Den Fourier transform er en generalisering av den komplekse fourierrekker i grensen som 
. Erstatte den diskrete 
med kontinuerlig 
mens la 
., id=»419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., Notasjonen 
er innført i Trott (2004, s. xxix), og 
og 
er noen ganger også brukes for å betegne den Fourier-transform og invers Fourier transform, henholdsvis (Krantz 1999, s. 202).
Merk at noen forfattere (spesielt fysikere) foretrekker å skrive transformeringen i form av kantete frekvens 
i stedet for pendling frekvens 
.,»25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Som standard, Wolfram Språk tar FourierParameters som 
. Dessverre, en rekke andre konvensjoner er i utbredt bruk. For eksempel, 
er brukt i moderne fysikk, 
er brukt i ren matematikk og systems engineering, 
er brukt i sannsynlighetsteori for beregning av karakteristiske funksjonen, 
er brukt i klassisk fysikk, og 
er brukt i signalbehandling. I dette arbeidet, følgende Bracewell (1999, pp., 6-7), det er alltid antatt at 
og 
med mindre annet er angitt. Dette valget resulterer ofte i sterkt forenklet av forvandler vanlige funksjoner, som for eksempel 1, 
, osv.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
 |
(19)
|
A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
 |
(20)
|
provided that
exists.,
2. Det er et begrenset antall av discontinuities.
3. Funksjonen har avgrenset variasjon.,d»>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
Det er også en noe overraskende og svært viktig forholdet mellom autocorrelation og Fourier transform kjent som Wiener-Khinchin teoremet., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
 |
(33)
|
The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
 |
(40)
|
The first term consists of an oscillating function times 
., id=»3f4582000b»>
so 
has the Fourier transform
 |
(57)
|
If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=»ec13a9034f»>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
Noen operasjon på 
som forlater sitt område uendret etterlater 
uendret, siden
 |
(64)
|
tabellen nedenfor oppsummeres noen vanlige Fourier transform par.,or 
, 
by
 |
 |
 |
(67)
|
 |
 |
 |
(68)
|