Diskussion
konstante Beschleunigung
Kalkül ist ein fortgeschrittenes mathematisches Thema, aber es macht die Ableitung von zwei der drei Bewegungsgleichungen viel einfacher. Per Definition ist Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit. Nehmen Sie die Operation in dieser Definition und kehren Sie sie um. Anstatt die Geschwindigkeit zu unterscheiden, um die Beschleunigung zu finden, integrieren Sie die Beschleunigung, um die Geschwindigkeit zu finden. Dies gibt uns die Geschwindigkeit-Zeit-Gleichung., Wenn wir davon ausgehen, dass die Beschleunigung konstant ist, erhalten wir die sogenannte erste Bewegungsgleichung .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Kehren Sie diesen Vorgang um. Anstatt die Position zu unterscheiden, um die Geschwindigkeit zu finden, integrieren Sie die Geschwindigkeit, um die Position zu finden. Dies gibt uns die Positions-Zeit-Gleichung für konstante Beschleunigung, auch als zweite Bewegungsgleichung bekannt .,td>
⌡
Im Gegensatz zur ersten und zweiten Bewegungsgleichung gibt es keine offensichtliche Möglichkeit, die dritte Bewegungsgleichung (die Geschwindigkeit mit der Position in Beziehung setzt) mit Kalkül abzuleiten., Wir können es nicht einfach von einer Definition zurückentwickeln. Wir müssen einen ziemlich raffinierten Trick spielen.
Die erste Bewegungsgleichung bezieht Geschwindigkeit auf Zeit. Wir haben es im Wesentlichen aus dieser Ableitung abgeleitet…
| dv | = a |
| dt |
Die zweite Bewegungsgleichung bezieht sich auf die Zeit., Es kam aus dieser Ableitung…
| ds | = v |
| dt |
Die Dritte Gleichung der Bewegung bezieht sich Geschwindigkeit zu positionieren. Durch logische Erweiterung sollte es aus einer Ableitung stammen, die so aussieht…
| dv | = ? |
| ds |
Aber was bedeutet das gleich? Nun, nichts per Definition,aber wie alle Mengen ist es gleich. Es entspricht auch sich selbst multipliziert mit 1., Wir verwenden eine spezielle Version von 1 (dtdt) und eine spezielle Version der Algebra (Algebra mit Infinitesimalen). Schau, was passiert, wenn wir das tun. Wir erhalten eine Ableitung gleich der Beschleunigung (dvdt) und eine andere Ableitung gleich der Umkehrung der Geschwindigkeit (dtds).,“2″> =
Next step, separation of variables., Holen Sie sich Dinge, die ähnlich sind, zusammen und integrieren Sie sie.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Es funktionierte jedoch wirklich nur, weil die Beschleunigung konstant war-zeitlich konstant und räumlich konstant. Wenn die Beschleunigung in irgendeiner Weise variiert, wäre diese Methode unangenehm schwierig. Wir würden wieder Algebra benutzen, nur um unsere Vernunft zu retten. Nicht, dass da irgendetwas nicht stimmt. Algebra funktioniert und Vernunft ist es wert zu sparen.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Wenden wir es auf eine Situation mit einem ungewöhnlichen Namen an-konstanter Ruck. Keine Lüge, so heißt es. Ruck ist die Änderungsrate der Beschleunigung mit der Zeit.
| j = | da |
| dt |
Das macht Ruck die Ableitung der Beschleunigung die zweite Ableitung der Geschwindigkeit und die Dritte Ableitung der position.,
| j = | da | = | d2v | = | d3s |
| dt | dt2 | dt3 |
Die SI-Einheit des Rucks ist der meter pro Sekunde in Würfel geschnitten.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
Eine Alternative Maßeinheit ist die g pro Sekunde.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Ruck ist nicht nur eine kluge Arsch Physiker Antwort auf die Frage, „Oh ja, so was tun Sie rufen Sie die Dritte Ableitung der position?“Das ist eine sinnvolle Menge.
