Post-julkaiseminen

Kuraattori: Malcolm A. H. MacCallum

Avustajat:

Tarkka Ratkaisut Einsteinin Yhtälöt

Einsteinin Yleinen Suhteellisuusteoria on johtava teoria aika-avaruus ja painovoima: se on erittäin epälineaarinen. Einsteinin yhtälöiden tarkat ratkaisut siis mallintavat gravitaatiojärjestelmiä ja mahdollistavat teorian matematiikan ja fysiikan tutkimisen.,

Sisällysluettelo

  • 1 Yhteenveto
  • 2 Einsteinin yhtälöt
  • 3 Jolloin yhtälöt mukautuva
    • 3.1 Symmetria ryhmät
    • 3.2 ”Algebraically erityinen” ratkaisuja
    • 3.3 Muut yksinkertaistaa oletuksia
  • 4 Ratkaisemaan yhtälöitä
  • 5 Joitakin tärkeitä ratkaisuja
    • 5.1 Schwarzschildin ja Kerr ratkaisuja
    • 5.2 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) ratkaisuja
    • 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) ratkaisuja
    • 5.4 tasoaaltoa
    • 5.,5 Taub-MUTTERI perhe
  • 6 Viitteet
  • 7 Katso myös

Tiivistelmä

Einstein ’ s-alan yhtälöitä yleistä suhteellisuusteoria 10 nonlinearpartial differential equations, 4 riippumattomia muuttujia. Thiscomplicated järjestelmä voi olla yleensä yhdistetty, vaikka se on ollut vaatimukseksi itse-yhdistettynä integraaliyhtälö (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Analyyttisiä ja numeerisia approksimaatioita voidaan käyttää fyysisten tilanteiden tutkimiseen. Vaikka eksaktit ratkaisut onkin saatu yksinkertaistamalla oletuksia, ne täydentävät näitä lähestymistapoja kaikilla tavoilla., Ne ilmentävät koko epälineaarisuus, jolloin tutkimuksen ofstrong alalla järjestelmiä; ne tarjoavat taustat, joihin perturbativeapproximations voidaan rakentaa; ja ne, jotta tarkastukset numericalaccuracy.

termi ’tarkka ratkaisu ei ole hyvin määritelty: yleensä se tarkoittaa midiiniliuos, jossa kaikki määrät ilmaistaan peruskoulun toimintoja tai tunnettu erityiset toiminnot, mutta joskus se on laajennettu toivomusta ratkaisut tunnetaan vain ratkaisu yksi tai moredifferential yhtälöt., Tiedossa tarkka ratkaisuja on saatu lukuisia erilaisia oletuksia, tärkein näistä on theimposition symmetria ryhmien tai erityisiä muotoja curvaturetensor. Tunnetuista ratkaisuista jotkut ovat olleet erityisen tärkeitä fyysisesti tai matemaattisesti.

useat kirjat tarjoavat selvityksiä täsmällisistä ratkaisuista, ja ne tulisi kuulla, jos halutaan tarkempia yksityiskohtia. Yleinen tutkimus liuokset, jotka sisältävät thesimple energia-momenta antama tyhjiö, sähkömagnetismi ja perfectfluids nähdä, Hans et al., (2003), sillä epähomogeeninen cosmologicalsolutions (määritelty ne sisältävät erityinen tapaus yksi FLRW-mallit jäljempänä) ks Krasi$\akuutti{\rm n}$ski (1997), ja tarkemmat tutkimukset somespecial luokat nähdä Griffiths (1991) ja Belinskii ja Verdaguer(2001).

fyysisen tulkintoja monia tärkeitä ratkaisuja seeBi$\tarkistaa, {\rm c}\akuutti{\rm a}$k (2000) ja Griffiths ja Podolski$\akuutti{\rm y}$ (2009). On huomattava, että tarkka ratkaisu ei välttämättä ole aunique tulkinta., Esimerkiksi, joukossa esimerkit myöhemmin Schwarzschildin ratkaisu voidaan tulkita edustavan joko ulkoa alueen sphericalmass, tai vuorovaikutuksen alueella törmäyksen jälkeen kaksi particularplane aaltoja. Tähän liittyvä seikka on se, että eri lähteet voivat johtaa samaan täsmälliseen ratkaisuun.

