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Curatore: Malcolm A. H. MacCallum

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le Soluzioni Esatte delle Equazioni di Einstein

della Relatività Generale di Einstein è la principale teoria dello spazio-tempo e della gravità: è altamente non lineare. Le soluzioni esatte delle equazioni di Einstein modellano così i sistemi gravitanti e consentono l’esplorazione della matematica e della fisica della teoria.,

Contenuto

  • 1 Sommario
  • 2 le equazioni di Einstein
  • 3 Facendo le equazioni trattabili
    • 3.1 Simmetria gruppi
    • 3.2 “Algebricamente speciale” soluzioni
    • 3.3 Altre ipotesi semplificative
  • 4 Risoluzione di equazioni
  • 5 Alcune importanti soluzioni
    • 5.1 Il Schwarzschild e Kerr soluzioni
    • 5.2 Il Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) soluzioni
    • 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) soluzioni
    • 5.4 onde piane
    • 5.,5 La famiglia Taub-NUT
  • 6 Riferimenti
  • 7 Vedi anche

Sommario

Le equazioni di campo di Einstein della relatività generale sono 10 equazioni differenziali non lineari in 4 variabili indipendenti. Questo sistema complicato non può essere generalmente integrato, sebbene sia stato riformulato come equazione integrale auto-accoppiata (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Si possono usare approssimazioni analitiche e numericheper esplorare situazioni fisiche. Le soluzioni esatte, sebbene ottenute applicando ipotesi semplificative, integrano tali approcci in diversi modi., Essi incarnano la piena non linearità, consentendo lo studio di forti regimi di campo; forniscono sfondi su cui si possono costruire approssimazioni perturbative; e consentono controlli di accuratezza numerica.

Il termine “soluzione esatta” non è ben definito: di solito significa una soluzione in cui tutte le quantità sono espresse da funzioni elementari o da funzioni speciali ben note, ma a volte è esteso a includere soluzioni note solo fino alla soluzione di una o più equazioni differenziali., Le soluzioni esatte conosciute sono ottenute da un’ampia varietà di ipotesi, la più importante di queste è l’imposizione di gruppi di simmetria o forme speciali del sensore di curvatura. Tra le soluzioni conosciute, alcune sono state di particolare importanza fisicamente o matematicamente.

Un certo numero di libri forniscono sondaggi di soluzioni esatte e dovrebbero essere consultati se si desiderano dettagli più completi. Per un ” indagine generale di soluzioni contenenti thesimple energia-momenti dato da vuoto, elettromagnetismo e perfectfluids vedere Stephani et al., (2003), per le soluzioni cosmologiche disomogenee (definite come quelle contenenti come caso speciale uno dei modelli FLRW discussi di seguito) vedi Krasi acute\acute{\rm n} ski ski (1997), e per indagini dettagliate su alcune classi speciali vedi Griffiths(1991) e Belinskii e Verdaguer (2001).

Per interpretazioni fisiche di molte soluzioni importanti seeBi check\check{\rm c}\acute{\rm a} k k (2000) e Griffiths e Podolsk$\acute{\rm y}} (2009). Va notato che una soluzione esatta non ha necessariamente uninterpretazione unica., Ad esempio, tra gli esempi forniti in seguito, la soluzione di Schwarzschild può essere interpretata come la regione esterna di una massa sferica o la regione di interazione dopo la collisione di due particolari onde del piano. Un punto correlato è che fonti diverse possono dare origine alla stessa soluzione esatta.

Equazioni di Einstein

La teoria della relatività Generale di Einstein generalizza la teoria della gravità di Newton in una compatibile con la relatività speciale., Modella i punti spazio e tempo come una (pseudo-)varietà quadridimensionale riemanniana con ametrica \(g_ {ab}\) di firma \(\pm 2\) (la scelta del segno è convenzionale). Si presume che le particelle di prova si muovano sulla geodetica di questa varietà e che le forze gravitazionali di marea siano descritte dalla suacurvatura.

Le equazioni sono state introdotte in termini di una base di coordinate ma sono spesso scritte nella forma ottenuta assumendo una tetrade (una scelta di base dello spazio vettoriale tangente i cui vettori di base hanno prodotti scalari costanti), o in termini di formalismo del coefficiente di spin.,

Poiché partendo da un diverso insieme di ipotesi caratterizzanti si può arrivare alla stessa soluzione in coordinate diverse, il “problema di equivalenza” di decidere quando due varietà sono (localmente) lo stesso, cioè isometrico, è importante. Questo è formalmente indecifrabile, ma in pratica può essere risolto usando metodi basati su idee di Cartan (vedi capitolo 9 di Stephani et al. (2003)).,

Le stesse equazioni (mutatis mutandis) sono state utilizzate e risolte in dimensioni superiori (vedi Anello nero), con alcune delle stesse tecniche, ma finora è stato esplorato molto poco del panorama completo di possibili soluzioni in 5 o più dimensioni.