Der menschliche Körper ist mit Sensoren ausgestattet, um Beschleunigung und Ruck zu spüren., Tief im Ohr, integriert in unsere Schädel, befindet sich eine Reihe von Kammern, die Labyrinth genannt werden. Ein Teil dieses Labyrinths ist unserem Hörsinn (der Cochlea) und ein Teil unserem Gleichgewichtssinn (dem vestibulären System) gewidmet. Das vestibuläre System ist mit Sensoren ausgestattet, die die Winkelbeschleunigung (die halbkreisförmigen Kanäle) und die lineare Beschleunigung (die Otolithen) erfassen. Wir haben zwei Otolithen in jedem Ohr — eine zum Erkennen der Beschleunigung in der horizontalen Ebene (dem Utricle) und eine zum Erkennen der Beschleunigung an der vertikalen Stelle (dem Saccule)., Otolithen sind unsere eigenen eingebauten Beschleunigungsmesser.
Das Wort otolith kommt aus dem griechischen οτο (oto) für Ohr-und λιθος (lithos) Stein. Jedes unserer vier Otolithen besteht aus einer harten knochenähnlichen Platte, die an einer Matte aus sensorischen Fasern befestigt ist. Wenn der Kopf beschleunigt, verschiebt sich die Platte zur Seite und beugt die sensorischen Fasern. Dies sendet ein Signal an das Gehirn und sagt: „Wir beschleunigen.“Da die Schwerkraft auch an den Platten zerrt, kann das Signal auch bedeuten“ dieser Weg ist unten.“Das Gehirn ist ziemlich gut darin, den Unterschied zwischen den beiden Interpretationen herauszufinden. So gut, dass wir dazu neigen, es zu ignorieren., Sehen, Klingen, riechen, schmecken, berühren — wo ist das Gleichgewicht in dieser Liste? Wir ignorieren es, bis sich etwas auf ungewöhnliche, unerwartete oder extreme Weise ändert.
Ich war noch nie im Orbit oder lebte auf einem anderen Planeten. Die Schwerkraft zieht mich immer auf die gleiche Weise nach unten. Stehen, Gehen, Sitzen, Liegen — es ist alles ziemlich ruhig. Lassen Sie uns jetzt in eine Achterbahn steigen oder eine ähnlich aufregende Aktivität wie Skifahren, Formel-1-Rennen oder Radfahren im Manhattan-Verkehr ausüben. Die Beschleunigung ist zuerst in die eine Richtung gerichtet, dann in die andere. Sie können sogar kurze Perioden der Schwerelosigkeit oder Inversion erleben., Diese Art von Empfindungen erzeugen intensive geistige Aktivität, weshalb wir sie gerne tun. Sie schärfen uns auch und halten uns während der Momente, in denen das Leben endet, konzentriert, weshalb wir diesen Sinn überhaupt entwickelt haben. Ihre Fähigkeit, Emotionen zu spüren, ist entscheidend für Ihre Gesundheit und Ihr Wohlbefinden. Dies ist sowohl aufregend als auch notwendig.
Konstanter Ruck ist mathematisch einfach zu handhaben. Lassen Sie uns als Lernübung die Bewegungsgleichungen für konstanten Ruck ableiten. Sie können gerne kompliziertere Ruckprobleme ausprobieren, wenn Sie möchten.
