Le calcul différentiel est utilisé pour trouver le taux de changement d’une variable—par rapport à une autre variable.
Dans le monde réel, il peut être utilisé pour trouver la vitesse d’un objet en mouvement ou pour comprendre le fonctionnement de l’électricité et du magnétisme. C’est très important pour comprendre la physique—et de nombreux autres domaines de la science.
le calcul Différentiel est également utile pour la représentation graphique., Il peut être utilisé pour trouver la pente d’une courbe, et les points les plus élevés et les plus bas d’une courbe (ceux-ci sont appelés le maximum et le minimum, respectivement).
Les variables peuvent changer leur valeur. Ceci est différent des nombres car les nombres sont toujours les mêmes. Par exemple, le numéro 1 est toujours égal à 1, et le nombre 200 est toujours égal à 200. On écrit souvent des variables sous forme de lettres telles que la lettre x: « x » peut être égal à 1 à un point et 200 à un autre.
Quelques exemples de variables sont la distance et le temps, car ils peuvent changer., La vitesse d’un objet est la distance qu’elle parcourt dans un temps particulier. Donc, si une ville est à 80 kilomètres (50 miles) et qu’une personne en voiture y arrive en une heure, elle a parcouru une vitesse moyenne de 80 kilomètres (50 miles) par heure. Mais ce n’est qu’une moyenne: peut-être qu’ils ont voyagé plus vite à certains moments (par exemple sur une autoroute), et plus lentement à d’autres moments (par exemple à un feu de circulation ou dans une petite rue où les gens vivent). Certes, il est plus difficile pour un conducteur de déterminer la vitesse d’une voiture en utilisant uniquement son odomètre (compteur de distance) et son horloge—sans compteur de vitesse.,
Jusqu’à ce que le calcul soit inventé, la seule façon de résoudre ce problème était de couper le temps en morceaux de plus en plus petits, de sorte que la vitesse moyenne sur le plus petit temps se rapprocherait de plus en plus de la vitesse réelle à un moment donné. Ce fut un processus très long et difficile, et devait être fait chaque fois que les gens voulaient travailler quelque chose.
Sur une courbe, deux points différents ont différentes pentes. Les lignes rouges et bleues sont des tangentes à la courbe.,
Un problème très similaire est de trouver la pente (à quel point elle est raide) en tout point d’une courbe. La pente d’une ligne droite est facile à déterminer — c’est simplement combien elle monte ou descend (y ou verticale) divisée par combien elle traverse (x ou horizontale). Sur une courbe, cependant, la pente est une variable (a des valeurs différentes en différents points) car la ligne se plie. Mais si la courbe devait être coupée en très, très petits morceaux, la courbe au point ressemblerait presque à une très courte ligne droite., Donc, pour calculer sa pente, une ligne droite peut être tracée à travers le point avec la même pente que la courbe à ce point. Si cela est fait exactement de la droite, la droite aura la même pente que la courbe, et est appelée tangente. Mais il n’y a aucun moyen de savoir (sans mathématiques complexes) si la tangente est exactement droite, et nos yeux ne sont pas assez précis pour être certain si elle est exacte ou simplement très proche.
Ce que Newton et Leibniz ont trouvé était un moyen de calculer exactement la pente (ou la vitesse dans l’exemple de distance), en utilisant des règles simples et logiques., Ils ont divisé la courbe en un nombre infini de très petits morceaux. Ils ont ensuite choisi des points de chaque côté de la plage qui les intéressait et ont élaboré des tangentes à chacun. Au fur et à mesure que les points se rapprochaient du point qui les intéressait, la pente approchait d’une valeur particulière à mesure que les tangentes approchaient de la pente réelle de la courbe. La valeur particulière qu’il approchait était la pente réelle.
Une image qui montre ce que x et x + h de moyenne sur la courbe.,
Les mathématiciens ont développé cette théorie de base pour créer des règles d’algèbre simples—qui peuvent être utilisées pour trouver la dérivée de presque toutes les fonctions.