Discussione
accelerazione costante
Il calcolo è un argomento matematico avanzato, ma rende molto più semplice la derivazione di due delle tre equazioni del moto. Per definizione, l’accelerazione è la prima derivata della velocità rispetto al tempo. Prendi l’operazione in quella definizione e invertila. Invece di differenziare la velocità per trovare l’accelerazione, integrare l’accelerazione per trovare la velocità. Questo ci dà l’equazione velocità-tempo., Se assumiamo che l’accelerazione sia costante, otteniamo la cosiddetta prima equazione del moto .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Invertire questa operazione. Invece di differenziare la posizione per trovare la velocità, integrare la velocità per trovare la posizione. Questo ci dà l’equazione posizione-tempo per l’accelerazione costante, nota anche come seconda equazione del moto .,td>
⌡
A differenza del primo e del secondo equazioni del moto, non c’è modo ovvio per ricavare la terza equazione del moto (quello che riguarda la velocità di posizione) utilizzando il calcolo., Non possiamo semplicemente decodificarlo da una definizione. Abbiamo bisogno di giocare un trucco piuttosto sofisticato.
La prima equazione del moto mette in relazione la velocità con il tempo. Abbiamo essenzialmente derivata da questo derivati…
| dv | = a |
| dt |
La seconda equazione del moto si riferisce posizione a tempo., E ‘ venuto da questo derivati…
| ds | = v |
| dt |
La terza equazione del moto si riferisce velocità di posizione. Per estensione logica, dovrebbe provenire da una derivata simile a questa dv
| dv | = ? |
| ds |
Ma a cosa corrisponde? Beh niente per definizione, ma come tutte le quantità è uguale a se stesso. Eguaglia anche se stesso moltiplicato per 1., Useremo una versione speciale di 1 (dtdt) e una versione speciale di algebra (algebra con infinitesimi). Guarda cosa succede quando lo facciamo. Otteniamo una derivata uguale all’accelerazione (dvdt) e un’altra derivata uguale all’inverso della velocità (dtds).,”2″> =
Next step, separation of variables., Ottenere le cose che sono simili insieme e integrarli.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Tuttavia, in realtà ha funzionato solo perché l’accelerazione era costante-costante nel tempo e costante nello spazio. Se l’accelerazione variasse in qualche modo, questo metodo sarebbe scomodamente difficile. Torneremmo ad usare l’algebra solo per salvare la nostra sanità mentale. Non che ci sia qualcosa di sbagliato in questo. L’algebra funziona e la sanità mentale vale la pena di essere salvata.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Applichiamolo a una situazione con un nome insolito-scatto costante. Nessuna bugia, è così che si chiama. Jerk è il tasso di variazione dell’accelerazione nel tempo.
| j = | da |
| dt |
Questo fa scuotere la derivata prima di accelerazione, la derivata seconda della velocità, e la derivata terza posizione.,
| j = | da | = | d2v | = | d3s |
| dt | dt2 | dt3 |
L’unità SI di jerk è il metro al secondo a cubetti.
| é ê ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ù ú ⎦ |
| s |
Un’altra unità è la g al secondo.,
| é ê ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ù ú ⎦ |
| s | s |
Coglione non è solo un saggio culo fisici risposta alla domanda “Ah, sì, è così che si chiama la derivata terza posizione?”Jerk è una quantità significativa.
Il corpo umano è dotato di sensori per rilevare l’accelerazione e jerk., Situato in profondità all’interno dell’orecchio, integrato nei nostri teschi, si trova una serie di camere chiamate labirinto. Parte di questo labirinto è dedicato al nostro senso dell’udito (la coclea) e parte al nostro senso dell’equilibrio (il sistema vestibolare). Il sistema vestibolare è dotato di sensori che rilevano l’accelerazione angolare (i canali semicircolari) e sensori che rilevano l’accelerazione lineare (gli otoliti). Abbiamo due otoliti in ciascun orecchio-uno per rilevare l’accelerazione nel piano orizzontale (l’utricolo) e uno per rilevare l’accelerazione nel punto verticale (il sacculo)., Gli otoliti sono i nostri accelerometri integrati.
La parola otolith deriva dal greco οτο (oto) per orecchio e λιθος (lithos) per pietra. Ciascuno dei nostri quattro otoliti è costituito da una piastra dura simile all’osso attaccata a un tappeto di fibre sensoriali. Quando la testa accelera, la piastra si sposta su un lato, piegando le fibre sensoriali. Questo invia un segnale al cervello dicendo ” stiamo accelerando.”Dal momento che la gravità rimorchiatori anche sulle piastre, il segnale può anche significare” in questo modo è giù.”Il cervello è abbastanza bravo a capire la differenza tra le due interpretazioni. Così buono, che tendiamo a ignorarlo., Vista, suono, odore, gusto, tatto — dov’è l’equilibrio in questa lista? Lo ignoriamo finché qualcosa non cambia in modo insolito, inaspettato o estremo.
