a Kurátor: Malcolm A. H. MacCallum
Pontos Megoldások Einstein Egyenletek
Einstein Általános Relativitás a vezető elmélete a tér-idő a gravitáció: erősen nemlineáris. Einstein egyenleteinek pontos megoldásai így modellezik a gravitációs rendszereket, és lehetővé teszik az elmélet matematikájának és fizikájának feltárását.,
Tartalom
- 1 Összefoglaló
- 2 Einstein egyenletek
- 3, Hogy az egyenletek engedékeny
- 3.1 Szimmetria csoportok
- 3.2 “Algebrai különleges” megoldások
- 3.3 Egyéb egyszerűsítő feltételezések
- 4 egyenletek Megoldására
- 5 Néhány fontos megoldásokat
- 5.1 A Schwarzschild-s Kerr megoldások
- 5.2 A Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) megoldások
- 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) megoldások
- 5.4 Gép hullámok
- 5.,5 A Taub-NUT családi
- 6 Hivatkozások
- 7 Lásd még a
Összefoglalás
Einstein mező egyenletek általános relativitás 10 nonlinearpartial differenciálegyenletek 4 független változók. Ezt a bonyolult rendszert általában nem lehet integrálni, bár önálló összekapcsolt integrálegyenletként újraformázták (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Analitikus és numerikus közelítések használhatóka fizikai helyzetek feltárására. Pontos megoldások, bár aa feltételezések egyszerűsítése, kiegészítik az ilyen megközelítéseketszámos módon., Ezek megtestesítik a teljes nemlinearitást, lehetővé téve az erős terepi rendszerek tanulmányozását; olyan hátteret biztosítanak, amelyen a perturbatív közelítések építhetők; és lehetővé teszik a numerikus pontosságellenőrzését.
a “pontos megoldás” kifejezés nem jól definiált: általában olyan megoldást jelent, ahol az összes mennyiséget elemi függvények vagy a jól ismert speciális függvények fejezik ki, de néha olyan megoldásokra is kiterjed, amelyek csak egy vagy több differenciális egyenlet megoldásáig ismertek., Az ismert pontos megoldásokat különböző feltételezésekből nyerik, ezek közül a legfontosabb a szimmetria csoportok vagy a curvaturetensor speciális formái. Az ismert megoldások közül néhány különösen fontosjelentőség fizikailag vagy matematikailag.
számos könyv készít felméréseket a pontos megoldásokról, és ha teljesebb részletekre van szükség, akkor ezeket is meg kell vizsgálni. A vákuum, az elektromágnesesség és a perfektfluidok által adott egyszerű energia-momentát tartalmazó megoldások általános felméréséhez lásd Stephani et al., (2003), az inhomogén kozmológiaiazok a megoldások (amelyeket az alábbiakban tárgyalt FLRW modellek egyikének speciális eseteként határozunk meg) lásd Krasi$ \ akut {\rm n}$ski (1997), valamint néhány részletes felméréséhezkülönleges osztályok lásd Griffiths (1991), Belinskii and Verdaguer(2001).
számos fontos megoldás fizikai értelmezéséhez seeBi$\check {\rm C}\akut {\rm a}$K (2000) és Griffiths and Podolsk$\akut {\rm y}$ (2009). Meg kell jegyezni, hogy a pontos megoldás nem feltétlenül rendelkezikegyedi értelmezés., Például a később bemutatott példák közül a Schwarzschild-megoldást úgy lehet értelmezni, hogy egy gömbhalmaz külső régióját vagy a két particularplane-hullám ütközését követő interakciós régiót képviseli. A kapcsolódó pont az, hogy a különböző források ugyanazt a pontos megoldást eredményezhetik.
Einstein egyenletei
Einstein általános relativitáselmélete általánosítja Newton gravitációelméletét egy, a speciális relativitással kompatibilis szintre., A tér ésaz időpontokat (pszeudo-)Riemanniai négydimenziós elosztóként modellezi az ametric \(g_{ab}\) aláírással \(\pm 2\) (a jelválasztáshagyományos). Feltételezések szerint a vizsgált részecskék a sokrétű és az árapály gravitációs erőinek geodéziáján mozognak-írja az itscurvature.
az egyenleteket koordináta-alapon vezették be, degyakran a tetrád feltételezésével kapott formában íródnak (a tangens vektortér alapja, amelynek alapja Vektorok rendelkeznekállandó skaláris termékek), vagy a spin-együttható formalizmusa szempontjából.,
ugyanazokat az egyenleteket (értelemszerűen) használták és oldották meg magasabb dimenziókban (lásd fekete gyűrű), néhány azonos technikával, de eddig nagyon kevés a lehetséges megoldások teljes tájképe 5 vagy több dimenzióban.
