Differential calculus is used to find the rate of change of a variable-compared to another variable.
in de echte wereld kan het worden gebruikt om de snelheid van een bewegend object te vinden, of om te begrijpen hoe elektriciteit en magnetisme werken. Het is erg belangrijk voor het begrijpen van de natuurkunde—en vele andere gebieden van de wetenschap.
Differentiaalrekening is ook nuttig voor grafieken., Het kan worden gebruikt om de helling van een curve te vinden, en de hoogste en laagste punten van een curve (deze worden respectievelijk het maximum en minimum genoemd).
variabelen kunnen hun waarde veranderen. Dit is anders dan getallen omdat getallen altijd hetzelfde zijn. Bijvoorbeeld, het nummer 1 is altijd gelijk aan 1, en het nummer 200 is altijd gelijk aan 200. Men schrijft vaak variabelen als letters zoals de letter x: “x” kan gelijk zijn aan 1 op het ene punt en 200 op het andere.
enkele voorbeelden van variabelen zijn afstand en tijd, omdat ze kunnen veranderen., De snelheid van een object is hoe ver het reist in een bepaalde tijd. Dus als een stad 80 kilometer (50 mijl) weg is en een persoon in een auto komt er in een uur, ze hebben gereisd met een gemiddelde snelheid van 80 kilometer (50 mijl) per uur. Maar dit is slechts een gemiddelde: misschien reisden ze op sommige momenten sneller( bijvoorbeeld op een snelweg), en langzamer op andere momenten (bijvoorbeeld bij een stoplicht of op een kleine straat waar mensen wonen). Zeker is het moeilijker voor een bestuurder om erachter te komen van de snelheid van een auto met alleen de kilometerteller (afstandsmeter) en klok—zonder een snelheidsmeter.,
totdat calculus werd uitgevonden, was de enige manier om dit uit te werken door de tijd in steeds kleinere stukjes te snijden, zodat de gemiddelde snelheid in de kleinere tijd op een bepaald moment dichter en dichter bij de werkelijke snelheid zou komen. Dit was een zeer lang en hard proces, en moest worden gedaan elke keer dat mensen wilden iets uit te werken.
op een curve hebben twee verschillende punten verschillende hellingen. De rode en blauwe lijnen zijn raaklijnen aan de kromme.,
een zeer vergelijkbaar probleem is het vinden van de helling (hoe steil deze is) op elk punt van een curve. De helling van een rechte lijn is eenvoudig uit te werken — het is gewoon hoeveel het omhoog of omlaag gaat (y of verticaal) gedeeld door hoeveel het dwars gaat (x of horizontaal). Op een kromme is de helling echter een variabele (heeft verschillende waarden op verschillende punten) omdat de lijn buigt. Maar als de kromme in zeer, zeer kleine stukjes zou worden gesneden, zou de kromme op het punt er bijna uitzien als een zeer korte rechte lijn., Dus om de helling uit te werken, kan een rechte lijn worden getrokken door het punt met dezelfde helling als de curve op dat punt. Als dit precies goed wordt gedaan, zal de rechte lijn dezelfde helling hebben als de curve, en wordt een raaklijn genoemd. Maar er is geen manier om te weten (zonder complexe wiskunde) of de raaklijn precies goed is, en onze ogen zijn niet nauwkeurig genoeg om zeker te zijn of het precies of gewoon heel dichtbij is.
wat Newton en Leibniz vonden was een manier om de helling (of de snelheid in de afstand voorbeeld) precies uit te werken, met behulp van eenvoudige en logische regels., Ze verdeelden de kromme in een oneindig aantal zeer kleine stukjes. Vervolgens kozen ze punten aan weerszijden van het bereik waarin ze geïnteresseerd waren en werkten ze raaklijnen uit. Toen de punten dichter bij elkaar kwamen in de richting van het punt waarin ze geïnteresseerd waren, benaderde de helling een bepaalde waarde als de raaklijnen de reële helling van de curve benaderden. De bijzondere waarde die het benaderde was de werkelijke helling.
een afbeelding die laat zien wat x en x + h betekenen op de curve.,
wiskundigen hebben deze basistheorie uitgebreid tot eenvoudige algebraregels—die kunnen worden gebruikt om de afgeleide van bijna elke functie te vinden.