Non sono mai stato in orbita o vissuto su un altro pianeta. La gravità mi trascina sempre nello stesso modo. In piedi, a piedi, seduti, sdraiati — è tutto abbastanza tranquillo. Ora saltiamo su un ottovolante o ci impegniamo in un’attività altrettanto emozionante come lo sci alpino, le corse di Formula Uno o il ciclismo nel traffico di Manhattan. L’accelerazione è diretta prima in un modo, poi in un altro. Si può anche sperimentare brevi periodi di assenza di peso o inversione., Questi tipi di sensazioni generano un’intensa attività mentale, motivo per cui ci piace farle. Ci affilano anche e ci tengono concentrati durante i momenti finali della vita, motivo per cui abbiamo evoluto questo senso in primo luogo. La tua capacità di percepire il jerk è vitale per la tua salute e il tuo benessere. Jerk è sia eccitante che necessario.
Lo scatto costante è facile da gestire matematicamente. Come esercizio di apprendimento, deriviamo le equazioni del movimento per lo scatto costante. Siete invitati a provare problemi jerk più complicati, se lo si desidera.
Jerk è la derivata dell’accelerazione., Annulla quel processo. Integrare jerk per ottenere l’accelerazione in funzione del tempo. Propongo di chiamare questo l’equazione zeroeth del moto per scatto costante. Il motivo per cui sarà evidente dopo aver terminato la prossima derivazione.,”c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integrare l’accelerazione per ottenere la velocità in funzione del tempo. Abbiamo già fatto questo processo. Abbiamo chiamato il risultato la relazione velocità-tempo o la prima equazione del moto quando l’accelerazione era costante. Dovremmo dargli un nome simile. Questa è la prima equazione del movimento per lo scatto costante.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integrare la velocità per ottenere lo spostamento in funzione del tempo. L’abbiamo gia ‘ fatto anche prima. La relazione spostamento-tempo risultante sarà la nostra seconda equazione del movimento per lo scatto costante.,v id=”2b78da115e”> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Quando jerk è zero, tutti ritornano alle equazioni del moto per l’accelerazione costante. Zero jerk significa accelerazione costante, quindi tutto va bene con il mondo che abbiamo creato. (Non ho mai detto che l’accelerazione costante fosse realistica. Lo scatto costante è ugualmente mitico. Nel mondo hypertextbook, tuttavia, tutte le cose sono possibili.)
Dove andiamo dopo? Dovremmo lavorare su una relazione velocità-spostamento (la terza equazione del moto per lo scatto costante)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Non puo ‘ essere nostro amico. Al momento, non posso essere disturbato. Non saprei se risolverlo mi direbbe qualcosa di interessante. So che non ho mai avuto bisogno di una terza o quarta equazione del movimento per lo scatto costante — non ancora. Lascio questo problema ai matematici del mondo.
Questo è il tipo di problema che distingue i fisici dai matematici. Un matematico non si preoccuperebbe necessariamente del significato fisico e potrebbe semplicemente ringraziare il fisico per una sfida interessante., Un fisico non si preoccuperebbe necessariamente della risposta a meno che non risultasse utile, nel qual caso il fisico ringrazierebbe sicuramente il matematico per essere così curioso.
constant nothing
Questa pagina di questo libro non riguarda il movimento con accelerazione costante, o scatto costante, o scatto costante, crepitio o pop. Si tratta del metodo generale per determinare le quantità di movimento (posizione, velocità e accelerazione) rispetto al tempo e l’un l’altro per qualsiasi tipo di movimento., La procedura per farlo è differenziazione (trovare la derivata)
- La derivata della posizione con il tempo è velocità (v = dsdt).
- La derivata della velocità con il tempo è l’accelerazione (a = dvdt).
o integrazione (trovare l’integrale)
- L’integrale dell’accelerazione nel tempo è il cambiamento di velocità (v v = ∫a dt).
- L’integrale della velocità nel tempo è il cambiamento di posizione (s s = ∫v dt).
Ecco come funziona. Alcune caratteristiche del movimento di un oggetto sono descritte da una funzione., Riesci a trovare la derivata di quella funzione? Questo ti dà un’altra caratteristica del movimento. Riesci a trovare il suo integrale? Questo ti dà una caratteristica diversa. Ripetere l’operazione tutte le volte che è necessario. Quindi applica le tecniche e i concetti che hai imparato nel calcolo e nei rami correlati della matematica per estrarre più significato: intervallo, dominio, limite, asintoto, minimo, massimo, estremo, concavità, inflessione, analitico, numerico, esatto, approssimativo e così via. Ho aggiunto alcune note importanti su questo al riepilogo per questo argomento.,