Rendere trattabili le equazioni

Gli autori a volte assumono una forma metrica e usano l’Eq. (1) per calcolare l’energia-momento (questo è il deprecato \(g\)-metodo descritto da Synge (1971)). Poiché nessuna equazione è effettivamente risolta, il risultato non merita di essere chiamato una soluzione., Tuttavia, le soluzioni esatte sono generalmente ottenute mediante forme meno estreme di semplificazione che, per una data forma di energia-momento, possono automaticamente garantire che alcune delle domande siano vere lasciando altre da risolvere.

Gruppi di simmetria

Le soluzioni ottenute da tali ipotesi sono coperte dalla Parte II di Stephani et al. (2003): vedi anche Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) e Bolejko et al (2010).,

Soluzioni “algebricamente speciali”

Un tensore di Weyl diverso da zero ha la proprietà che ci sono quattro “direzioni nulle principali” (PND),definite da vettori nulli che obbediscono a\bc}k^bk^c=0.\] La struttura algebrica del tensore di Weyl è quindi caratterizzata dase due o più PND coincidono. Quando almeno due lo fanno, quindi, fornendo un adeguato momento di energia, il tensore metrico può esseresemplificato., Tali spazi sono noti come “algebricamente speciali” e possono essere classificati nei tipi di Petrov in base al numero di PND coincidenti: i dettagli dei possibili casi sono forniti nell’articolo sul formalismo del coefficiente di spin. Per l’energia-momento di solito considerato in tali spazi, il campo vettoriale del PND ripetuto è geodetico e libero dal teorema di Kundt-Thompson, che (vedi Stephani etal (2003), teorema 7.5) generalizza il teorema di Goldberg-Sachs. Quando solo due PND coincidono, lo spaziotempo èdi tipo Petrov II., Nell’articolo sul formalismo del coefficiente di spin, l’esempio delle soluzioni Robinson-Trautman (metriche di tipo II di Petrov in cui il campo dei PND ripetuti è privo di torsione) è derivato in dettaglio.

Le soluzioni algebricamente speciali conosciute sono discusse nella parte III di Stephani et al. (2003). C’è naturalmente una sovrapposizione con le soluzioniottenuto assumendo gruppi di simmetria. Ad esempio, tutte le soluzioni sfericallysymmetric sono di tipo Petrov D o, come caso speciale, conformallyflat.,

Altre ipotesi semplificatrici

Alcune altre specializzazioni di interesse derivano dalle seguenti ipotesi

  • esistono campi vettoriali o tensori costanti
  • la curvatura è ricorrente, complessa ricorrente o simmetrica (queste sono le condizioni su, ad es.,, \(R_{abcd;e}\))
  • c’è un omicidio o di Uccisione-Yano tensore
  • lo spazio-tempo ammette conformal movimenti o collineations (campi vettoriali generare una trasformazione in cui la metrica è mappato a un multiplo di se stesso o la curvatura a se stesso)
  • lo spazio-tempo contiene le superfici con proprietà particolari (ad esempio, tv tridimensionale fette)
  • lo spazio-tempo ha particolari proprietà incorporamento

Un particolare caso comune è dove c’è un protettivo, movimento forwhich il più costante: tali trasformazioni sono calledhomotheties., I loro campi vettoriali generatori obbediscono a \ dove \(C\) è una costante. Un numero significativo di soluzioni conosciute ammettono omotetità, anche se molti di questi sono stati scoperti senza la presenza dell’omotetità.

Risolvere le equazioni

Una volta semplificata la metrica e introdotto un tensore del momento energetico adatto, le restanti equazioni non banali formeranno un sistema di equazioni differenziali (o nel caso di spaziotimehomogeneity, equazioni algebriche). Non esiste un algoritmo generale per tutti i casi, ma alcuni metodi utilizzati in altre aree si sono dimostrati utili.,

Le simmetrie dei punti di Lie del sistema di equazioni, sebbene utili in molte situazioni (vedi ad esempio Stephani (1989) o Olver (1986)), di solito riducono nel contesto dello spaziotempo a diffeomorfismi della varietà(solo dicendo che i risultati sono invarianti di coordinate) o moti toisometrici o omotetici. Tuttavia, ci sono casi (per esempio, fluidi perfetti senza shearfree sfericamente simmetrici) in cui le simmetrie di Liepoint sono state utili per trovare soluzioni precise. Simmetrie generalizzate, prolungamento e linearizzazione possonoanche essere di aiuto.,

