Die Fourier-Transformation ist eine Verallgemeinerung der komplexen Fourier-Reihe im Limit als 
. Ersetzen Sie die diskrete 
durch die kontinuierliche 
, während Sie 
., id=“419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., Die Notation 
wird in Trott (2004, S. xxxiv) eingeführt, und 
und 
werden manchmal auch verwendet, um die Fourier-Transformation bzw. die inverse Fourier-Transformation zu bezeichnen (Krantz 1999, S. 202).
Beachten Sie, dass einige Autoren (insbesondere Physiker) es vorziehen, die Transformation in Bezug auf die Winkelfrequenz 
anstelle der Schwingungsfrequenz 
zu schreiben.,“25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Standardmäßig verwendet die Wolfram-Sprache Fourierparameter als 
. Leider sind eine Reihe anderer Konventionen weit verbreitet. Zum Beispiel wird 
in der modernen Physik verwendet, 
wird in der reinen Mathematik und Systemtechnik verwendet, 
wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Berechnung der charakteristischen Funktion verwendet, 
wird in der klassischen Physik verwendet, und 
wird in der Signalverarbeitung. In dieser Arbeit werden folgende Bracewell (1999, pp., 6-7) wird immer angenommen, dass 
und 
sofern nicht anders angegeben. Diese Wahl führt häufig zu stark vereinfachten Transformationen gängiger Funktionen wie 1, 
usw.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
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A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
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(20)
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provided that
exists.,
2. Es gibt eine endliche Anzahl von Diskontinuitäten.
3. Die Funktion hat begrenzte Variation.,d“>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
Es gibt auch eine etwas überraschende und äußerst wichtige Beziehung zwischen der Autokorrelation und der Fourier-Transformation, die als Wiener-Khinchin-Theorem bekannt ist., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
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The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
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The first term consists of an oscillating function times 
., id=“3f4582000b“>
so 
has the Fourier transform
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If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=“ec13a9034f“>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
Jede Operation auf 
, die ihren Bereich unverändert lässt, lässt 
unverändert, da
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In der folgenden Tabelle wurden einige gängige Fourier-Transformationspaare zusammengefasst.,or 
, 
by
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