az egyenletek nyomon követhetővé tétele
A szerzők néha metrikus formát vesznek fel, és Eq-t használnak. (1) az energia-lendület kiszámítása (Ez az elavult \(g\)-a bySynge (1971) által leírt módszer). Mivel valójában egyetlen egyenlet sem oldódik meg, az eredmény nem érdemli meg, hogy megoldásnak nevezzük., A pontos megoldásokat azonban az egyszerűsítés kevésbé szélsőséges formáival lehet elérni, amelyek az energia-lendület adott formájára automatikusan biztosíthatják, hogy a módosítások egy része igaz legyen, míg másokat meg kell oldani.
Szimmetriacsoportok
Az ilyen feltételezésekből származó oldatokat a Stephani et al. (2003): Lásd még Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) és Bolejko et al (2010).,
“algebrai special” solutions
a nem nulla Weyl tensor az a tulajdonság, hogy négy “principal null directions” (PNDs),által meghatározott null Vektorok engedelmeskedik\bc}k^bk^c=0.\]A Weyl tensor algebrai szerkezetét ezután jellemzihogy a PND-k közül kettő vagy több egybeesik-e. Ha legalább kettő megteszi, akkor megfelelő energia-lendület biztosítása feltételezhető, akkor a metrikus tenzor lehetegyszerűsíteni., Ilyen spacetimes ismert `algebrai különleges’, andcan sorolni a Petrov típusok a számok coincidentPNDs: a részleteket a lehetséges eseteket tekintve a cikk a spin-együttható formalizmus. Általában az energia-momentára vonatkozóanaz ilyen űridőkben a Kundt-Thompson-tétel ismétlődő PND vektormezeje, amely (lásd Stephani etal (2003), 7.5 tétel) általánosítja a Goldberg-Sachs-tételt. Amikor csak két PND egybeesik,a téridőa Petrov II. típusú., A spin-koefficiens formalizmusról szóló cikkben a Robinson-Trautman megoldások példája (Petrov II típusú metrikák, amelyekben az ismétlődő PND-k területe csavarmentes) részletesen levezetésre kerül.
az ismert algebrai speciális megoldásokat a Stephani et al. (2003). Természetesen átfedés van a megoldásokkalszimmetria csoportok feltételezésével. Például minden szférikusana szimmetrikus oldatok Petrov típusú D vagy különleges esetben megfelelőenflat.,
Egyéb egyszerűsítő feltételezések
Valami más szakirányok érdek merül fel, az alábbi feltételezések
- léteznek állandó vektor vagy tenzor mezők
- a görbület visszatérő, komplex visszatérő vagy szimmetrikus (ezek azok a feltételek, pl.,, \(R_{abcd;e}\))
- van egy gyilkos, vagy Megölni-Yano tenzor
- a téridő elismeri, konformális mozgások vagy collineations (vektor mezőt generál egy átalakulás, amely alapján a metrikus feltérképezett egy több önmagában, vagy a görbület, hogy maga a)
- a téridő tartalmaz felületek speciális tulajdonságai (például, lapos három-dimenziós szelet)
- a téridő különleges beágyazás tulajdonságok
Egy különösen gyakori eset az, amikor van egy konformális mozgás forwhich a több állandó: az ilyen átalakulások calledhomotheties., A generáló vektor mezők engedelmeskednek\ahol\ (C\) állandó. Számos ismert megoldás elismeri a homoteizmust, bár ezek közül sokat a homotétizmus jelenléte nélkül fedeztek fel.
