La trasformata di Fourier è una generalizzazione della serie di Fourier complessa nel limite come
. Sostituire il discreto 
con il continuo 
lasciando 
., id=”419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., La notazione 
è introdotta in Trott (2004, p. xxxiv), e
e
sono talvolta usate anche per indicare rispettivamente la trasformata di Fourier e la trasformata di Fourier inversa (Krantz 1999, p. 202).
Si noti che alcuni autori (in particolare i fisici) preferiscono scrivere la trasformazione in termini di frequenza angolare
invece della frequenza di oscillazione
.,”25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Per impostazione predefinita, il linguaggio Wolfram prende FourierParameters come 
. Purtroppo, un certo numero di altre convenzioni sono in uso diffuso. Per esempio, 
è utilizzato nella fisica moderna, 
in matematica pura e ingegneria dei sistemi, 
in teoria della probabilità per il calcolo della funzione caratteristica, 
viene usato in fisica classica, e 
è usato nel trattamento del segnale. In questo lavoro, seguendo Bracewell (1999, pp., 6-7), si presume sempre che
e
se non diversamente specificato. Questa scelta spesso si traduce in trasformazioni notevolmente semplificate di funzioni comuni come 1, 
, ecc.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
 |
(19)
|
A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
 |
(20)
|
provided that
exists.,
2. Ci sono un numero finito di discontinuità.
3. La funzione ha limitato la variazione.,d”>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
Esiste anche una relazione alquanto sorprendente ed estremamente importante tra l’autocorrelazione e la trasformata di Fourier nota come teorema di Wiener-Khinchin., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
 |
(33)
|
The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
 |
(40)
|
The first term consists of an oscillating function times 
., id=”3f4582000b”>
so 
has the Fourier transform
 |
(57)
|
If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=”ec13a9034f”>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
Qualsiasi operazione 
che lascia la propria area invariato foglie 
invariato, dato che
 |
(64)
|
La tabella seguente sono riassunti alcuni comuni trasformata di Fourier coppie.,or 
, 
by
 |
 |
 |
(67)
|
 |
 |
 |
(68)
|