Ruck ist die Ableitung der Beschleunigung., Machen Sie diesen Vorgang rückgängig. Integrieren Sie es, um die Beschleunigung als Funktion der Zeit zu erhalten. Ich schlage vor, wir nennen dies die nullste Bewegungsgleichung für konstanten Ruck. Der Grund, warum wird offensichtlich sein, nachdem wir die nächste Ableitung beenden.,“c3561135a8″>
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| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integrieren Sie die Beschleunigung, um die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu erhalten. Wir haben diesen Prozess schon einmal gemacht. Wir nannten das Ergebnis die Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung oder die erste Bewegungsgleichung, wenn die Beschleunigung konstant war. Wir sollten ihm einen ähnlichen Namen geben. Dies ist die erste Bewegungsgleichung für konstanten Ruck.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integrieren Sie die Geschwindigkeit, um die Verschiebung als Funktion der Zeit zu erhalten. Das haben wir auch schon mal gemacht. Die resultierende Verschiebung-Zeit-Beziehung wird unsere zweite Bewegungsgleichung für konstanten Ruck sein.,v id=“2b78da115e“> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Wenn der Ruck Null ist, kehren sie alle zur konstanten Beschleunigung zu den Bewegungsgleichungen zurück. Null Ruck bedeutet konstante Beschleunigung, also ist alles in Ordnung mit der Welt, die wir geschaffen haben. (Ich sagte nie, konstante Beschleunigung sei realistisch. Konstanter Ruck ist ebenso mythisch. In Hypertextbook Welt sind jedoch alle Dinge möglich.)
Wohin gehen wir als Nächstes? Sollten wir an einer Geschwindigkeits-Verschiebungs-Beziehung arbeiten (die dritte Bewegungsgleichung für konstanten Ruck)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Das kann nicht unser Freund sein. Im Moment kann ich nicht belästigt werden. Ich weiß nicht, ob mir das etwas Interessantes sagen würde. Ich weiß, ich habe noch nie eine dritte oder vierte Bewegungsgleichung für konstanten Ruck benötigt-noch nicht. Ich überlasse dieses Problem den Mathematikern der Welt.
Dies ist die Art von Problem, das Physiker von Mathematikern unterscheidet. Ein Mathematiker würde sich nicht unbedingt um die physikalische Bedeutung kümmern und dem Physiker für eine interessante Herausforderung danken., Ein Physiker würde sich nicht unbedingt für die Antwort interessieren, es sei denn, sie erwies sich als nützlich, in diesem Fall würde der Physiker dem Mathematiker sicherlich dafür danken, dass er so neugierig war.
konstantes Nichts
Auf dieser Seite in diesem Buch geht es nicht um Bewegung mit konstanter Beschleunigung oder konstantem Ruck oder konstantem Schnappen, Knistern oder Knallen. Es geht um die allgemeine Methode zur Bestimmung der Bewegungsmengen (Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung) in Bezug auf Zeit und einander für jede Art von Bewegung., Das Verfahren dazu ist entweder Differenzierung (Finden der Ableitung)…
- Die Ableitung der Position mit der Zeit ist Geschwindigkeit (v = dsdt).
- Die Ableitung der Geschwindigkeit mit der Zeit ist Beschleunigung (a = dvdt).
oder Integration (das Integral finden)…
- Das Integral der Beschleunigung im Laufe der Zeit ist Geschwindigkeitsänderung (∆v = ∫a dt).
- Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit ist Positionsänderung (∆s = ∫v dt).
So funktioniert es. Einige Merkmale der Bewegung eines Objekts werden durch eine Funktion beschrieben., Können Sie die Ableitung dieser Funktion finden? Das gibt Ihnen ein weiteres Merkmal der Bewegung. Kannst du sein Integral finden? Das gibt Ihnen eine andere Eigenschaft. Wiederholen Sie jeden Vorgang so oft wie nötig. Wenden Sie dann die Techniken und Konzepte an, die Sie in Kalkül und verwandten Zweigen der Mathematik gelernt haben, um mehr Bedeutung zu extrahieren — Bereich, Domäne, Grenze, Asymptote, Minimum, Maximum, Extremum, Konkavität, Beugung, analytisch, numerisch, genau, ungefähr und so weiter. Ich habe der Zusammenfassung für dieses Thema einige wichtige Hinweise dazu hinzugefügt.,
