Post-publisering aktivitet

Kurator: Malcolm A. H. MacCallum

Bidragsytere:

Eksakte Løsninger av Einsteins Ligninger

Einsteins Generelle Relativitetsteori er den ledende teorien for tid-rom og gravitasjon: det er sterkt ikke-lineære. Eksakte løsninger av Einsteins ligninger dermed modell gravitating-systemer og aktiverer utforskning av matematikk og fysikk i teorien.,

Innhold

  • 1 Sammendrag
  • 2 Einsteins ligninger
  • 3 Gjør ligninger føyelig
    • 3.1 Symmetri grupper
    • 3.2 «Algebraically spesielle» løsninger
    • 3.3 Andre forenkle forutsetninger
  • 4 Løse ligninger
  • 5 Noen viktige løsninger
    • 5.1 Schwarzschild og Kerr løsninger
    • 5.2 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) løsninger
    • 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) løsninger
    • 5.4 Plane bølger
    • 5.,5 Taub-MUTTER familie
  • 6 Referanser
  • 7 Se også

Oppsummering

Einsteins feltet ligninger generell relativitetsteori er 10 nonlinearpartial differensialligninger i 4 uavhengige variabler. Thiscomplicated systemet ikke kan generelt være integrert, selv om det hasbeen reformulert som en selv-sammen integrert ligning (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Analytisk og numerisk tilnærming kan være usedto utforske fysiske situasjoner. Eksakte løsninger, men fikk byimposing forenkle forutsetninger, utfylle slike tilnærminger inseveral måter., De uttrykker full nonlinearity, slik at studien ofstrong feltet regimer; de gir bakgrunn som perturbativeapproximations kan bygges, og gjør de sjekker for numericalaccuracy.

begrepet «eksakte løsningen» er ikke godt definert: vanligvis er det betyr asolution hvor alle mengder er uttrykt av elementære funksjoner eller kjente for spesielle funksjoner, men noen ganger er det utvidet toinclude løsninger som bare er kjent opp til løsningen av en eller moredifferential ligninger., De kjente eksakte løsninger er hentet fra awide rekke forutsetninger, den viktigste av disse er theimposition av symmetri grupper eller spesielle former for curvaturetensor. Blant de kjente løsninger, noen har vært på particularimportance fysisk eller matematisk.

En rekke bøker gi undersøkelser av eksakte løsninger, og bør beconsulted hvis mer informasjon er ønskelig. For en generell undersøkelse av løsninger som inneholder thesimple energi-momenta som er gitt av vakuum, elektromagnetisme og perfectfluids se Stephani et al., (2003), for inhomogeneous cosmologicalsolutions (definert som de inneholder som et spesielt tilfelle en av de FLRW modeller er diskutert nedenfor) se Krasi$\akutt{\rm n}$ski (1997), og for detaljerte undersøkelser av somespecial klasser se Griffiths (1991) og Belinskii og Verdaguer(2001).

For fysiske tolkninger av mange viktige løsninger seeBi$\sjekk{\rm c}\akutt{\rm a}$k (2000) og Griffiths og Podolsk$\akutt{\rm y}$ (2009). Det bør bemerkes at en eksakt løsning ikke nødvendigvis har aunique tolkning., For eksempel, blant eksemplene senere Schwarzschild løsning canbe tolkes som representerer enten utvendig regionen en sphericalmass, eller samspillet regionen som en følge av kollisjon mellom to particularplane bølger. Et beslektet poeng er at ulike kilder kan gi opphav til nøyaktig samme løsning.

Einsteins ligninger

Einsteins Generelle Relativitetsteori generaliserer Newtons gravitytheory til en kompatibel med spesielle relativitetsteorien., Det modeller plass andtime poeng som en (pseudo-)Riemannian fire-dimensjonale manifold med ametric \(g_{ab}\) av signatur \(\pm 2\) (sign valg isconventional). Test partikler er antatt å flytte på geodesics ofthis manifold og tidevanns gravitasjonelle krefter er beskrevet av itscurvature.

ligningene har blitt introdusert i form av et koordinere grunnlag butare ofte skrevet i form oppnådd ved å forutsette en tetrad (achoice på grunnlag av tangenten vector space som grunnlag vektorer haveconstant skalar-produkter), eller i form av spin-koeffisient formalisme.,

Fordi ved å starte fra et annet sett av karakteriserer assumptionsone kan komme fram til den samme løsningen i forskjellige koordinater, den ‘equivalence problem» for å avgjøre når to manifolder er (lokalt) thesame, dvs. isometrisk, er av betydning. Dette er formelt undecideablebut i praksis kan vanligvis løses ved hjelp av metoder som er basert på ideasof Cartan (se kapittel 9 i Stephani et al. (2003)).,

De samme ligningene (med nødvendige tillempninger) har blitt brukt, og løst i høyere dimensjoner (se Svart ring), med noen av de samme teknikker, men så langt svært lite av hele landskapet av mulige løsninger i 5 eller flere dimensjoner har blitt utforsket.