az egyenletek megoldása
miután egyszerűsítettük a metrikát, és bevezettünk egy megfelelőenergiapályázat-tenzort, a fennmaradó nem triviális egyenletek a differenciálegyenletek rendszerét alkotják (vagy a spacetimehomogenitás, algebrai egyenletek esetében). Nincs általános algoritmusminden esetben, de más területeken alkalmazott módszerek hasznosnak bizonyultak.,
Hazugság pont szimmetria a rendszer egyenletek, bár hasznos inmany helyzetek (lásd pl. Stephani (1989), vagy Olver (1986)), usuallyreduce a téridő összefüggésben, hogy diffeomorphisms a szívócső(csak azt mondom, hogy az eredmények koordináta-invariáns) vagy toisometric vagy homothetic mozgások. Vannak azonban olyan esetek (forexample, spherically symmetric shearfree perfect folyadékok), ahol a Liepoint szimmetria hasznos volt a pontos megoldások megtalálásában. Az általánosított szimmetria, a megnyúlás és a linearizáció is segíthet.,
különösen a két ingázó Killing vektorral rendelkező (kétdimenziós vagy timelike felületekre ható), megfelelő energia-lendülettel rendelkező megoldások alkalmasak az integrálható rendszerek elméletének módszereire, mint például a harmonikus térképek (potenciális űrsimmetriák), Bäcklund transzformációk, inverz szórás, andRiemann-Hilbert problémák. Például minden álló axisymmetricvacuum spacetimes lehet beszerezni az ilyen generáló technikákkezdődik lapos térben. Az eredmények között szerepelnek a szolitonikus megoldások.,
néhány fontos megoldás
nagyon sok megoldás ismert, mivel az összefoglalóban szereplő hivatkozások perusal-ja megmutatja, és ezek közül sok nem teljesen értelmezhető fizikailag. Ismerve a metrikus zárt formában, elucidationof a fizikai tulajdonságai még így is nehéz (lásd Griffiths, valamint Podolsk$\akut{\rm y}$ (2009)):például a geodéziai egyenletek, akinek a megoldásokat adni a possibletracks teszt részecskék, fény, sugarak, lehet megoldhatatlan még simplemetrics. A legfontosabb megoldások közé tartoznak a rövidekleírt., (Megjegyzendő, hogy bár a kiválasztott megoldások mind algebrai jellegűek, és több is sphericallysymmetric, ez messze nem minden megoldásra vonatkozik.) Az eredeti papírok, amelyekben a kiválasztott megoldásokat először származtatták, mind könnyen elérhetők, az első síkhullámos papír kivételével, az “arany öregek” sorozatba kerültek.
a Schwarzschild and Kerr solutions
a Schwarzschild metric az egyedülálló külső megoldás egy gömbszimmetrikus test számára a környező üres térben., Ez arra utal, hogy az általános relativitáselmélet megosztja a newtoni gravitációval azt a tulajdonságot, hogy bármely gömb alakú test külső területe csak a teljes tömegétől függ, nem pedig az anyag sugárirányú eloszlásától. A megoldás értelmezése azonban nem kielégítő, mivel a fenti forma csak \(r>2m\) pontban alkalmazható. A megoldás felfedezését követő első években a kutatók nem voltak egyértelműek, hogy \(r=2M\), ahol az EQ metrikája. (5) egyértelműen egyedülálló együtthatóval rendelkezik, amely valódi szingularitást képvisel., Ma már jól ismert ,hogy ez egy “eseményhorizont”, egy fekete lyuk határa, és hogy a megoldás teljes analitikus folytatása egyedülálló a \(r=0\). A történelmi információkat lásd Eisenstaedt (1982), valamint egy általános vita a globális tulajdonságait téridő, beleértve az itt tárgyalt, lásd Hawking and Ellis (1973). A Schwarzschild-megoldás mintát adott a szingularitások és a fekete lyukak későbbi vizsgálataihoz.
Ez a megoldás egyedisége azt mutatja, hogy az általános relativitáselmélet nem ismeri el a monopoláris gravitációs hullámokat., Ez egyben a legalacsonyabb rendű közelítés a valódi csillagászati testek, például a Föld és a nap területéhez. A geodéziai számítások ezen a területen lehetővé tették a nap fényhajlításának pontos előrejelzését, valamint a higany perihélionjának előrehaladását, az általános relativitáselmélet két “klasszikus tesztjét”.
a Schwarzschild-megoldás a Kerr-megoldás (1963-ban található) speciális esete, amely egy forgó fekete lyuk külső mezőjét képviseli. Ez lehet írni, mint egy példány Eq. (4) A \(e = G = L= \ Lambda = 0\) és a szokásos írni \(a^2:=\gamma\)., A spin tömeghez viszonyított aránya (geometriai egységekben) ezután \(a/m\). A Schwarzschild és Kerr megoldások a fekete lyukak területén a fizika tanulmányozásának hátterét adják, amelyeket a röntgen bináris források és az aktív galaktikus atommagok csillagászatban való modellezésére használnak. A fekete lyukak közelében lévő anyagból származó sugárzás megfigyelései lehetővé teszik számunkra, hogy arra következtetjünk, hogy csillagászati fekete lyukak vannak \(a / m > 0.95\): lásd a fekete lyukakat.
a Schwarzschild és a Kerr fekete lyukak könnyen általánosíthatók a nem nulla elektromágneses töltésekre és (Eq használatával., (4) például) nem nulla \(l\) és \(\Lambda\). Vannak olyan egyediségi tételek, amelyek (néhány technikai figyelmeztetéssel) azt mutatják, hogy ezek a családok az egyedülálló helyhez kötött fekete lyukak, amelyek gömbölyű topológiával rendelkeznek egy nem egyedi eseményhorizonton.
A Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) megoldások
ezek a megoldások adják a “standard modell” geometriáját a modern kozmológiában, így biztosítják a kozmológiai fizikát tanulmányozó hatalmas számú dokumentum hátterét, beleértve a megoldások perturbációit is., Geometriájukat Robertson és Walker az 1930-as években önállóan tisztázták, a leggyakrabban használt speciális megoldásokat Friedmann és Lemaître találta meg az 1920-as években: innen ered a hosszadalmas név.
Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) solutions
ezek a gömbszimmetrikus megoldások az Eq megoldásai. (2) tartalmazó “por” (tökéletes folyadék \(p=0\)) a \(\Lambda=0\). Általánosítják a por FLRW megoldásait az inhomogén oldatokhoz., Mivel úgy gondolják, hogy a por a világegyetem anyagtartalmának megfelelő ábrázolása jelenleg nagy léptékben, az LTB megoldásokat sokat használták az univerzum struktúráinak pontos modelljeinek biztosítására (lásd Bolejko et al (2010)). Különleges esetként Tartalmazzák mind a Schwarzschild, mind a dust FLRW megoldásokat.
Síkhullámok
ezek a téridők fontos példát mutatnak a váratlan globális struktúrára., Ha az egyik csatlakozik egy sík hullám lapos terek mindkét oldalán néhány tartomány \ (u\), amely egy “szendvics hullám”, majd a fény kúp egy pont az egyik oldalon refocuses a másik oldalon, amint azt Penrose (1965). A szendvics hullám szerkezet megoldódott a probléma, hogy a gravitációs hullámok először talált, használata közelítések, amelyet Einstein lehet csupán koordináta hatások: Bondi, Pirani meg Robinson (1959) azt mutatta, hogy ingyenes teszt részecskék viszonylag gyorsított folyosón keresztül a hullám régió, utalva arra, hogy a hullám végre kell az energia.,
A Síkhullámok az első közelítés a gravitációs sugárzáshoz, amely messze van egy forrástól egy egyébként üres térben. Ezek egy speciális esete az általános pp-hullámok, megoldásokat covariantly állandó null Megölni vektor reresenting gép-frontembere gravitációs hullámok párhuzamos sugarak talált 1925-ben, amelyet Brinkman. Ez az egész osztály Petrov típusú (mind a négy PND egybeesik) vagy konformálisan lapos.
A Taub-NUT család
Taub-NUT téridő nagyon váratlan globális tulajdonságokkal rendelkezik., A NUTregion zárt időszerű vonalakat tartalmaz, és nincs értelmes Cauchy felület,a theTaub régió két egyenlőtlen maximális analitikus kiterjesztése (vagy egy nem Hausdorff-elosztó mindkét kiterjesztéssel), thespacetime nem megfelelő a görbületi szingularitás szempontjából,és vannak véges affinparaméter hosszúságú geodéziák. Ezek a tulajdonságok adták a Misner 1963-as könyvének címét (ezeknek a tulajdonságoknak egy részét a másik Taub-NUT metrika osztja meg)., A megoldás nagy hatással volt a pontos és kozmológiai modellek tanulmányozására, amelyek térhomogének, ésáltalánosabban azokra, amelyek hipersurfekélyek-homogének ésönmaguk hasonlóak, általában a kozmológiánakáltalában, valamint a globális elemzés megértéséreaz űridőszakban aularitások.
Belinski, V A és Verdaguer, E (2001). Gravitációs szolitonok. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arch. Hist. Pontos Sci. 27: 157-198.
Ellis, G F R and Madsen, M (1991)., Pontos skaláris mező kozmológiák. Osztály. Quant. Grav. 8: 667-676.
Griffiths, J B (1991). Ütköző sík hullámok általános relativitás. Oxford matematikai monográfiák. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, S W and Ellis, G F R (1973). A téridő nagyszabású szerkezete. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi$ \ akut {\rm n}$ski, A (1997). Inhomogén kozmológiai modellek. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). A hazugságcsoportok alkalmazása a differenciálegyenletekre. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., A síkhullámok figyelemre méltó tulajdonsága az Általános relativitáselméletben. Rev. Mod. Phys. 37: 215.
Sciama, D W; Waylen, P C és Gilman, R C (1969). Általában kovariáns szerves megfogalmazása Einstein mező egyenletek. Fizikai Felülvizsgálat A 187: 1762.
Stephani, H (1989). Differenciálegyenletek-megoldásaik szimmetria segítségével. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relativitás: az általános elmélet. Észak-Holland, Dordrecht.
Lásd még:
fekete lyuk, fekete gyűrű, kozmológiai állandó,általános relativitáselmélet, Spin-koefficiens formalizmus