Conservateur: Malcolm A. H. MacCallum
Solutions exactes des équations d’Einstein
La Relativité générale d’Einstein est la principale théorie de l’espace-temps et de la gravité: elle est hautement non linéaire. Les solutions exactes des équations d’Einstein modélisent ainsi les systèmes de gravitation et permettent l’exploration des mathématiques et de la physique de la théorie.,
Contenu
- 1 Résumé
- 2 Équations d’Einstein
- 3 Rendre les équations traçables
- 3.1 Groupes de symétrie
- 3.2 solutions « algébriquement spéciales »
- 3.3 Autres hypothèses simplificatrices
- 4 Résoudre les équations
- 5 Quelques solutions importantes
- 5.1 Les solutions Schwarzschild et Kerr
- 5.2 Les solutions Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)
- 5.3 Les solutions Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
- 5.4 Les ondes planes
- 5.,5 La famille Taub-NUT
- 6 Références
- 7 Voir aussi
Résumé
Les équations de champ d’Einstein de la relativité générale sont 10 équations différentielles non linéaires séparées dans 4 variables indépendantes. Ce système complexe ne peut généralement pas être intégré, bien qu’il ait été reformulé sous la forme d’une équation intégrale auto-couplée (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Des approximations analytiques et numériques peuvent être utiliséespour explorer des situations physiques. Des solutions exactes, bien qu’obtenues en imposant des hypothèses simplificatrices, complètent de telles approches de plusieurs manières., Ils incarnent la non-linéarité totale, permettant l’étude de régimes de terrain forts; ils fournissent des arrière-plans sur lesquels des approches perturbatrices peuvent être construites; et ils permettent de vérifier l’exactitude numérique.
Le terme « solution exacte » n’est pas bien défini: il signifie généralement une solution où toutes les grandeurs sont exprimées par des fonctions élémentaires ou des fonctions spéciales bien connues, mais parfois il est étendu à des solutions connues uniquement jusqu’à la solution d’une ou plusieurs équations différentielles., Les solutions exactes connues sont obtenues à partir d’une large variété d’hypothèses, la plus importante d’entre elles étant l’imposition de groupes de symétrie ou de formes spéciales du curvaturetensor. Parmi les solutions connues, certaines ont été particulièrement importantes physiquement ou mathématiquement.
Un certain nombre de livres fournissent des enquêtes sur les solutions exactes, et devraient être consultés si des détails plus complets sont souhaités. Pour une étude générale des solutions contenant un moment d’énergie simple donné par le vide, l’électromagnétisme et les fluides parfaits, voir Stephani et al., (2003), pour les solutions cosmologiques inhomogènes (définies comme celles contenant comme cas particulier l’un des modèles FLRW discutés ci-dessous) voir Krasi acute\acute{\rm n} ski ski (1997), et pour les relevés détaillés de certaines classes spéciales voir Griffiths (1991) et Belinskii et Verdaguer(2001).
Pour les interprétations physiques de nombreuses solutions seeBi$\check{\rm c}\aiguë{\rm a}$k (2000) et Griffiths et Podolsk$\aiguë{\rm o}$ (2009). Il convient de noter qu’une solution exacte n’a pas nécessairement aunique interprétation., Par exemple, parmi les exemples donnés plus loin, la solution de Schwarzschild peut être interprétée comme représentant soit la région extérieure d’une masse sphérique, soit la région d’interaction suite à la collision de deux ondes de plan particulier. Un point connexe est que différentes sources peuvent donner lieu à la même solution exacte.
Équations d’Einstein
La théorie de la Relativité générale d’Einstein généralise la théorie de la gravité de Newton à une théorie compatible avec la relativité spéciale., Il modélise les points d’espace et de temps comme un(pseudo-)collecteur à quatre dimensions riemannien avec amétrique \(g_{ab}\) de signature \(\pm 2\) (le choix du signe est conventionnel). Les particules test sont supposées se déplacer sur les géodésiques de cette variété et les forces gravitationnelles de marée sont décrites par sa courbe.
Les équations ont été introduites en termes de base de coordonnées mais sont fréquemment écrites sous la forme obtenue en supposant une tétrade (achoice of basis of the tangent vector space whose basis vectors haveconstant scalar products), ou en termes de formalisme spin-coefficient.,
Parce qu’en partant d’un ensemble différent d’hypothèses caractérisantes, on peut arriver à la même solution dans des coordonnées différentes, le « problème d’équivalence » de décider quand deux variétés sont (localement) le même, c’est-à-dire isométrique, est important. Ceci est formellement indécidable, mais dans la pratique, on peut généralement le résoudre en utilisant des méthodes basées sur des idées de Cartan (voir chapitre 9 de Stephani et al. (2003)).,
Les mêmes équations (mutatis mutandis) ont été utilisées et résolues dans des dimensions supérieures (voir Anneau noir), avec certaines des mêmes techniques, mais jusqu’à présent, très peu du paysage complet des solutions possibles en 5 dimensions ou plus a été exploré.
