), Bäcklund transformaties, inverse verstrooiing, andRiemann-Hilbert problemen. Zo kunnen bijvoorbeeld alle stationaire axisymmetricvacuum ruimtetijden worden verkregen met behulp van dergelijke genererende technieken die vanuit de vlakke ruimte beginnen. Onder de uitkomsten zijn solitonische oplossingen.,
enkele belangrijke oplossingen
een groot aantal oplossingen zijn bekend, zoals uit de referenties in de samenvatting zal blijken, en veel van deze oplossingen zijn niet volledig fysiek geïnterpreteerd. Het kennen van de metriek in gesloten vorm, opheldering van zijn fysische eigenschappen kan nog steeds moeilijk zijn (zie Griffiths en Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009)):bijvoorbeeld, de geodetische vergelijkingen, waarvan de oplossingen geven de mogelijke sporen van testdeeltjes en lichtstralen, kunnen hardnekkig zijn, zelfs voor simplemetrics. Een van de belangrijkste oplossingen zijn die welke nu kort worden beschreven., (Merk op dat, hoewel de geselecteerde oplossingen alle algebraïsch zijnspeciaal en een aantal zijn sfericallysymmetrisch, dit is verre van het geval voor alle oplossingen.) De originele papieren waarin de geselecteerde oplossingen voor het eerst werden afgeleid, zijn allemaal gemakkelijk beschikbaar, met uitzondering van het eerste vliegtuiggolfpapier, opgenomen in de “Golden Oldies” – serie.
de Schwarzschild-en Kerr-oplossingen
de Schwarzschild-metriek is de unieke externe oplossing voor een sferisch symmetrisch lichaam in een omringende lege ruimte., Dit suggereert dat de algemene relativiteit de eigenschap deelt met de Newtoniaanse zwaartekracht dat het externe veld van een bolvormig lichaam alleen afhangt van zijn totale massa en niet van de radiale verdeling van de materie. Interpretatie van de oplossing als dezelfde als die van een puntmassa in het midden is echter onbevredigend, omdat bovenstaande vorm alleen geschikt is in \(r>2m\). In de eerste jaren na de ontdekking van de oplossing waren onderzoekers niet duidelijk of \(r=2m\), waar de metriek van Eq. (5) heeft duidelijk een enkelvoudige coëfficiënt, vertegenwoordigd een ware singulariteit., Het is nu goed begrepen dat het een “waarnemingshorizon” is, de grens van een zwart gat, en dat de volledige analytische voortzetting van de oplossing enkelvoud is op \(r=0\). Voor historische informatie zie Eisenstaedt (1982) en voor een algemene bespreking van globale eigenschappen van ruimtetijden, inclusief die hier besproken, zie Hawking and Ellis (1973). De Schwarzschild oplossing bood een patroon voor latere onderzoeken van singulariteiten en zwarte gaten.
de uniciteit van deze oplossing laat zien dat de algemene relativiteit geen monopolaire gravitatiegolven toelaat., Het is ook de laagste orde benadering van het veld van echte astronomische lichamen zoals de aarde en de zon. Het berekenen van geodesics op dit gebied heeft nauwkeurige voorspellingen van lichtbuigen door de zon en de vooruitgang van het perihelium van Mercurius mogelijk gemaakt, twee van de “klassieke testen” van de algemene relativiteitstheorie.
de Schwarzschild-oplossing is een speciaal geval van de Kerr-oplossing (gevonden in 1963) die het uitwendige veld van een roterend zwart gat vertegenwoordigt. Dit kan worden geschreven als een instantie van Eq. (4) met \(e=G=l=\Lambda=0\) en het is gebruikelijk om \(a^2:=\gamma\) te schrijven., De verhouding van spin tot Massa(in geometrische eenheden) is dan \(a/m\). De Schwarzschild-en Kerr-oplossingen bieden de achtergrond voor studies van de fysica op het gebied van zwarte gaten, die worden gebruikt in het modelleren van X-ray binaire bronnen en actieve Galactische kernen in de astronomie. Waarnemingen van straling van materie in de buurt van zwarte gaten laten ons afleiden dat er astronomische zwarte gaten zijn met \(a / m > 0.95\): zie zwarte gaten.
