Differensial kalkulus er brukt for å finne pris på skifte av variabel i forhold til en annen variabel.
I den virkelige verden, den kan brukes til å finne hastigheten til et objekt i bevegelse, eller for å forstå hvordan elektrisitet og magnetisme arbeid. Det er svært viktig for å forstå fysikk—og på mange andre områder av vitenskapen.
Differensial kalkulus er også nyttige for grafisk fremstilling., Den kan brukes til å finne skråningen av en kurve, og den høyeste og laveste punkt i kurven (disse kalles maksimum og minimum, henholdsvis).
Variabler kan endre sin verdi. Dette er forskjellig fra tallene fordi tallene er alltid den samme. For eksempel, nummer 1 er alltid lik 1, og antall 200 er alltid lik 200. En skriver ofte variabler som bokstaver, for eksempel bokstaven x: «x» kan være lik 1 på ett punkt, og 200 på en annen.
Noen eksempler på variabler er avstand og tid, fordi de kan endres., Hastigheten til et objekt er hvor langt det går i en bestemt tid. Så hvis en by som er 80 km (50 miles) unna og du er en person i en bil blir der i en time, de har reist til en gjennomsnittlig hastighet på 80 km (50 miles) per time. Men dette er bare et gjennomsnitt: kanskje de reiste raskere noen ganger (si på en motorvei), og lavere i andre situasjoner (for eksempel ved et trafikklys eller på en liten gate der folk bor). Sikkert det er vanskeligere for en sjåfør å finne ut av en bil i fart ved hjelp av bare sin kilometerteller (avstandsmåler) og klokke—uten et speedometer.,
Før analyse ble oppfunnet, den eneste måten å regne ut dette på, var å redusere tiden i mindre og mindre biter, slik at den gjennomsnittlige hastigheten over mindre tid ville komme nærmere og nærmere den faktiske hastigheten på et punkt i tiden. Dette ble en veldig lang og vanskelig prosess, og måtte gjøres hver gang folk ønsket å jobbe noe.
På en kurve, to forskjellige steder har ulike løyper. Den røde og blå linjer er tangenter til kurven.,
En veldig lignende problem er å finne skråningen (hvor bratt det er) på hvilket som helst punkt på en kurve. Skråningen av en rett linje er lett å trene — det er rett og slett hvor mye det går opp eller ned (y eller vertikal) delt på hvor mye det går over (x eller horisontal). På en kurve, men fallet er en variabel (har ulike verdier på ulike tidspunkter) fordi linjen svinger. Men hvis kurven var å bli kuttet i veldig, veldig små biter, kurven i punktet ser nesten ut som en veldig kort rett linje., Så for å trene sine skråningen, en rett linje som kan trekkes gjennom punktet med samme helning som kurven på det tidspunktet. Hvis dette gjøres riktig, er den rette linjen har samme helning som kurven, og kalles en tangent. Men det er ingen måte å vite (uten kompleks matematikk) om tangent er helt riktig, og øynene våre er ikke nøyaktige nok til å være sikker på om det er nøyaktig eller rett og slett veldig nær.
Hva Newton og Leibniz fant var en måte å finne ut skråning (eller hastigheten på avstand eksempel) nøyaktig, ved hjelp av enkle og logiske regler., De delte kurve inn i en uendelig rekke veldig små biter. De valgte deretter poeng på hver side av området de var interessert i, og jobbet ut tangenter på hver. Som punktene flyttes nærmere sammen mot det punktet de var interessert i, skråningen nærmet seg en bestemt verdi som tangenter nærmet seg den virkelige helning på kurven. Den aktuelle verdien er det nærmet seg var selve skråningen.
Et bilde som viser hva x og x + h betyr på kurven.,
Matematikere har vokst dette grunnleggende teori til å gjøre enkle algebra regler—som kan brukes til å finne den deriverte av nesten enhver funksjon.