Gjør ligninger føyelig

Forfatterne noen ganger ta en metrisk form og bruk av Eq. (1) tocalculate energi-momentum (dette er deprecated \(g\)-metoden som er beskrevet bySynge (1971)). Siden ingen ligningen er faktisk løses, utfallet doesnot fortjener å bli kalt en løsning., Imidlertid, eksakte løsninger aregenerally oppnås ved mindre ekstreme former for forenkling som fora gitt form av energi-momentum, kan automatisk sikre noen av theequations er sanne, mens man lar andre til å være løst.

Symmetri grupper

Løsninger som oppnås ved slike forutsetninger er omfattet av Del II ofStephani et al. (2003): se også Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) og Bolejko et al (2010).,

«Algebraically spesielle» løsninger

En ikke-null Weyl tensoren har den egenskapen at det er fire «rektor null retninger» (PNDs),definert ved null vektorer å adlyde\bc}k^bk^c=0.\]Den algebraiske strukturen av Weyl tensoren er så preget bywhether to eller flere av PNDs sammenfallende. Når minst to gjøre, da,som gir en passende energi-momentum er antatt at den metriske tensoren kan besimplified., Slik spacetimes er kjent som `algebraically spesiell», andcan bli klassifisert i Petrov typer av antall coincidentPNDs: detaljer om mulige tilfeller er gitt i artikkelen onthe spinn-koeffisient formalisme. For energi-momenta usuallyconsidered i slike spacetimes, vektor felt av gjentatt PND isgeodesic og shearfree av Kundt-Thompson-teoremet, som (se Stephani etal (2003), teorem 7.5) generalises den Goldberg-Sachs-teoremet. Når bare to PNDs sammenfallende, den romtid isof Petrov type II., I artikkelen på spinn-koeffisient formalisme eksempel ofthe Robinson-Trautman løsninger (Petrov type II-beregninger som i thefield av gjentatt PNDs er vri-gratis) er utledet i detalj.

Den kjente algebraically spesielle løsninger blir diskutert i del III ofStephani et al. (2003). Det er naturligvis en overlapping med solutionsobtained ved antar symmetri grupper. For eksempel, alle sphericallysymmetric løsninger er av Petrov type D, eller, som et spesielt tilfelle, conformallyflat.,

Andre forenkle forutsetninger

Noen andre spesialiseringer av interesse oppstår fra følgende forutsetninger

  • det eksisterer en konstant vektor eller tensoren felt
  • krumning er tilbakevendende, komplekse tilbakevendende eller symmetrisk (disse vilkår, f.eks.,, \(R_{abcd, e}\))
  • det er et Drap eller Drepe-Yano tensoren
  • romtid innrømmer konforme bevegelser eller collineations (vektor felt generere en transformasjon der verdien er knyttet til et multiplum av seg selv eller krumning til seg selv)
  • romtid inneholder overflater med spesielle egenskaper (for eksempel, flatskjerm tre-dimensjonale skiver)
  • romtid har spesielle innebygging egenskaper

En spesielt vanlig tilfelle er der det er en konforme bevegelse forwhich flere er en konstant: slike transformasjoner er calledhomotheties., Deres generere vektor felt adlyde\der \(C\), er en konstant. Et betydelig antall av kjente løsninger innrømme homotheties, selv om manyof disse ble oppdaget uten tilstedeværelse av homothety beingassumed.

Løse ligninger

Når man har forenklet beregning og introduserte en suitableenergy-momentum tensoren, de resterende ikke-trivielle ligninger vil forma system av differensialligninger (eller i tilfelle av spacetimehomogeneity, algebraiske likninger). Det er ingen generell algoritme forall tilfeller, men noen metoder som brukes i andre områder har vist seg nyttig.,

Ligge punkt symmetrier av system av ligninger, selv om nyttige inmany situasjoner (se for eksempel Stephani (1989) eller Olve (1986)), usuallyreduce i romtid sammenheng til diffeomorphisms av manifold(bare for å si at resultatene er koordinere invariant) eller toisometric eller homothetic bevegelser. Men, det finnes tilfeller (forexample, sfærisk symmetrisk shearfree perfekt væsker) hvor Liepoint symmetrier har vært nyttig i å finne exactsolutions. Generalisert symmetrier, forlengelse og linearisering canalso være til hjelp.,