In particolare, le soluzioni con due vettori di uccisione di pendolarismo (che agiscono su superfici bidimensionali simili a spazi o a tempo) e contenenti materia con un adeguato momento di energia, sono suscettibili di metodi della teoria dei sistemi integrabili, come mappe armoniche (potenziali spaziesimmetrie), trasformazioni di Bäcklund, scattering inverso, problemi di andRiemann-Hilbert. Ad esempio, tutti gli spazi di vuoto assisimmetrico stazionari possono essere ottenuti utilizzando tali tecniche di generazione a partire dallo spazio piatto. Tra i risultati ci sono soluzioni solitoniche.,

Alcune soluzioni importanti

Molte soluzioni sono note, come mostrerà la lettura dei riferimenti citati nel Riassunto, e molte di queste non sono state completamente interpretate fisicamente. Conoscendo la metrica in forma chiusa, la chiarificazionedelle sue proprietà fisiche può essere ancora difficile (vedi Griffiths e Podolsk acute\acute{\rm y}$(2009)):ad esempio, le equazioni geodetiche, le cui soluzioni danno il possibiletrack di particelle di prova e raggi di luce, possono essere intrattabili anche per la semplice misurazione. Tra le soluzioni più importanti ci sono quelle ora brevementedescritto., (Si noti che sebbene le soluzioni selezionate siano tutte algebricallyspecial e diverse sono sfericallysymmetric, questo è ben lungi dall’essere il caso di tutte le soluzioni.) Le carte originali in cui le soluzioni selezionate sono state derivate per la prima volta sono tutte facilmente disponibili, avendo, ad eccezione della prima carta a onde piane, stato incluso nella serie “Golden Oldies”.

Le soluzioni Schwarzschild e Kerr

La metrica Schwarzschild è la soluzione esterna unica per un corpo sfericamente simmetrico in uno spazio vuoto circostante., Ciò suggerisce che la Relatività Generale condivide con la gravità newtoniana la proprietà che il campo esterno di qualsiasi corpo sferico dipende solo dalla sua massa totale e non dalla distribuzione radiale della materia. Tuttavia, l’interpretazione della soluzione come la stessa di quella di una massa puntiforme al centro è insoddisfacente perché la forma sopra è adatta solo in \(r> 2m\). Nei primi anni dopo la scoperta della soluzione, i ricercatori non erano chiari se \(r=2m\), dove la metrica di Eq. (5) ha chiaramente un coefficiente singolare, rappresentato una vera singolarità., Ora è ben chiaro che si tratta di un” orizzonte degli eventi”, il confine di un buco nero, e che la continuazione analitica completa della soluzione è singolare a \(r=0\). Per informazioni storiche vedi Eisenstaedt (1982) e per una discussione generale sulle proprietà globali degli spazi, incluse quelle discusse qui, vedi Hawking and Ellis (1973). La soluzione di Schwarzschild ha fornito uno schema per le indagini successive delle singolarità e dei buchi neri.

L’unicità di questa soluzione mostra che la Relatività Generale non ammette onde gravitazionali monopolari., È anche l’approssimazione di ordine più basso al campo dei corpi astronomici reali come la Terra e il Sole. Il calcolo della geodetica in questo campo ha permesso previsioni accurate della flessione della luce da parte del Sole e dell’avanzamento del perielio di Mercurio, due dei “test classici” della teoria della relatività generale.

La soluzione di Schwarzschild è un caso speciale della soluzione di Kerr (trovata nel 1963) che rappresenta il campo esterno di un buco nero rotante. Questo può essere scritto come un’istanza di Eq. (4) con \(e = g = l=\ Lambda=0\) ed è usuale scrivere\(a^2: = \gamma\)., Il rapporto tra spin e massa(in unità geometrizzate) è quindi \(a/m\). Le soluzioni Schwarzschild e Kerr forniscono lo sfondo per gli studi della fisica nel campo dei buchi neri, che vengono utilizzati nella modellazione di sorgenti binarie a raggi X e nuclei galattici attivi in astronomia. Le osservazioni di radiazione dalla materia vicino ai buchi neri ci permettono di dedurre che ci sono buchi neri astronomici con \(a / m > 0.95\): vedi Buchi neri.

I buchi neri di Schwarzschild e Kerr possono essere facilmente generalizzati per includere cariche elettromagnetiche diverse da zero e (usando Eq., (4) ad esempio) non zero \(l\) e \(\Lambda\). Ci sono teoremi di unicità che mostrano (con alcuni avvertimenti tecnici) che queste famiglie sono gli unici buchi neri stazionari con topologia sferica di un orizzonte degli eventi non singolare.