Einsteinin yhtälöt

Einsteinin Yleinen Suhteellisuusteoria yleistää Newtonin gravitytheory yksi yhteensopiva erityinen suhteellisuusteoria., Se-malleissa tilaa jaaika pistettä kuin (pseudo-)Riemannin neljä-ulotteinen moninaiset ametric \(g_{ab}\) allekirjoitus \(\pm 2\) (merkin valinta isconventional). Testi hiukkaset oletetaan siirtyä geodesics tämän imusarjan ja vuorovesi, painovoima on kuvattu itscurvature.

yhtälöt on otettu käyttöön vuonna ehdot on koordinoida perusteella butare usein kirjoitettu muodossa saatu olettaen tetrad (achoice perusteella tangentin vektoriavaruus, jonka perusteella vektorit haveconstant skalaari tuotteet), tai suhteen spin-kerroin formalismi.,

Koska alkaen eri joukko kuvaavat assumptionsone voi saapua samaan ratkaisuun eri koordinaatit, ’equivalence ongelma on päättää, milloin kaksi pakosarjat ovat (paikallisesti) samalla, eli isometrinen, on merkitystä. Tämä on virallisesti undecideablebut käytännössä voidaan yleensä ratkaista käyttämällä menetelmiä, jotka perustuvat ideasof Cartan (ks. luku 9 Hans et al. (2003)).,

samat yhtälöt (soveltuvin osin) on käytetty ja ratkaista suurempia ulottuvuuksia (ks. Musta rengas), kanssa joitakin samoja tekniikoita, mutta toistaiseksi hyvin vähän koko maisema mahdollisia ratkaisuja 5 tai enemmän ulottuvuuksia on tutkittu.

Joten yhtälöt mukautuva

Tekijät joskus olettaa, metrinen muodossa ja käyttää Eq. (1) lasketaan energian liikemäärä(tämä on poistettu \(g\)-menetelmä kuvattu bySynge (1971)). Koska yhtäkään yhtälöä ei todellisuudessa ratkaista, lopputulosta ei kannata kutsua ratkaisuksi., Kuitenkin, tarkka ratkaisuja silloin saadaan vähemmän äärimmäisiä muotoja yksinkertaistamalla, joka foorumeilla annetaan muodossa energia-vauhtia, voi automaattisesti varmistaa, jotkut theequations ovat totta jättäen toiset voidaan ratkaista.

Symmetriaryhmät

tällaisilla olettamuksilla saadut ratkaisut kuuluvat sefani et al. – osan II piiriin. (2003): ks. myös Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) ja Bolejko ym (2010).,

”Algebraically erityinen” ratkaisuja

ei-nolla Weyl tensor on omaisuutta, että on neljä”, rehtori null suuntiin” (PNDs),määritelty null vektorit tottele\bc}k^bk^c=0.\] Algebrallinen rakenne Weyl tensor on sitten ominaista, kun kaksi tai useampi PNDs yhtyvät. Kun ainakin kaksi tekee niin, jolloin oletetaan sopiva energiamomentti,metrinen tensori voi besimplifioitua., Tällainen spacetimes tunnetaan `algebrallisesti erityistä’, javoi olla luokiteltu osaksi Petrov tyypit numerot coincidentPNDs: tiedot mahdolliset tapaukset on esitetty artikkelissa-aloite spin-kerroin formalismi. Energia-momenta usuallyconsidered niin spacetimes, vektori-alalla toistuva PND isgeodesic ja shearfree, jonka Kundt-Thompsonin lause, joka (ks Hans et al (2003), lause 7.5) generalises Goldberg-Sachs lause. Kun vain kaksi PNDs samaan aikaan, spacetime isof Petrov tyyppi II., Artikkeli spin-kerroin formalismi esimerkiksi ofthe Robinson-Trautman ratkaisuja (Petrov tyyppi II tiedot, jotka alalla toistuva PNDs on kierre-free) on johdettu yksityiskohtaisesti.

tunnettuja algebrallisesti erikoisia ratkaisuja käsitellään osassa III ofStephani et al. (2003). On luonnollisesti päällekkäisyyksiä solutionsubted olettamalla symmetria ryhmiä. Esimerkiksi kaikki sfäärisymmetriset liuokset ovat Petrov-tyyppiä D tai erikoistapauksena konformisflaattia.,

