Diskusjon
konstant akselerasjon
Kalkulus er en avansert matematikk emne, men det gjør kommer to av tre ligninger i bevegelse mye enklere. Ved definisjon, akselerasjon er den første deriverte av hastigheten med hensyn til tid. Ta operasjonen i denne definisjonen, og reversere den. I stedet for å skille hastighet for å finne akselerasjonen, integrere akselerasjonen å finne hastighet. Dette gir oss hastighet / tid-ligningen., Hvis vi antar at akselerasjonen er konstant, får vi den såkalte første ligningen av bevegelse .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Reversere denne operasjonen. I stedet for å skille posisjon til å finne velocity, integrere hastighet for å finne posisjonen. Dette gir oss en posisjon-tid ligningen for konstant akselerasjon, også kjent som den andre ligningen av bevegelse .,td>
⌡
I motsetning til den første og andre ligningene for bevegelse, det er ingen åpenbar måte å utlede den tredje ligningen av bevegelse (det gjelder hastighet til posisjon) ved hjelp av matematisk analyse., Vi kan ikke bare reversere det fra en definisjon. Vi trenger å spille en ganske sofistikert lure.
Den første ligningen av bevegelse gjelder hastighet til annen. Vi i hovedsak hentet det fra denne avledede…
| dv | = a |
| dt |
Den andre ligningen av bevegelse knyttet posisjon til annen., Det kom fra denne avledede…
| ds | = v |
| dt |
Den tredje ligningen av bevegelse gjelder hastighet til posisjon. Ved logisk forlengelse, det må komme fra et derivat som ser ut som dette…
| dv | = ? |
| ds |
Men hva betyr dette like? Vel ingenting ved definisjon, men som alle mengder er det ikke like seg selv. Det også er lik seg selv som multipliseres med 1., Vi kommer til å bruke en spesiell versjon av 1 (dtdt) og en spesiell versjon av algebra (algebra med infinitesimals). Se hva som skjer når vi gjør dette. Vi får en deriverte lik akselerasjon (dvdt) og et derivat som er lik den inverse av hastighet (kan gjøres).,»2″> =
Next step, separation of variables., Få ting som ligner sammen og integrere dem.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Men, det er egentlig bare jobbet fordi akselerasjonen var konstant konstant i tid og konstant i rommet. Hvis akselerasjon variert på noen måte, vil denne metoden ville være veldig vanskelig. Vi vil være tilbake til å bruke algebra bare for å redde vår fornuft. Ikke at det er noe galt med det. Algebra fungerer og fornuft er verdt å redde.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., La oss bruke den til en situasjon med et uvanlig navn — konstant rykk. Ingen løgn, det er hva det heter. Rykk er endring av anti-med tid.
| j = | da |
| dt |
Dette gjør jerk den første deriverte av akselerasjon, den andre deriverte av hastigheten, og den tredje deriverte av posisjonen.,
| j = | da | = | d2v | = | d3s |
| dt | dt2 | dt3 |
SI-enhet for jerk er meter per sekund cubed.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
En annen enhet er det g per sekund.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Jerk er ikke bare noen kloke ass fysikere svar på spørsmålet, «Oh yeah, så hva kaller du den tredje deriverte av posisjonen?»Jerk er en meningsfull kvantitet.
Den menneskelige kroppen er utstyrt med sensorer som registrerer akselerasjon og rykk., Ligger dypt inne i øret, integrert i vår hodeskaller, ligger en serie av kamrene kalles for labyrinten. En del av denne labyrinten er dedikert til vår følelse av hørsel (cochlea) og en del til vår følelse av balanse (vestibulærsystemet). Det vestibulære systemet er utstyrt med sensorer som registrerer kantete akselerasjon (den sirkulære kanaler) og sensorer som registrerer lineær akselerasjon (den otoliths). Vi har to otoliths i hvert øre — en for å oppdage akselerasjon i horisontal-planet (det utricle) og ett for påvisning av anti-i den vertikale sted (saccule)., Otoliths er vår egen innebygde akselerometre.
ordet otolith kommer fra det greske οτο (oto) for øret og λιθος (lithos) for stein. Hver av våre fire otoliths består av en hard bein-plate som er festet til et underlag av sensoriske fibre. Når hodet akselererer, plate skift til den ene siden, bøye sensoriske fibre. Dette sender et signal til hjernen og sa: «vi er akselererende.»Siden tyngdekraften også slepebåter på platene, kan signalet også bety «på denne måten er nede.»Hjernen er ganske god på å finne ut forskjellen mellom de to tolkninger. Så bra, at vi har en tendens til å ignorere det., Syn, lyd, lukt, smak, berøring — hvor er balansen i denne listen? Vi ignorere det til noe endringer i en uvanlig, uventet, eller ekstrem måte.
jeg har aldri vært i omløp eller levd på en annen planet. Tyngdekraften alltid trekker meg ned på samme måte. Stå, gå, sitte, ligge — det er alle ganske sedate. Nå la oss hoppe i en berg-og dalbane eller engasjere seg i en tilsvarende spennende aktivitet som slalåm, Formula One racing, eller sykling i Manhattan trafikk. Akselerasjon er rettet først den ene veien, så en annen. Du kan selv oppleve korte perioder av vektløshet eller vending., Disse typer følelser generere intens mental aktivitet, som er grunnen til at vi liker å gjøre dem. De har også skjerpe oss og holde oss fokusert under muligens livet slutter øyeblikk, som er grunnen til at vi har utviklet oss denne forstand i første omgang. Din evne til å sense jerk er avgjørende for din helse og velvære. Jerk er både spennende og nødvendig.
Konstant jerk er lett å håndtere matematisk. Som en lærerik øvelse, la oss utlede ligninger av bevegelse for konstant rykk. Du er velkommen til å prøve mer komplisert jerk problemer hvis du ønsker det.
Jerk er avledet av akselerasjon., Angre på at prosessen. Integrere jerk å få akselerasjon som funksjon av tid. Jeg foreslår at vi kaller dette zeroeth bevegelseslikning for konstant rykk. Grunnen til at vil være synlig etter vi er ferdig med neste avledning.,»c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integrere akselerasjon for å få fart som en funksjon av tiden. Vi har gjort denne prosessen før. Vi kalte resultat hastighet / tid-forhold, eller den første ligningen av bevegelse når akselerasjon var konstant. Vi burde gi det et navn som ligner. Dette er den første bevegelseslikning for konstant rykk.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integrere hastighet for å få vekt som en funksjon av tiden. Vi har gjort dette før også. Den resulterende vekt-time forhold vil være vår andre bevegelseslikning for konstant rykk.,v id=»2b78da115e»> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Når jerk er null, er de alle tilbake til ligningene for bevegelse for konstant akselerasjon. Null rykk betyr konstant akselerasjon, så alt er rett med den verden vi har skapt. (Jeg har aldri sagt konstant akselerasjon var realistisk. Konstant jerk er like mytiske. I hypertextbook verden, men alt er mulig.)
Hvor går vi videre? Bør vi arbeide på en velocity-vekt-forhold (den tredje bevegelseslikning for konstant jerk)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Det kan ikke være vår venn. I øyeblikket, jeg kan ikke bli plaget. Jeg vet ikke om du arbeider ut dette ville fortelle meg noe interessant. Jeg vet jeg har aldri trengte en tredje eller fjerde bevegelseslikning for konstant jerk — ikke ennå. Jeg forlater dette problemet til matematikere av verden.
Dette er den type problem som skiller fysikere fra matematikere. En matematiker ville ikke nødvendigvis bryr seg om fysisk betydning, og bare kan takke fysiker for en interessant utfordring., En fysiker ville ikke nødvendigvis bryr seg om svaret med mindre det viste seg å være nyttig, i hvilket tilfelle fysiker ville sikkert takke matematiker for å være så nysgjerrig.
konstant ingenting
Denne siden i denne boken handler ikke om bevegelse med konstant akselerasjon, eller konstant jerk, eller konstant fest, crackle eller pop. Det handler om den generelle metoden for å bestemme mengden av bevegelse (posisjon, hastighet og akselerasjon) med hensyn til tid og hverandre for noen form for bevegelse., Fremgangsmåten for å gjøre det er enten differensiering (finne den deriverte)…
- Den deriverte av posisjonen med tiden er hastigheten (v = dsdt).
- Den deriverte av hastigheten med tiden er akselerasjon (a = dvdt).
eller integrering (finne integralet)…
- en integrert anti-over tid er endring i hastighet (∆v = ∫dt).
- integralet av hastighet over tid er endring i posisjon (∆s = ∫v dt).
Her er måten det fungerer på. Noen karakteristiske for bevegelsen til et objekt er beskrevet av en funksjon., Kan du finne den deriverte av denne funksjonen? Som gir deg en annen karakteristikk av bevegelse. Kan du finne sin integrert? Som gir deg en annen karakteristisk. Gjenta enten operasjonen så mange ganger som nødvendig. Deretter anvende teknikker og konsepter som du lærte i kalkulus og relaterte grener av matematikk for å få ut mer mening — området, domene, begrense, asymptoten, minimum, maksimum, extremum, concavity, bøyning, analytisk, numerisk, nøyaktig, omtrentlig, og så videre. Jeg har lagt til noen viktige merknader om dette til oppsummering for dette emnet.,