Le soluzioni di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)

Queste soluzioni forniscono la geometria del “modello standard” nella cosmologia moderna, e quindi forniscono lo sfondo per un numero enorme di documenti che studiano la fisica cosmologica, comprese le perturbazioni delle soluzioni., La loro geometria è stata chiarita da Robertson e Walker, indipendentemente, nel 1930, e le soluzioni specifiche più frequentemente utilizzati sono stati trovati da Friedmann e da Lemaître nel 1920: da qui il nome lungo.

Soluzioni Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)

Queste soluzioni sfericamente simmetriche sono le soluzioni per l’Eq. (2) contenente “polvere” (un fluido perfetto con \(p=0\)) con \(\Lambda=0\). Generalizzano le soluzioni FLRW per la polvere a soluzioni disomogenee., Poiché si ritiene che la polvere sia una rappresentazione appropriata del contenuto di materia dell’universo su larga scala al momento attuale, le soluzioni LTB sono state molto utilizzate per fornire modelli esatti di strutture nell’universo (vedi Bolejko et al (2010)). Contengono come casi speciali sia le soluzioni Schwarzschild che dust FLRW.

Onde piane

Questi spazi forniscono un importante esempio di struttura globale inaspettata., Se si unisce un’onda piana a spazi piatti su entrambi i lati di un intervallo di \ (u\), formando una “onda sandwich”, allora il cono di luce da un punto su un lato si rifocalizza sull’altro lato, come trovato da Penrose (1965). La struttura dell’onda sandwich risolse il problema se le onde gravitazionali trovate per la prima volta, usando approssimazioni, da Einstein potessero essere semplicemente effetti di coordinate: Bondi, Pirani e Robinson (1959) mostrarono che le particelle di prova libere sono relativamente accelerate dal passaggio attraverso la regione dell’onda, implicando che l’onda deve trasportare energia.,

Le onde piane sono la prima approssimazione per la radiazione gravitazionale lontana da una sorgente in uno spazio altrimenti vuoto. Sono un caso speciale delle onde pp più generali, soluzioni con un vettore di uccisione nullo covariante costante che reresenta le onde gravitazionali fronteggiate dal piano con raggi paralleli e trovate nel 1925 da Brinkman. Questa intera classe è di tipo Petrov N (tutti e quattro i PND coincidenti) o conformalmente piatta.

La famiglia Taub-NUT

Taub-NUT spacetime ha proprietà globali molto inaspettate., La NUTregion contiene linee timelike chiuse e nessuna superficie di Cauchy sensibile,ci sono due estensioni analitiche massimali ineguali della regione di Taub (o una varietà non-Hausdorff con entrambe le estensioni), il tempo di spazio è nonsingulare nel senso di una singolarità di curvatura e ci sono geodetiche di lunghezza dei parametri affini finiti. Queste proprietà hanno dato origine al titolo del documento di Misner del 1963 (alcune di queste proprietà sono condivise dalle altre metriche di Taub-NUT)., La soluzione ha avuto una grande influenza sugli studi di soluzioni precise e modelli cosmologici che sono spazialmente omogenei, e più in generale su quelli che sono ipersuperficiali-omogenei e auto-simili, sulla cosmologia in generale, e sulla nostra comprensione dell’analisi globale e delle singolarità nello spazio-tempo.

Belinski, V A e Verdaguer, E (2001). Solitoni gravitazionali. Cambridge University Press, Cambridge.

Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arco. Hist. Sci esatto. 27: 157-198.

Ellis, G F R e Madsen, M (1991)., Cosmologie di campo scalare esatte. Classe. Quant. Grav. 8: 667-676.

Griffiths, J B (1991). Collisione di onde piane nella relatività generale. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford.

Hawking, S W e Ellis, G F R (1973). La struttura su larga scala dello spazio-tempo. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi acute\acute{\rm n} ski ski, A (1997). Modelli cosmologici disomogenei. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, Pj (1986). Applicazioni dei gruppi di Lie alle equazioni differenziali. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., Una proprietà notevole delle onde piane nella relatività generale. Rev. Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, DW; Waylen, P C e Gilman, R C (1969). Formulazione integrale covariante delle equazioni di campo di Einstein. Esame fisico A 187: 1762.

Stephani, H (1989). Equazioni differenziali-Le loro soluzioni utilizzando simmetrie. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Relatività: la teoria generale. Olanda Settentrionale, Dordrecht.

Vedi anche

Buco nero, anello nero, Costante cosmologica,Relatività generale, formalismo del coefficiente di spin