Rendre les équations traçables
Les auteurs supposent parfois une forme métrique et utilisent Eq. (1) tocalculer l’énergie-momentum(c’est la méthode obsolète \(g\) décrite Parsynge (1971)). Comme aucune équation n’est réellement résolue, le résultat ne mérite pas d’être appelé solution., Cependant, les solutions exactes sont généralement obtenues par des formes de simplification moins extrêmes qui, compte tenu de la forme de l’élan énergétique, peuvent automatiquement garantir que certaines des équations sont vraies tout en laissant d’autres à résoudre.
Groupes de symétrie
Les solutions obtenues par de telles hypothèses sont couvertes par la partie II deStephani et al. (2003): voir aussi Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) et Bolejko et al (2010).,
Solutions « algébriquement spéciales »
Un tenseur de Weyl non nul a la propriété qu’il existe quatre « directions nulles principales » (PND),définies par des vecteurs nuls obéissant à\bc}k^bk^c=0.\]La structure algébrique du tenseur de Weyl est alors caractérisée parque deux ou plusieurs des PND coïncident. Quand au moins deux font, alors,en fournissant une énergie appropriée-moment est supposé, le tenseur métrique peut besimplified., De tels espaces sont connus comme « algébriquement spéciaux », etpeut être classé dans les types de Petrov par les nombres de coïncidents: les détails des cas possibles sont donnés dans l’article sur le formalisme du coefficient de spin. Pour le moment d’énergie généralement considéré dans de tels espaces, le champ vectoriel du PND répété est géodésique et shearfree par le théorème de Kundt-Thompson, qui (voir Stephani etal (2003), théorème 7.5) généralise le théorème de Goldberg-Sachs. Lorsque seulement deux PND coïncident, l’espace-temps estde Petrov type II., Dans l’article sur le formalisme du coefficient de spin, l’exemple deles solutions de Robinson-Trautman (métriques de type II de Petrov dans lesquelles le champ des PND répétés est sans torsion) est dérivé en détail.
Les solutions algébriquement spéciales connues sont discutées dans la partie III deStephani et al. (2003). Il y a naturellement un chevauchement avec les solutionsobtenu en supposant des groupes de symétrie. Par exemple, tous sphériquementles solutions symétriques sont de type Petrov D ou, dans un cas particulier, conformementflat.,
Autres hypothèses simplificatrices
D’autres spécialisations intéressantes découlent des hypothèses suivantes
- il existe des champs vectoriels ou tensoriels constants
- la courbure est récurrente, complexe récurrente ou symétrique (ce sont des conditions sur, par exemple,, \(R_{abcd;e}\))
- il existe un tenseur Killing ou Killing-Yano
- l’espace-temps admet des mouvements ou des collinéations conformes (champs vectoriels générant une transformation sous laquelle la métrique est mappée sur un multiple de lui-même ou la courbure sur elle-même)
- l’espace-temps contient des surfaces avec des propriétés spéciales (par exemple, des tranches le cas particulièrement courant est celui où il y a un mouvement conforme pourque le multiple est une constante: de telles transformations sont appelées homothéties., Leurs champs de vecteurs générateurs obéissent à\où \(C\) est une constante. Un nombre significatif de solutions connues admettent des homothéties, bien que beaucoup d’entre elles aient été découvertes sans que la présence de l’homothétie soit évaluée.
