Risultati di apprendimento
- Identificare i fuochi, vertici, assi, e il centro di un’ellisse.
- Scrivi equazioni di ellissi centrate all’origine.
- Scrivi equazioni di ellissi non centrate all’origine.
Una sezione conica, o conica, è una forma risultante dall’intersezione di un cono circolare destro con un piano. L’angolo con cui il piano interseca il cono determina la forma.,
Le sezioni coniche possono anche essere descritte da un insieme di punti nel piano delle coordinate. Più avanti in questo capitolo vedremo che il grafico di qualsiasi equazione quadratica in due variabili è una sezione conica. I segni delle equazioni e i coefficienti dei termini variabili determinano la forma. Questa sezione si concentra sulle quattro variazioni della forma standard dell’equazione per l’ellisse. Un’ellisse è l’insieme di tutti i punti \left(x,y\right) in un piano tale che la somma delle loro distanze da due punti fissi sia una costante., Ogni punto fisso è chiamato fuoco (plurale: fuochi) dell’ellisse.
Possiamo disegnare un’ellisse usando un pezzo di cartone, due puntine da disegno, una matita e una corda. Posizionare le puntine da disegno nel cartone per formare i fuochi dell’ellisse. Taglia un pezzo di stringa più lungo della distanza tra le due puntine da disegno (la lunghezza della stringa rappresenta la costante nella definizione). Tack ogni estremità della corda al cartone, e tracciare una curva con una matita tenuta tesa contro la corda. Il risultato è un’ellisse.
Ogni ellisse ha due assi di simmetria., L’asse più lungo è chiamato l’asse maggiore e l’asse più corto è chiamato l’asse minore. Ogni punto finale dell’asse maggiore è il vertice dell’ellisse (plurale: vertici), e ogni punto finale dell’asse minore è un co-vertice dell’ellisse. Il centro di un’ellisse è il punto medio di entrambi gli assi maggiore e minore. Gli assi sono perpendicolari al centro. I fuochi si trovano sempre sull’asse maggiore e la somma delle distanze dai fuochi a qualsiasi punto dell’ellisse (la somma costante) è maggiore della distanza tra i fuochi.,
In questa sezione limitiamo le ellissi a quelle posizionate verticalmente o orizzontalmente nel piano delle coordinate. Cioè, gli assi giacciono o saranno paralleli agli assi x e Y. Più avanti nel capitolo, vedremo ellissi che vengono ruotate nel piano delle coordinate.
Per lavorare con ellissi orizzontali e verticali nel piano delle coordinate, consideriamo due casi: quelli centrati all’origine e quelli centrati in un punto diverso dall’origine., Per prima cosa impareremo a derivare le equazioni delle ellissi, e poi impareremo come scrivere le equazioni delle ellissi in forma standard. Più tardi useremo ciò che impariamo per disegnare i grafici.,v>Se (x,y) è un punto dell’ellisse, quindi siamo in grado di definire le variabili seguenti:
\begin{align}d_1&=\text{la distanza da } (-c,0) \text{ a } (x,y) \\ d_2&= \text{la distanza da } (c,0) \text{ a } (x,y) \end{align}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1
per un’ellisse centrata nell’origine con il suo asse maggiore sull’asse X e
\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1
per un’ellisse centrata nell’origine con il suo asse maggiore sull’asse Y.,
Scrittura delle Equazioni di Ellissi Non Centrata sull’Origine
(a) Orizzontale, ellisse con centro \left(h,k\right) (b) Verticale ellisse con centro \left(h,k\right)
la Risoluzione di Problemi che Coinvolgono Ellissi
Molte situazioni del mondo reale possono essere rappresentati da puntini di sospensione, tra cui le orbite dei pianeti, i satelliti, le lune e comete, e le forme di barca derive, timoni, e alcune le ali degli aerei. Un dispositivo medico chiamato litotripter utilizza riflettori ellittici per rompere i calcoli renali generando onde sonore., Alcuni edifici, chiamati camere sussurranti, sono progettati con cupole ellittiche in modo che una persona che sussurra a una messa a fuoco possa essere facilmente ascoltata da qualcuno in piedi all’altra messa a fuoco. Ciò si verifica a causa delle proprietà acustiche di un’ellisse. Quando un’onda sonora ha origine da una messa a fuoco di una camera di sussurro, l’onda sonora si rifletterà dalla cupola ellittica e tornerà all’altra messa a fuoco. Nella camera whisper presso il Museo della Scienza e dell’Industria di Chicago, due persone in piedi ai fuochi—circa 43 piedi di distanza—possono sentire l’un l’altro sussurro.
