Par analogie avec la formule demi-entière,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{aligné}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligné}}}
où n!(p) désigne le taux de pth multifactorielle de n. Numériquement,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
On ne sait pas si ces constantes sont transcendantales en général, mais Γ(1/3) et Γ(1/4) ont été montrées transcendantales par G. V. Chudnovsky. Γ (1/4) / 4√π est également connu depuis longtemps pour être transcendant, et Yuri Nesterenko a prouvé en 1996 que Γ(1/4), π et en sont algébriquement indépendants.,
Le nombre Γ(1/4) est liée à de Gauss constante de G par
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
et il a été conjecturé par Gramain que
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ, δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma\mathrm {\delta } +1}}}}
où δ est le Masser–Gramain constante OEIS: A086058, bien que les résultats numériques par Melquiond et coll. indique que cette conjecture est fausse.,
Borwein et Zucker ont constaté que Γ(n/24) peut être exprimée algébriquement en termes de π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)), et K(k(6)) où K(k(N)) est une intégrale elliptique complète de première espèce. Cela permet d’approximer efficacement la fonction gamma d’arguments rationnels avec une grande précision en utilisant des itérations moyennes arithmétiques–géométriques quadratiquement convergentes. Aucune relation similaire n’est connue pour Γ(1/5) ou d’autres dénominateurs.,
En particulier, où AGM() est la moyenne arithmétique–géométrique, on a
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 π π 2 3 3 1 12 AG AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\il est possible de créer un fichier d’affichage à l’aide de l’icône de l’écran.{2}{3}}}{3^{\ frac {1} {12}} \ cdot \ operatorname {AGM} \ left(2, {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}} \ right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi) ^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \ left ({\sqrt {2}}, 1 \ right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGA ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGA} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
d’Autres formules comprennent les produits infinis
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
et
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) (k − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
où A est la Glaisher–Kinkelin constante et G est la constante de Catalan.,
Les deux représentations suivantes pour Γ(3/4) ont été données par I., k = – ∞ ∞ e π (k-2 k 2) ϑ 1 (i π 2 (2 k-1), e − π), {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
et
π 2 1 Γ 2 ( 3 4) Il y a une différence entre les deux types de caractères , c’est − à − dire les deux types de caractères, et c’est-à-dire les deux types de caractères.} {e ^{2\pi k^{2}}}},}
où erc1 et erc4 sont deux des fonctions thêta de Jacobi.,