leerresultaten
- identificeren de foci, hoekpunten, assen en het midden van een ellips.
- schrijf vergelijkingen van ellipsen gecentreerd op de oorsprong.
- schrijf vergelijkingen van ellipsen die niet gecentreerd zijn op de oorsprong.
een kegelsnede, of kegelsnede, is een vorm die ontstaat door het snijden van een rechte cirkelvormige kegel met een vlak. De hoek waaronder het vlak de kegel snijdt bepaalt de vorm.,
kegelsneden kunnen ook worden beschreven door een verzameling punten in het coördinatenvlak. Later in dit hoofdstuk zullen we zien dat de grafiek van elke kwadratische vergelijking in twee variabelen een kegelsnede is. De tekens van de vergelijkingen en de coëfficiënten van de variabele termen bepalen de vorm. In dit hoofdstuk wordt ingegaan op de vier variaties van de standaardvorm van de vergelijking voor de ellips. Een ellips is de verzameling van alle punten \links (x, y \ rechts) in een vlak zodanig dat de som van hun afstanden vanaf twee vaste punten een constante is., Elk vast punt wordt een focus (meervoud: foci) van de ellips genoemd.
We kunnen een ellips tekenen met behulp van een stuk karton, twee thumbtacks, een potlood en een string. Plaats de duimstokken in het karton om de foci van de ellips te vormen. Snijd een stuk string langer dan de afstand tussen de twee miniaturen (de lengte van de string vertegenwoordigt de constante in de definitie). Tack elk uiteinde van de snaar aan het karton, en trek een curve met een potlood strak tegen de snaar. Het resultaat is een ellips.
elke ellips heeft twee symmetrieassen., De langere as wordt de hoofdas genoemd, en de kortere as wordt de kleine as genoemd. Elk eindpunt van de hoofdas is het hoekpunt van de ellips (meervoud: hoekpunten), en elk eindpunt van de kleine as is een co-hoekpunt van de ellips. Het middelpunt van een ellips is het middelpunt van zowel de grote als de kleine Assen. De assen staan loodrecht in het midden. De foci liggen altijd op de hoofdas, en de som van de afstanden van de foci tot elk punt op de ellips (de constante som) is groter dan de afstand tussen de foci.,
in deze sectie beperken we ellipsen tot die welke verticaal of horizontaal in het coördinatenvlak staan. Dat wil zeggen dat de assen op of parallel aan de x– en y-assen liggen. Later in het hoofdstuk zullen we ellipsen zien die in het coördinatenvlak worden gedraaid.
om te werken met horizontale en verticale ellipsen in het coördinatenvlak, beschouwen we twee gevallen: die die gecentreerd zijn op de oorsprong en die die gecentreerd zijn op een punt anders dan de oorsprong., Eerst zullen we leren om de vergelijkingen van ellipsen af te leiden, en dan zullen we leren hoe de vergelijkingen van ellipsen in standaardvorm te schrijven. Later zullen we gebruiken wat we leren om de grafieken te tekenen.,v>If (x,y) is een punt op de ellips, dan kunnen we definiëren de volgende variabelen:
\begin{align}d_1&=\text{de afstand van } (-c,0) \text{ voor } (x,y) \\ d_2&= \text{de afstand van } (c,0) \text{ voor } (x,y) \end{align}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1
voor een ellips met middelpunt in de oorsprong met de hoofdas op de X-as en
\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1
voor een ellips met middelpunt in de oorsprong met de hoofdas op de Y-as.,
Schrijfvergelijkingen van ellipsen die niet gecentreerd zijn op de oorsprong
(a) horizontale ellips met midden \links(H,k\rechts) (b) verticale ellips met midden \links(h,k\rechts)
oplossen van toegepaste problemen met ellipsen
veel situaties in de echte wereld kunnen worden weergegeven door ellipsen, waaronder banen van planeten, satellieten, manen en kometen, en vormen van bootkielen, roeren en sommige vliegtuigvleugels. Een medisch apparaat genaamd een lithotripter gebruikt elliptische reflectoren om nierstenen te breken door geluidsgolven te genereren., Sommige gebouwen, genaamd fluisterkamers, zijn ontworpen met elliptische koepels, zodat een persoon fluisteren op de ene focus gemakkelijk kan worden gehoord door iemand die staat op de andere focus. Dit komt door de akoestische eigenschappen van een ellips voor. Wanneer een geluidsgolf ontstaat bij een focus van een fluisterkamer, zal de geluidsgolf worden gereflecteerd van de elliptische koepel en terug naar de andere focus. In de fluisterkamer van het Museum of Science and Industry in Chicago, kunnen twee mensen die op de foci staan—ongeveer 43 meter uit elkaar—elkaar horen fluisteren.