Muut yksinkertaistetut oletukset

Jotkin muut erikoisalojen kiinnostaa syntyvät seuraavat oletukset

  • on olemassa vakio vektori tai tensori-kentät
  • kaarevuus on toistuva, monimutkaisia toistuvia tai symmetrinen (nämä ovat edellytykset, esim.,, \(R_{abcd;e}\))
  • on Tappaa tai Tappaa-Yano tensor
  • aika-avaruus myöntää conformal liikkeet tai collineations (vektorin kentät tuottaa muutosta, jonka mukaisesti tieto on kartoitettu useita itsestään tai kaarevuus itse)
  • aika-avaruus sisältää pinnat, joilla on erityisiä ominaisuuksia (esimerkiksi, taulu kolmiulotteisen viipaletta)
  • aika-avaruus on erityinen upottamisen ominaisuuksia

erityisen yleinen asia on, jos on conformal liikettä, joista useita on vakio: tällaisia muutoksia ovat calledhomotheties., Niiden generoivat vektorikentät tottelevat\missä \(C\) on vakio. Huomattava osa tunnetuista ratkaisuista myöntää homotyypit, vaikka monet niistä havaittiin ilman, että homotety-oliepäselvästi.

Ratkaisemaan yhtälöitä

Kun yksi on yksinkertaistettu metrinen ja käyttöön suitableenergy-vauhtia tensor, loput ei-triviaaleja yhtälöitä tulee forma-järjestelmän differential equations (tai jos spacetimehomogeneity, algebraic yhtälöt). Kaikkia tapauksia varten ei ole yleistä algoritmia, mutta jotkin muilla alueilla käytetyt menetelmät ovat osoittautuneet hyödyllisiksi.,

Makaa kohta symmetries järjestelmän yhtälöt, vaikka hyödyllisiä monissa tilanteissa (ks. esim. Hans (1989) tai Olver (1986)), usuallyreduce vuonna spacetime yhteydessä diffeomorphisms moninaiset(vain sanomalla, että tulokset ovat koordinoida invariant) tai toisometric tai homothetic liikkeet. On kuitenkin tapauksia (esim.spherically symmetric shearfree perfect fluids), joissa Liepointisymmetrioista on ollut apua eksaktoluutioiden löytämisessä. Yleistynyt symmetrioita, pidentyminen ja linearisointi sitä voidaan auttaa.,

erityisesti ratkaisuja, joilla on kaksi työmatkat Tappaa vektorit (vt onspacelike tai timelike kaksiulotteinen pinnat), ja jossa mikä sopii energia-vauhtia, ovat sopivia menetelmiä theoryof integrable järjestelmissä, kuten harmoniset kartat (mahdolliset spacesymmetries), Bäcklund muutoksia, inverse scattering, andRiemann-Hilbert-ongelmia. Esimerkiksi kaikki paikallaan axisymmetricvacuum spacetimes saadaan käyttämällä tällainen tuottaa techniquesstarting tasainen tila. Lopputulosten joukossa on solitonisia ratkaisuja.,

Joitakin tärkeitä ratkaisuja

monet ratkaisut ovat tiedossa, kuten lukiessa viittaukset citedin Yhteenveto näyttää, ja monet näistä eivät ole olleet fullyinterpreted fyysisesti. Tietäen metrinen suljetussa muodossa, elucidationof sen fysikaaliset ominaisuudet voivat silti olla vaikeaa (ks. Griffiths ja Podolski$\akuutti{\rm y}$ (2009)):esimerkiksi, geodeettista yhtälöillä, joiden ratkaisut antavat possibletracks testi hiukkasten ja valon säteet, voi olla hankala jopa simplemetrics. Tärkeimpiin ratkaisuihin kuuluvat nyt lyhyesti esitetyt ratkaisut., (Huomaa, että vaikka valitut ratkaisut ovat kaikki algebraicallyspecial ja useat ovat sphericallysymmetric, tämä on kaukana tapauksessa kaikki ratkaisut.) Alkuperäinen paperit johon valitut ratkaisut olivat ensin johdettu, ovat kaikki helposti saatavilla, ottaa, paitsi ensimmäinen kone aallot paperi -, ollut mukana ”Golden Oldies” – sarjan.

