I analogi med den halv-heltall formel,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p ) ( p) n − ( s − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{justert}\Gamma, \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma, \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma, \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\\\Gamma, \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma, \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(s-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{justert}}}
hvor n!(p) betegner pth multifactorial n. Numerisk,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ca 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ca 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{5}}\right)\ca 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ca 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{7}}\right)\ca 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{8}}\right)\ca 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
Det er ukjent om disse konstantene er opphøyet generelt, men Γ(1/3) og Γ(1/4) ble vist å være opphøyet av G. V. Chudnovsky. Γ(1/4) / 4√π har også lenge vært kjent for å være opphøyet, og Yuri Nesterenko viste i 1996 at Γ(1/4), π, og no er algebraically uavhengige.,
antall Γ(1/4) er knyttet til Gauss ‘ s konstant G av
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
og det har vært conjectured av Gramain som
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
hvor δ er det Masser–Gramain konstant OEIS: A086058, selv om numerisk arbeid ved Melquiond et al. indikerer at denne antakelsen er falske.,
Borwein og Zucker har funnet ut at Γ(n/24) kan uttrykkes algebraically i form av π K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)), og K(k(6)) der K(k(N)) er en komplett elliptiske integral av den første typen. Dette gjør det mulig å effektivt tilnærmet gamma funksjon av rasjonelle argumenter til høy presisjon med quadratically konvergent aritmetiske–geometriske mener iterasjoner. Ingen lignende forbindelser er kjent for Γ(1/5) eller andre denominators.,
I særdeleshet, hvor AGM() er den aritmetiske–geometriske gjennomsnitt, har vi
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {GENERALFORSAMLINGEN} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {GENERALFORSAMLINGEN} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {GENERALFORSAMLINGEN} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Andre formler inkluderer uendelig produkter
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
og
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k) – k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{k(-1)^{k}}}
der A er Glaisher–Kinkelin konstant og G er katalansk er konstant.,
følgende to representasjoner for Γ(3/4) ble gitt av I., k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( jeg π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=jeg\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2 k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
og
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
hvor ϑ1 og ϑ4 er to av de Jacobi theta funksjoner.,