Résoudre les équations
Une fois que l’on a simplifié la métrique et introduit un tenseur énergie-impulsion approprié, les équations non triviales restantes formeront un système d’équations différentielles (ou dans le cas de l’homogénéité spatiale, équations algébriques). Il n’y a pas d’algorithme général pourtous les cas, mais certaines méthodes utilisées dans d’autres domaines se sont révélées utiles.,
Les symétries de points de lie du système d’équations, bien qu’utiles dans de nombreuses situations (voir par exemple Stephani (1989) ou Olver (1986)), se réduisent généralement dans le contexte espace-temps à des difféomorphismes de la variété(en disant simplement que les résultats sont invariants de coordonnées) ou à des mouvements toisométriques ou homothétiques. Cependant, il y a des cas (par exemple, fluides parfaits shearfree sphériquement symétriques) où les symétries de Liepoint ont été utiles pour trouver des solutions exactes. Les symétries généralisées, la prolongation et la linéarisation peuventêtre également utile.,
En particulier, les solutions avec deux vecteurs de mise à mort commutatifs (agissant sur des surfaces bidimensionnelles espacées ou temporelles), et contenant une matière avec une énergie-impulsion appropriée, se prêtent à des méthodes de la théorie des systèmes intégrables, telles que les cartes harmoniques (symétries d’espace potentielles), les transformations de Bäcklund, la diffusion inverse, les problèmes d’andRiemann-Hilbert. Par exemple, tous les espaces axisymétriques stationnaires du vide peuvent être obtenus en utilisant de telles techniques génératrices à partir de l’espace plat. Parmi les résultats figurent des solutions solitoniques.,
Quelques solutions importantes
Un grand nombre de solutions sont connues, comme le montrera la lecture des références citées dans le Résumé, et beaucoup d’entre elles n’ont pas été complètement interprétées physiquement. Connaissant la métrique sous forme fermée, l’élucidationde ses propriétés physiques peut encore être difficile (voir Griffiths et Podolsk\\acute {\rm y}$(2009)):par exemple, les équations géodésiques, dont les solutions donnent la possibletracks de particules d’essai et de rayons lumineux, peuvent être intraitables même pour la simple métrique. Parmi les solutions les plus importantes sont celles maintenant brièvementdécrit., (Notez que bien que les solutions sélectionnées soient toutes algébriquementspéciales et que plusieurs soient sphériquementsymétriques, c’est loin d’être le cas pour toutes les solutions.) Les papiers originaux dans lesquels les solutions sélectionnées ont été dérivées sont tous facilement disponibles, ayant, à l’exception du premier papier plane waves, été inclus dans la série « Golden Oldies ».
Les solutions de Schwarzschild et Kerr
La métrique de Schwarzschild est la solution externe unique pour un corps sphériquement symétrique dans un espace vide environnant., Cela suggère que la Relativité générale partage avec la gravité newtonienne la propriété que le champ externe de tout corps sphérique ne dépend que de sa masse totale et non de la distribution radiale de la matière. Cependant, l’interprétation de la solution comme étant la même que celle d’une masse ponctuelle au centre n’est pas satisfaisante car la forme ci-dessus ne convient que dans \(r>2m\). Dans les premières années après la découverte de la solution, les chercheurs ne savaient pas si \(r=2m\), où la métrique de Eq. (5) a clairement un coefficient singulier, représenté une véritable singularité., Il est maintenant bien compris qu’il s’agit d’un » horizon d’événements », la limite d’un trou noir, et que la suite analytique complète de la solution est singulière à \(r=0\). Pour des informations historiques, voir Eisenstaedt (1982) et pour une discussion générale sur les propriétés globales des temps spatiaux, y compris celles discutées ici, voir Hawking et Ellis (1973). La solution de Schwarzschild a fourni un modèle pour les études ultérieures des singularités et des trous noirs.
L’unicité de cette solution montre que la Relativité générale n’admet pas d’ondes gravitationnelles monopolaires., C’est aussi l’approximation d’ordre le plus bas du domaine des corps astronomiques réels tels que la Terre et le Soleil. Le calcul des géodésiques dans ce domaine a permis des prédictions précises de la flexion de la lumière par le Soleil et de l’avance du périhélie de Mercure, deux des « tests classiques » de la théorie de la relativité générale.
La solution de Schwarzschild est un cas particulier de la solution de Kerr (trouvée en 1963) qui représente le champ externe d’un trou noir en rotation. Cela peut être écrit comme une instance d’Eq. (4) avec \(e=g=l=\Lambda=0\) et il est habituel d’écrire \(a^2:=\gamma\)., Le rapport spin/masse (en unités géométrisées) est alors \(a / m\). Les solutions de Schwarzschild et Kerr fournissent le contexte pour les études de la physique dans le domaine des trous noirs, qui sont utilisés dans la modélisation des sources binaires de rayons X et des noyaux galactiques actifs en astronomie. L’observation du rayonnement de la matière près des trous noirs nous permet de déduire qu’il existe des trous noirs astronomiques avec \(a/m > 0.95\): voir Trous noirs.
Les trous noirs de Schwarzschild et de Kerr peuvent être facilement généralisés pour inclure des charges électromagnétiques non nulles et (en utilisant Eq., (4) par exemple), non nul \(l\) et \(\Lambda\). Il existe des théorèmes d’unicité montrant (avec quelques mises en garde techniques) que ces familles sont les trous noirs stationnaires uniques avec une topologie sphérique d’un horizon d’événements non singulier.