Schwarzschildin ja Kerr ratkaisuja

Schwarzschildin metriikka on ainutlaatuinen ulkoinen ratkaisu pallosymmetrinen kehon ympäröivä tyhjä tila., Tämä viittaa siihen, että Yleinen Suhteellisuusteoria osakkeita Newtonin painovoima omaisuutta, että ulkoisen kentän tahansa pallomainen elin riippuu vain sen kokonaismassa ei radial jakelu väliä. Kuitenkin tulkinta ratkaisu sama kuin pisteen massa-keskus on epätyydyttävä, koska muoto edellä sopii vain \(r>2m\). Alkuvuosina ratkaisun löytymisen jälkeen tutkijat eivät olleet selvillä, onko \(r=2M\), jossa Eq: n metriikka. 5) on selvästi yksikertainen kerroin, edustaa todellista singulariteettia., Nyt ymmärretään hyvin, että se on ”tapahtumahorisontti”, mustan aukon raja ja että ratkaisun täydellinen analyyttinen jatko on yksikössä \(r=0\). Historiallisia tietoja, ks. Eisenstaedt (1982) ja yleistä keskustelua maailmanlaajuisen ominaisuuksia spacetimes, mukaan lukien ne, joista täällä, katso Hawking ja Ellis (1973). Schwarzschild-ratkaisu tarjosi mallin myöhempiin singulariteettien ja mustien aukkojen tutkimuksiin.

tämän ratkaisun ainutlaatuisuus osoittaa, että yleinen suhteellisuusteoria ei myönnä monopolaarisia gravitaatioaaltoja., Se on myös alimman kertaluvun likiarvo todellisten tähtitieteellisten kappaleiden kuten maan ja auringon alalle. Laskeminen geodesics tällä alalla on käytössä tarkkoja ennusteita valon taipuminen Auringon ja ennen perihelion Elohopeaa, kaksi ”klassista testit” yleinen suhteellisuusteoria teoriassa.

Schwarzschild-liuos on Kerr-liuoksen (löydetty 1963) erikoistapaus, joka edustaa pyörivän mustan aukon ulkoista kenttää. Tämä voidaan kirjoittaa esimerkiksi taajuuskorjain. (4) jossa \(e=g=l=\Lambda=0\), ja se on tavallista kirjoittaa \(a^2:=\gamma\)., Spinin ja massan suhde (geometrisoiduissa yksiköissä) on sitten \(a/m\). Schwarzschildin ja Kerr ratkaisut tarjoavat taustan tutkimuksia fysiikan alalla mustia aukkoja, joita käytetään mallintamista X-ray binary lähteistä ja active galactic nuclei tähtitieteen. Havaintoja säteilyn väliä lähellä mustia aukkoja avulla voimme päätellä, että on olemassa astronominen mustia aukkoja \(a/m > 0.95\): ks Mustia aukkoja.

Schwarzschildin ja Kerrin mustat aukot voidaan helposti yleistää koskemaan myös muita kuin nolla sähkömagneettinen maksut ja (käyttäen Eq., (4) esimerkiksi) non-zero \(l\) ja \(\Lambda\). On ainutlaatuisuus teoreemojen osoittaa (joitakin teknisiä rajoitteita), että nämä perheet ovat ainutlaatuisia paikallaan mustia aukkoja pallomainen topologia on ei-singulaarinen tapahtuma horisontissa.

Myös Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) ratkaisuja

Nämä ratkaisut antaa geometria ”vakiomallin” modernin kosmologian, ja siten tarjota tausta valtava määrä papereita opiskelu kosmologisen fysiikan, mukaan lukien häiriöt ratkaisuja., Niiden geometria selvitti, Robertson ja Walker, itsenäisesti, 1930-luvulla, ja useimmin käytettyjä ratkaisuja olivat Friedmann ja Lemaître 1920-luvulla: näin pitkä nimi.

Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) ratkaisuja

Nämä pallosymmetrinen ratkaisut ovat ratkaisuja Eq. (2) sisältää ”pölyä” (täydellinen neste \(p=0\)) kanssa \(\Lambda=0\). Ne yleistävät pölyn FLRW-liuokset epäinhimillisiin liuoksiin., Koska pöly uskotaan olevan asianmukainen edustus universumin ainepitoisuus suuressa mittakaavassa tällä hetkellä LTB ratkaisuja on ollut paljon käytetty tarkkoja malleja rakenteita maailmankaikkeudessa (ks. Bolejko ym (2010)). Ne sisältävät erikoistapauksina sekä Schwarzschild-että dust FLRW-ratkaisuja.