De zwarte gaten van Schwarzschild en Kerr kunnen gemakkelijk worden gegeneraliseerd met niet-nul elektromagnetische ladingen en (met behulp van Eq., (4) bijvoorbeeld) niet-nul \(l\) en \(\Lambda\). Er zijn unieke stellingen die aantonen (met enkele technische kanttekeningen) dat deze families de unieke stationaire zwarte gaten zijn met sferische topologie van een niet-enkelvoudige gebeurtenishorizon.
de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) – oplossingen
deze oplossingen geven de geometrie van het “standaardmodel” in de moderne kosmologie, en bieden zo de achtergrond voor een enorm aantal papers die de kosmologische fysica bestuderen, waaronder verstoringen van de oplossingen., Hun geometrie werd in de jaren 1930 door Robertson en Walker afzonderlijk verduidelijkt, en de meest gebruikte specifieke oplossingen werden in de jaren 1920 door Friedmann en Lemaître gevonden: vandaar de lange naam.
Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) oplossingen
deze sferisch symmetrische oplossingen zijn de oplossingen voor Eq. (2) bevat “stof” (een perfecte vloeistof met \(p=0\)) met \(\Lambda=0\). Ze veralgemenen de FLRW-oplossingen voor stof tot inhomogene oplossingen., Aangezien stof tegenwoordig op grote schaal wordt beschouwd als een passende representatie van de materie-inhoud van het heelal, zijn LTB-oplossingen veel gebruikt om exacte modellen van structuren in het heelal te verschaffen (zie Bolejko et al (2010)). Ze bevatten als speciale gevallen zowel de Schwarzschild en stof FLRW oplossingen.
vlakke golven
Deze ruimtetijden geven een belangrijk voorbeeld van een onverwachte globale structuur., Als men een vlakke golf verbindt met vlakke ruimten aan weerszijden van een bepaald bereik van \(u\), en een “sandwichgolf” vormt, dan richt de lichtkegel vanaf een punt aan de ene kant zich opnieuw op de andere kant, zoals Penrose (1965) heeft vastgesteld. De sandwichgolfstructuur loste de vraag op of de gravitatiegolven die Einstein voor het eerst vond, met behulp van benaderingen, slechts coördinaateffecten konden zijn: Bondi, Pirani and Robinson (1959) toonden aan dat vrije testdeeltjes relatief versneld worden door passage door het golfgebied, wat impliceert dat de golf energie moet dragen.,
vlakke golven zijn de eerste benadering voor gravitationele straling ver van een bron in een verder lege ruimte. Ze zijn een speciaal geval van de meer algemene pp-golven, oplossingen met een covariant constante nuldodende vector die gravitatiegolven met parallelle stralen herlezen en Gevonden in 1925 door Brinkman. Deze hele klasse is van Petrov type N (alle vier PND ‘ s samenvallen) of conformaal vlak.
de Taub-NUT familie
Taub-NUT ruimtetijd heeft zeer onverwachte globale eigenschappen., De NUTregion bevat gesloten tijd-achtige lijnen en geen zinnige Cauchy oppervlakken, Er zijn twee ongelijkwaardige maximale analytische Extensies van de Taub regio (of een niet-Hausdorff variëteit met beide Extensies), de ruimtetijd is nonsingulair in de zin van een kromming singulariteit,en er zijn geodetica van eindige affiene parameterlengte. Deze eigenschappen gaven aanleiding tot de titel van het artikel van Mister uit 1963 (sommige van deze eigenschappen worden gedeeld door de andere Taub-NUT metrics)., De oplossing had een grote invloed op studies van exacte oplossingen en kosmologische modellen die ruimtelijk-homogeen zijn, en meer in het algemeen op die welke hyperoppervlakte-homogeen en zelf-vergelijkbaar zijn, op kosmologie in het algemeen, en op ons begrip van globale analyse en waarnemingen in ruimtetijden.
Belinski, V A and Verdaguer, E (2001). Gravitationele solitonen. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Boog. Hist. Exacte Sci. 27: 157-198.
Ellis, G F R and Madsen, M (1991)., Exacte scalaire veld kosmologieën. Klasse. Quant. Grav. 8: 667-676.
Griffiths, J B (1991). Botsende vlakke golven in de algemene relativiteit. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, S W and Ellis, G F R (1973). De grootschalige structuur van ruimte-tijd. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi $ \ acute {\rm n} $ ski, a (1997). Inhomogene kosmologische modellen. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). Toepassingen van Lie-groepen op differentiaalvergelijkingen. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., Een opmerkelijke eigenschap van vlakke golven in de algemene relativiteit. Rev. Mod. Phys. 37: 215.
Sciama, D W; Waylen, P C en Gilman, R C (1969). Over het algemeen covariante integrale formulering van Einsteins veldvergelijkingen. Physical Review A 187: 1762.
Stephani, H (1989). Differentiaalvergelijkingen – hun oplossingen met behulp van symmetrieën. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relativiteit: de algemene theorie. Noord-Holland, Dordrecht.
zie ook
zwart gat, zwarte ring, kosmologische constante,algemene relativiteit, Spin-coëfficiënt formalisme