Venn diagramma di A ← B {\displaystyle A\leftarrow B}
(l’area bianca mostra dove l’istruzione è falsa)
Sia una dichiarazione della forma P implica Q (P → Q). Quindi il contrario di S è l’istruzione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo contrario, a meno che l’antecedente P e la conseguente Q non siano logicamente equivalenti.
Ad esempio, considera la vera affermazione “Se sono un essere umano, allora sono mortale.,”Il contrario di questa affermazione è” Se sono mortale, allora sono un umano”, che non è necessariamente vero.
D’altra parte, il contrario di un’affermazione con termini reciprocamente inclusivi rimane vero, data la verità della proposizione originale. Questo equivale a dire che il contrario di una definizione è vero. Quindi, l’affermazione “Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati” è logicamente equivalente a “Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo”, perché la definizione di “triangolo” è “poligono a tre lati”.,
Una tabella di verità chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:
Passare da un’affermazione al suo opposto è l’errore di affermare il conseguente. Tuttavia, se l’affermazione S e il suo opposto sono equivalenti (cioè, P è vero se e solo se Q è anche vero), allora affermare il conseguente sarà valido.
L’implicazione converse è logicamente equivalente alla disgiunzione di P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle \neg Q}
In linguaggio naturale, questo potrebbe essere reso “non Q senza P”.,
Converse of a theoremOdit
In matematica, il converse di un teorema della forma P → Q sarà Q → P. Il converse può o non può essere vero, e anche se vero, la dimostrazione può essere difficile. Ad esempio, il teorema dei quattro vertici è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.
In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell’antecedente possono essere presi come contesto di definizione. Cioè, il contrario di” Dato P, se Q allora R “sarà”Dato P, se R allora Q”., Ad esempio, il teorema di Pitagora può essere affermato come:
Il contrario, che appare anche negli elementi di Euclide (Libro I, Proposizione 48), può essere affermato come: