La differenziazione ci consente di trovare tassi di variazione. Ad esempio, ci permette di trovare il tasso di variazione della velocità rispetto al tempo (che è l’accelerazione). Ci permette anche di trovare il tasso di variazione di x rispetto a y, che su un grafico di y contro x è il gradiente della curva. Ci sono una serie di semplici regole che possono essere utilizzate per permetterci di differenziare facilmente molte funzioni.,
Se y = qualche funzione di x (in altre parole se y è uguale a un’espressione contenente numeri e x), allora la derivata di y (rispetto a x) è scritta dy / dx, pronunciata “dee y da dee x” .
Differenziare x alla potenza di qualcosa
1) Se y = xn, dy/dx = nxn-1
2) Se y = kxn, dy/dx = nkxn-1(dove k è una costante, in altre parole un numero)
Quindi per differenziare x alla potenza di qualcosa che portare la potenza verso il basso nella parte anteriore della x, e quindi di ridurre la potenza di uno.,
Esempi
Se y = x4, dy/dx = 4×3
Se y = 2×4, dy/dx = 8×3
Se y = x5 + 2x-3, dy/dx = 5×4 – 6x-4
Esempio
Trovare la derivata di:
Quindi, differenziare termine a termine: ½ x½ + (5/6)x-½ + ½x-3/2.
Notazione
Esistono diversi modi per scrivere la derivata. Sono tutti essenzialmente la stessa:
(1) Se y = x2, dy/dx = 2x
Questo significa che, se y = x2, la derivata di y rispetto a x è 2x.
(2) d (x2) = 2x
dx
Questo dice che la derivata di x2 rispetto a x è 2x.,
(3) Se f(x) = x2, f'(x) = 2x
Questo dice che è f(x) = x2, la derivata di f(x) è 2x.
Trovare il gradiente di una curva
Una formula per il gradiente di una curva può essere trovata differenziando l’equazione della curva.
Esempio
Qual è il gradiente della curva y = 2×3 nel punto (3,54)?
dy/dx = 6×2
Quando x = 3, dy / dx = 6× 9 = 54