I særdeleshet, løsninger med to pendling å Drepe vektorer (fungerende onspacelike eller timelike to-dimensjonale flater), og inneholder matterwith passende energi-momentum, er mottagelig for metoder fra theoryof integrable systemer, slik som harmonisk maps (potensielle spacesymmetries), Bäcklund transformasjoner, inverse spredning, andRiemann-Hilbert problemer. For eksempel alle stasjonære axisymmetricvacuum spacetimes kan oppnås ved hjelp av slike generere techniquesstarting fra flat plass. Blant resultatene er solitonic løsninger.,

Noen viktige løsninger

En stor mange løsninger er kjent, så gjennomlesing av referanser citedin Sammendraget vil vise, og mange av disse har ikke vært fullyinterpreted fysisk. Å vite verdien i lukket form, elucidationof sine fysiske egenskaper kan likevel være vanskelig (se Griffiths og Podolsk$\akutt{\rm y}$ (2009)):for eksempel, den geodesic ligninger, med løsninger som gir possibletracks test av partikler og lys stråler, kan være vanskelige selv for simplemetrics. Blant de viktigste løsningene er de som nå brieflydescribed., (Merk at selv om de valgte løsningene er alle algebraicallyspecial og flere er sphericallysymmetric, dette er langt fra å være tilfelle for alle løsninger.) Den originale papirer som valgte løsninger ble først utledet er alle lett tilgjengelig, ha, bortsett fra det første flyet bølger papir, blitt inkludert i «Golden Oldies» – serien.

De Schwarzschild og Kerr løsninger

Schwarzschild beregning er den unike ekstern løsning for en sfærisk symmetrisk kropp i et omkringliggende tomt plass., Dette tyder på at Generelle Relativitetsteorien aksjer med Newtons gravity den egenskapen at den eksterne feltet av alle sfærisk kroppen bare avhenger av dens totale masse og ikke på radial distribusjon av saken. Men tolkningen av den løsningen som den samme som på et punkt masse i sentrum er utilfredsstillende fordi skjemaet ovenfor er kun egnet i \(r>2m\). I de første årene etter oppdagelsen av løsningen, forskere ikke var klart om \(r=2m\), der verdien av Eq. (5) har klart entall-koeffisienten, som er representert en sann singularitet., Det er nå godt forstått at det er en «event horizon», grensen av et svart hull, og at fullstendig analytisk fortsettelse av løsningen er entall på \(r=0\). For historisk informasjon se Eisenstaedt (1982) og for en generell diskusjon av globale egenskaper av spacetimes, inkludert de som er diskutert her, kan du se Hawking og Ellis (1973). Den Schwarzschild løsningen gitt et mønster for senere undersøkelser av singularities og sorte hull.

Denne løsningen er unik viser at den Generelle Relativitetsteorien ikke innrømme monopolar gravitasjonsbølger., Det er også det laveste for tilnærming til feltet av ekte himmellegemer som Jorden og Solen. Beregning geodesics på dette feltet har aktivert nøyaktige spådommer av lys-bøying av Solen og den forkant av perihelion av Kvikksølv, to av de «klassiske tester» av generelle relativitetsteori.

Schwarzschild-løsning er et spesielt tilfelle av Kerr-løsning (funnet i 1963), som representerer den eksterne feltet av en roterende sort hull. Dette kan skrives som en forekomst av Eq. (4) med \(e=g=l=\Lambda=0\), og det er vanlig å skrive \(a^2:=\gamma,\)., Forholdet mellom spinn til masse (i geometrized enheter) er så \(a/m\). Den Schwarzschild og Kerr-løsninger gir bakgrunnen for studier av fysikk i feltet av sorte hull, som er brukt i modellering X-ray binære kilder og aktiv galaktiske kjerner i astronomi. Observasjoner av stråling fra saken i nærheten sorte hull kan vi konkludere med at det er astronomiske svart hull med \(a/m > 0.95\): se Svart hull.

Schwarzschild og Kerr sorte hull kan være lett generalisert til å omfatte ikke-null elektromagnetisk gebyrer og (ved hjelp av Eq., (4) for eksempel) ikke-null \(l\) og \(\Lambda\). Det er unike resultater som viser (med noen tekniske begrensninger) at disse familiene er den unike stasjonære svart hull med sfærisk topologi av en ikke-singulær event horizon.

De Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) løsninger

Disse løsningene gir geometri «standardmodell» i moderne kosmologi, og dermed gi en bakgrunn for et enormt antall av papirer å studere kosmologiske fysikk, blant annet perturbasjon av løsninger., Deres geometri ble avklart av Robertson og Walker, uavhengig av hverandre, og i 1930-årene, og de mest brukte spesifikke løsninger ble funnet av Friedmann og ved Lemaître på 1920-tallet: derav den lange navn.

Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) løsninger

Disse sfærisk symmetrisk løsninger er løsninger for Eq. (2) med «støv» (en perfekt væske med \(p=0\)) med \(\Lambda=0\). De generaliserer FLRW løsninger for støv for å inhomogeneous løsninger., Siden støv antas å være en riktig representasjon av universets materie innhold på stor skala, på det nåværende tidspunkt, LTB løsninger har vært mye brukt for å gi nøyaktige modeller av strukturer i universet (se Bolejko et al (2010)). De inneholder som spesielle tilfeller både Schwarzschild og støv FLRW løsninger.

Planet waves

Disse spacetimes gi et viktig eksempel på uventede globale struktur., Hvis man slutter seg til en plan bølge å flatskjerm mellomrom på hver side av noen spekter av \(u\), som danner en «sandwich bølge», så lyskjegle fra et punkt på den ene siden refocuses på den andre siden, som funnet av Penrose (1965). Sandwich-bølge struktur løst spørsmålet om gravitasjonsbølger første funnet, ved hjelp av approksimasjoner, av Einstein kunne være bare koordinere effekter: Bondi, Pirani og Robinson (1959), viste at gratis test partikler er relativt akselerert ved passasje gjennom bølge-regionen, noe som tyder på at bølgen må bære energi.,

Planet waves er de første tilnærming for gravitasjonsfelt stråling langt fra en kilde i en ellers tom plass. De er et spesialtilfelle av en mer generell pp-bølger, løsninger med en covariantly konstant null Drepte vektor reresenting plan-fronted gravitasjonsbølger med parallelle stråler og funnet i 1925 av Brinkman. Denne klassen er for Petrov type N (alle fire PNDs coincident) eller conformally flatskjerm.

De Taub-MUTTER familie

Taub-MUTTER romtid har svært uventede globale egenskaper., Den NUTregion inneholder lukket timelike linjer og ingen fornuftig Cauchy overflater,det er to inequivalent maksimal analytisk utvidelser av theTaub regionen (eller en ikke-Hausdorff manifold med både utvidelser), thespacetime er nonsingular i den forstand av en kurvatur som singularitet,og det er geodesics av endelig affine parameter lengde. Disse egenskapene ga opphav til tittelen Misner er 1963 papir (noen av disse egenskaper er felles for theother Taub-MUTTER beregninger)., Løsningen hadde en stor innflytelse på studier av exactsolutions og kosmologiske modeller som er romlig-homogen, andmore generelt om de som er hypersurface-homogen andself-lignende, på cosmologyin generelt, og på vår forståelse av global analyse andsingularities i rom-tid.

Belinski, V og Verdaguer, E (2001). Gravitasjonsfelt solitons. Cambridge University Press, Cambridge.

Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la løsning de Schwarzschild: (1915-1923). Arch. Hist. Nøyaktig Sci. 27: 157-198.

Ellis, G F R og Madsen, M (1991)., Nøyaktig skalar feltet kosmologier. Klasse. Quant. Grav. 8: 667-676.

Griffiths, J B (1991). Å kollidere plane bølger i generell relativitetsteori. Oxford matematiske monografier. Oxford University Press, Oxford.

Hawking, S W og Ellis, G F R (1973). Den store strukturen av rom-tid. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$\akutt{\rm n}$ski, A (1997). Inhomogeneous kosmologiske modeller. Cambridge University Press, Cambridge.

Olve, P J (1986). Anvendelse av Lie-grupper for å differensialligninger. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., En bemerkelsesverdig egenskap av plane bølger i generell relativitetsteori. Rev. Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, D W; Waylen, P C og Gilman, R C (1969). Generelt covariant integrert formulering av Einsteins feltet ligninger. Fysisk Gjennomgå Et 187: 1762.

Stephani, T (1989). Differensialligninger – løsningene ved hjelp av symmetrier. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Relativitetsteorien: den generelle teorien. North-Holland, Dordrecht.

Se også:

Svart hull, Sort ring, Kosmologiske Konstant, Generell relativitetsteori,Spin-koeffisient formalisme