Definitionen von Mittelwert und Median
In Mathematik und Statistik ist der Mittelwert oder das arithmetische Mittel einer Zahlenliste die Summe der gesamten Liste geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Liste. Wenn man symmetrische Verteilungen betrachtet, ist der Mittelwert wahrscheinlich das beste Maß, um zur zentralen Tendenz zu gelangen. In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist ein Median die Zahl, die die höhere Hälfte einer Stichprobe, eine Population oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der unteren Hälfte trennt.,
Wie berechnet man
Der Mittelwert oder Durchschnitt ist wahrscheinlich die am häufigsten verwendete Methode zur Beschreibung der zentralen Tendenz. Ein Mittelwert wird berechnet, indem alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte dividiert werden. Das arithmetische Mittel einer Stichprobe 
ist die Summe der abgetasteten Werte dividiert durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe:
Der Median ist die Zahl, die genau in der Mitte der Wertemenge gefunden wird. Ein Median kann berechnet werden, indem alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge aufgelistet und dann die Zahl in der Mitte dieser Verteilung lokalisiert werden., Dies gilt für eine ungerade Zahlenliste; Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es keinen einzigen mittleren Wert, daher ist es üblich, den Mittelwert der beiden mittleren Werte zu verwenden.
Beispiel
Nehmen wir an, dass es in einer Klasse neun Schüler mit den folgenden Ergebnissen in einem Test gibt: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 83. In diesem Fall ist die durchschnittliche Punktzahl (oder der Mittelwert) die Summe aller Punkte geteilt durch neun. Dies funktioniert bis 144/9 = 16. Beachten Sie, dass 16 zwar der arithmetische Durchschnitt ist, aber durch die ungewöhnlich hohe Punktzahl von 83 im Vergleich zu anderen Werten verzerrt wird., Fast alle Noten der Schüler liegen unter dem Durchschnitt. Daher ist in diesem Fall der Mittelwert kein guter Vertreter der zentralen Tendenz dieser Stichprobe.
Der Median hingegen ist der Wert, der so groß ist, dass die Hälfte der Werte darüber und die Hälfte der Werte darunter liegt. In diesem Beispiel ist der Median also 8. Es gibt vier Punkte unter und vier über dem Wert 8. 8 stellt also den Mittelpunkt oder die zentrale Tendenz der Probe dar.,
Vergleich von Mittelwert, median und Modus von zwei log-normal-Verteilungen mit unterschiedlicher schiefe.
Nachteile von arithmetischen Mitteln und Medianen
Der Mittelwert ist kein robustes Statistikwerkzeug, da er nicht auf alle Verteilungen angewendet werden kann, aber leicht das am weitesten verbreitete Statistikwerkzeug ist, um die zentrale Tendenz abzuleiten., Der Grund, warum der Mittelwert nicht auf alle Verteilungen angewendet werden kann, liegt darin, dass er übermäßig von Werten in der Stichprobe beeinflusst wird, die zu klein bis zu groß sind.
Der Nachteil von Median ist, dass es theoretisch schwierig ist, damit umzugehen. Es gibt keine einfache mathematische Formel, um den Median zu berechnen.
Andere Arten von Mitteln
Es gibt viele Möglichkeiten, die zentrale Tendenz oder den Durchschnitt einer Reihe von Werten zu bestimmen. Der oben diskutierte Mittelwert ist technisch gesehen das arithmetische Mittel und die am häufigsten verwendete Statistik für den Durchschnitt., Es gibt andere Arten von Mitteln:
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel ist definiert als die n-te Wurzel des Produkts aus n Zahlen, dh für eine Menge von Zahlen x1, x2…, xn, das geometrische Mittel ist definiert als
Geometrische Mittel sind besser als arithmetische Mittel zur Beschreibung des proportionalen Wachstums. Eine gute Anwendung für das geometrische Mittel ist beispielsweise die Berechnung der compoundierten jährlichen Wachstumsrate (CAGR).
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte., Das harmonische Mittel H der positiven reellen Zahlenx1, x2,…, xn ist
Eine gute Anwendung für harmonische Mittel ist bei der Mittelung von Vielfachen. Für Exampe ist es besser, das gewichtete harmonische Mittel bei der Berechnung des durchschnittlichen Preis–Gewinn-Verhältnisses (P/E) zu verwenden. Wenn P / E-Verhältnisse mit einem gewichteten arithmetischen Mittel gemittelt werden, erhalten hohe Datenpunkte übermäßig größere Gewichte als niedrige Datenpunkte.
Pythagoreische Mittel
Das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel bilden zusammen eine Reihe von Mitteln, die pythagoreische Mittel genannt werden., Für jede Menge von Zahlen ist das harmonische Mittel immer das kleinste aller pythagoräischen Mittel, und das arithmetische Mittel ist immer das größte der 3 Mittel. dh Harmonisches Mittel ≤ Geometrisches Mittel ≤ Arithmetisches Mittel.