Les solutions de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)
Ces solutions donnent la géométrie du « modèle standard » en cosmologie moderne, et fournissent ainsi la base d’un grand nombre d’articles étudiant la physique cosmologique, y compris les perturbations des solutions., Leur géométrie a été clarifiée par Robertson et Walker, indépendamment, dans les années 1930, et les solutions spécifiques les plus fréquemment utilisées ont été trouvées par Friedmann et par Lemaître dans les années 1920: d’où le nom long.
Solutions de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
Ces solutions sphériquement symétriques sont les solutions pour Eq. (2) contenant la « poussière », un fluide parfait avec \(p=0\) avec \(\Lambda=0\). Ils généralisent les solutions FLRW pour la poussière à des solutions inhomogènes., Étant donné que la poussière est considérée comme une représentation appropriée de la teneur en matière de l’univers à grande échelle à l’heure actuelle, les solutions LTB ont été beaucoup utilisées pour fournir des modèles exacts des structures de l’univers (voir Bolejko et al (2010)). Ils contiennent comme cas particuliers les solutions Schwarzschild et dust FLRW.
Ondes planes
Ces espacements fournissent un exemple important de structure globale inattendue., Si l’on joint une onde plane à des espaces plats de chaque côté d’une plage de \(u\), formant une « onde sandwich », alors le cône de lumière d’un point d’un côté se recentre de l’autre côté, comme l’a constaté Penrose (1965). La structure de l’onde sandwich a résolu la question de savoir si les ondes gravitationnelles trouvées pour la première fois, en utilisant des approximations, par Einstein pourraient être simplement des effets de coordonnées: Bondi, Pirani et Robinson (1959) ont montré que les particules d’essai libres sont relativement accélérées par le passage dans la région de l’onde, ce qui implique que,
les ondes Planes sont la première approximation du rayonnement gravitationnel loin d’une source dans un espace vide. Ils sont un cas particulier des ondes pp plus générales, des solutions avec un vecteur de mort nul constant covariantly reresenting des ondes gravitationnelles à front plan avec des rayons parallèles et trouvé en 1925 par Brinkman. Toute cette classe est de type Petrov N (les quatre PND coïncident) ou conformalement plate.
La famille Taub-NUT
Taub-NUT spacetime a des propriétés globales très inattendues., La NUTregion contient des lignes temporelles fermées et aucune surface de Cauchy sensible, il y a deux extensions analytiques maximales inéquivalentes de la région de theTaub (ou une variété non-Hausdorff avec les deux extensions), thespacetime est nonsingular dans le sens d’une singularité de courbure, et il y a des géodésiques de longueur de paramètre affine finie. Ces propriétés ont donné lieu au titre de l’article de Misner de 1963 (certaines de ces propriétés sont partagées par les autres métriques Taub-NUT)., La solution a eu une grande influence sur les études des solutions exactes et des modèles cosmologiques spatialement homogènes, et plus généralement sur ceux qui sont hypersurface homogènes et auto-similaires, sur la cosmologie en général, et sur notre compréhension de l’analyse globale et des singularités dans l’espace-temps.
Belinski, V A et Verdaguer, E (2001). Solitons gravitationnels. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularités de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arch. Hist. Exact Sci. 27: 157-198.
Ellis, G F R et Madsen, M (1991)., Cosmologies exactes du champ scalaire. Classe. Quant. Grav. 8: 667-676.
Griffiths, J B (1991). Collision des ondes planes en relativité générale. Oxford mathématique des monographies. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, S W et Ellis, G F R (1973). La structure à grande échelle de l’espace-temps. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi$\aiguë{\rm n}$de ski, Un (1997). Modèles cosmologiques non homogènes. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P. J. (1986). Applications des groupes de Lie aux équations différentielles. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., Une propriété remarquable des ondes planes en relativité générale. Rév. Mod. Phys. 37: 215.
Sciama, D. W.; Waylen, P. C. et Gilman, R. C. (1969). Formulation intégrale généralement covariante des équations de champ d’Einstein. Revue physique A 187: 1762.
Stephani, H (1989). Équations différentielles – Leurs solutions en utilisant des symétries. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relativité: la théorie générale. Hollande-Septentrionale, Dordrecht.
Voir aussi
Trou noir, Anneau noir, Constante cosmologique, Relativité générale,Formalisme du coefficient de spin