értékei a fél-egész képlettel analóg módon,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3) (3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4) (4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p) (p n − (p − 1 ) ) ! ( p) p n {\displaystyle {\begin{igazított}\Gamma \bal (n + {\tfrac {1}{3}}} \ jobb)&=\Gamma \ bal ({\tfrac {1}{3}}} \ jobb) {\frac {(3n-2)!!!} {3^{n}}} \ \ Gamma \ bal (n + {\tfrac {1}{4}}} \ jobb)&=\Gamma \ bal ({\tfrac {1}{4}}} \ jobb) {\frac {(4n-3)!!!!,} {4^{n}}} \ \ Gamma\left(n+{\tfrac {1}{p}}}\right)&=\Gamma\left ({\tfrac {1} {p}}}\right) {\FRAC {{\big (} pn-(p-1) {\big)}}!^{(p)}} {p^{n}}} \ end{igazított}}}}}
ahol n!(p) az n pth multifaktoriálisát jelöli. számszerűen,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{3}} \ right) \ kb. 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OE-K: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{4}} \ right) \ kb. 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ (1 5) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\körülbelül 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\körülbelül 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\körülbelül 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\körülbelül 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
nem ismert, hogy ezek az állandók általában transzcendensek-e, de Γ(1/3) és Γ(1/4) transzcendensnek bizonyult G. V. Chudnovsky. Γ(1/4) / 4√π már régóta ismert transzcendentális, Jurij Nesterenko pedig 1996-ban bebizonyította, hogy Γ(1/4), π és en algebrai szempontból függetlenek.,
A szám Γ(1/4) kapcsolódik Gauss állandó G a
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
ez már gondolta a Gramain, hogy
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
ahol δ a Masser–Gramain állandó OEIS: A086058, bár számszerű munka által Melquiond et al. azt jelzi, hogy ez a feltételezés hamis.,
Borwein és Zucker úgy találták, hogy Γ(n / 24) algebrai értelemben kifejezhető π, k(k(1)), K(k(2)), K(k(3)) és K(K(6) alakban, ahol K(K(N)) az első fajta teljes elliptikus integrálja. Ez lehetővé teszi a racionális érvek gamma-függvényének nagy pontosságú közelítését quadratikusan konvergens aritmetikai-geometriai átlag iterációkkal. Nincs hasonló kapcsolat Γ(1/5) vagy más nevező esetében.,
különösen akkor, ha AGM() a számtani–mértani közép, van
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{6}}} \ right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}} \ cdot 3^{\frac {1}{3}} \ cdot \ pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \ left (1 + {\sqrt {3}}}, {\sqrt {8}} \ right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Egyéb képletek közé a végtelen termékek
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 külön k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 külön k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
ahol a Glaisher–Kinkelin állandó G katalán állandó.,
A Γ(3/4) következő két ábrázolását I., k = – ∞ ∞ e π (k – 2 K 2) π 1 ( i π 2 ( 2 K − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\FRAC {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\bal({\frac {3}{4}}}\jobb)}}}=I\sum _{k=-\infty} ^{\infty} e^{\pi (k-2K^{2})}\vartheta _{1}\Bal({\frac {i\pi} {2}}} (2K-1),e^{-\pi} \jobb),}
és
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ 4 4 ( i k π , e − π ) E 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\Pi} {2}}}} {\frac {1} {\Gamma ^{2}\bal({\frac {3} {4}}}}\sum _{k=-\infty} ^{\infty} {\frac {\vartheta _{4} (ik\pi ,e^{- \pi})}}}}}}}}}}}} {e^{2\PI k^{2}}}},}
ahol ϑ1 és ϑ4 a Jacobi theta két funkciója.,