Calcolo differenziale viene utilizzato per trovare il tasso di variazione di una variabile—rispetto ad un’altra variabile.
Nel mondo reale, può essere usato per trovare la velocità di un oggetto in movimento o per capire come funzionano l’elettricità e il magnetismo. È molto importante per comprendere la fisica-e molte altre aree della scienza.
Calcolo differenziale è utile anche per la grafica., Può essere usato per trovare la pendenza di una curva e i punti più alti e più bassi di una curva (questi sono chiamati rispettivamente massimo e minimo).
Le variabili possono cambiare il loro valore. Questo è diverso dai numeri perché i numeri sono sempre gli stessi. Ad esempio, il numero 1 è sempre uguale a 1 e il numero 200 è sempre uguale a 200. Spesso si scrivono variabili come lettere come la lettera x: “x” può essere uguale a 1 in un punto e 200 in un altro.
Alcuni esempi di variabili sono distanza e tempo, perché possono cambiare., La velocità di un oggetto è quanto lontano viaggia in un determinato momento. Quindi, se una città è a 80 chilometri (50 miglia) di distanza e una persona in auto arriva in un’ora, hanno viaggiato a una velocità media di 80 chilometri (50 miglia) all’ora. Ma questa è solo una media: forse hanno viaggiato più velocemente in alcuni momenti (ad esempio su un’autostrada), e più lentamente in altri momenti (ad esempio a un semaforo o in una piccola strada dove vivono le persone). Certamente è più difficile per un guidatore capire la velocità di un’auto usando solo il suo contachilometri (distance meter) e l’orologio—senza un tachimetro.,
Fino a quando il calcolo non è stato inventato, l’unico modo per risolverlo era tagliare il tempo in pezzi sempre più piccoli, quindi la velocità media nel tempo più piccolo si avvicinava sempre più alla velocità effettiva in un momento nel tempo. Questo è stato un processo molto lungo e difficile, e doveva essere fatto ogni volta che la gente voleva lavorare qualcosa.
Su una curva, due punti diversi hanno pendenze diverse. Le linee rosse e blu sono tangenti alla curva.,
Un problema molto simile è trovare la pendenza (quanto è ripida) in qualsiasi punto di una curva. La pendenza di una linea retta è facile da calcolare: è semplicemente quanto sale o scende (y o verticale) diviso per quanto attraversa (x o orizzontale). Su una curva, tuttavia, la pendenza è una variabile (ha valori diversi in punti diversi) perché la linea si piega. Ma se la curva dovesse essere tagliata in pezzi molto, molto piccoli, la curva nel punto apparirebbe quasi come una linea retta molto breve., Quindi, per calcolare la sua pendenza, una linea retta può essere disegnata attraverso il punto con la stessa pendenza della curva in quel punto. Se questo è fatto esattamente a destra, la linea retta avrà la stessa pendenza della curva, ed è chiamata tangente. Ma non c’è modo di sapere (senza matematica complessa) se la tangente è esattamente giusta, e i nostri occhi non sono abbastanza precisi da essere certi se è esatta o semplicemente molto vicina.
Ciò che Newton e Leibniz hanno trovato era un modo per calcolare esattamente la pendenza (o la velocità nell’esempio della distanza), usando regole semplici e logiche., Hanno diviso la curva in un numero infinito di pezzi molto piccoli. Hanno quindi scelto i punti su entrambi i lati dell’intervallo a cui erano interessati e hanno elaborato le tangenti a ciascuno. Mentre i punti si avvicinavano verso il punto a cui erano interessati, la pendenza si avvicinava a un valore particolare mentre le tangenti si avvicinavano alla pendenza reale della curva. Il valore particolare a cui si avvicinava era la pendenza effettiva.
Un’immagine che mostra cosa significano x e x + h sulla curva.,
I matematici hanno sviluppato questa teoria di base per creare semplici regole di algebra, che possono essere utilizzate per trovare la derivata di quasi tutte le funzioni.