Plane waves

nämä avaruusajat tarjoavat tärkeän esimerkin odottamattomasta globaalista rakenteesta., Jos yksi liittyy plane wave taulu tilat kummallakin puolella jotkut välillä \(u\), muodostaen ”sandwich aalto”, sitten valo kartio kohta, toinen puoli keskittyy toisaalta, kuten todettu, jonka Penrose (1965). Sandwich-aalto rakenne ratkaistu kysymystä siitä, onko gravitaatioaaltoja ensin löytynyt, käyttäen likiarvoja, Einstein voisi olla pelkästään koordinoida vaikutukset: Bondi, Pirani ja Robinson (1959) osoitti, että ilmainen testi hiukkaset ovat suhteellisen kiihtyi, jonka läpi aalto-alueella, mikä tarkoittaa, että aalto on kuljettaa energiaa.,

Tasoaallot ovat ensimmäinen likiarvo gravitaatiosäteilylle, joka on kaukana lähteestä muutoin tyhjässä avaruudessa. Ne ovat erikoistapaus yleisemmästä s-aallot, ratkaisuja covariantly vakio null Tappaa vektori reresenting kone-fronted gravitaatioaaltoja kanssa yhdensuuntaiset säteet ja totesi vuonna 1925, jonka Brinkman. Koko luokka on Petrov tyyppi N (kaikki neljä PNDs samanaikaisesti) tai conformally tasainen.

Taub-NUT-suvulla

Taub-NUT spacetime on hyvin odottamattomia globaaleja ominaisuuksia., Se NUTregion sisältää closed timelike linjat ja kukaan järkevä Cauchyn pinnat,on olemassa kaksi inequivalent maksimaalinen analyyttinen laajennuksia theTaub alueella (tai yksi ei-Hausdorffin pakosarja sekä laajennukset), thespacetime on singulaarinen siinä mielessä kaarevuus singulariteetti,ja siellä on geodesics, finite affine parametri pituus. Nämä ominaisuudet synnytti otsikko Misner n 1963 paperi (jotkut näistä ominaisuuksista on jaettu muut Taub-NUT metrics)., Ratkaisu oli suuri vaikutus tutkimuksissa exactsolutions ja kosmologisen malleja, jotka ovat spatiaalisesti homogeeninen, ja yleensä ne, jotka ovat hypersurface-homogeeninen andself-vastaavia, on cosmologyin yleensä, ja meidän ymmärrystä globaalin analyysin andsingularities avaruudessa-aikoina.

Belinski, V A ja Verdaguer, E (2001). Painovoimaiset solitonit. Cambridge University Press, Cambridge.

Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Kaari. Hist. Tarkka Sci. 27: 157-198.

Ellis, G F R ja Madsen, M (1991)., Tarkka skalaarikentän kosmologia. Luokka. Quant. Grav. 8: 667-676.

Griffiths, J B (1991). Törmäävät tasoaallot yleisessä suhteellisuusteoriassa. Oxfordin matemaattiset monografiat. Oxford University Press, Oxford.

Hawking, S W and Ellis, G F R (1973). Avaruus-ajan laajamittainen rakenne. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$\acute{\rm n}$ski, A (1997). Epäinhimilliset kosmologiset mallit. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, P J (1986). Sovellukset Lie ryhmien differential equations. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., Merkittävä ominaisuus plane waves yleistä suhteellisuusteoria. Rev. Mod. Phys. 37: 215.

Sciama, D W; Waylen, P C ja Gilman, R-C (1969). Yleensä kovariantti kiinteä muotoilu Einsteinin kentän yhtälöt. Fyysinen Katsaus 187: 1762.

Stephani, H (1989). Differential equations-niiden ratkaisuja käyttäen symmetries. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Suhteellisuusteoria: yleinen teoria. Pohjois-Hollanti, Dordrecht.

Katso myös

Musta aukko, Musta rengas, Kosmologinen Vakio, Yleinen suhteellisuusteoria,Spin-kerroin formalismi