Kurator: Malcolm A. H. MacCallum
Exakte Lösungen der Einstein-Gleichungen
in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie ist die führende Theorie der Raum-Zeit und Schwerkraft: es ist hochgradig nichtlinear. Exakte Lösungen von Einsteins Gleichungen modellieren somit Gravitationssysteme und ermöglichen die Erforschung der Mathematik und Physik der Theorie.,
Inhalt
- 1 Zusammenfassung
- 2 Einsteinsche Gleichungen
- 3 Die Gleichungen nachvollziehbar machen
- 3.1 Symmetriegruppen
- 3.2 „Algebraisch spezielle“ Lösungen
- 3.3 Andere vereinfachende Annahmen
- 4 Lösen der Gleichungen
- 5 Einige wichtige lösungen
- 5.1 Die Lösungen von Schwarzschild und Kerr
- 5.2 Die Lösungen von Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)
- 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) Lösungen
- 5.4 Ebene Wellen
- 5.,5 Die Taub-NUT-Familie
- 6 Referenzen
- 7 Siehe auch
Zusammenfassung
Einsteins Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie sind 10 nichtlinearpartiale Differentialgleichungen in 4 unabhängigen Variablen. Dieses komplizierte System kann nicht allgemein integriert werden, obwohl es als selbstgekoppelte Integralgleichung neu formuliert wurde (Sciama, Waylenund Gilman, 1969). Analytische und numerische Approximationen können verwendet werdenum physikalische Situationen zu untersuchen. Exakte Lösungen, die zwar durch vereinfachende Annahmen erzielt werden, ergänzen solche Ansätze jedoch in mehrfacher Hinsicht., Sie verkörpern die volle Nichtlinearität, ermöglichen das Studium starker Feldregime; sie bieten Hintergründe, auf denen störende Oximationen aufgebaut werden können; und sie ermöglichen die Überprüfung der numerischen Übereinstimmung.
Der Begriff „exakte Lösung“ ist nicht genau definiert: Normalerweise bedeutet er Asolution, bei der alle Größen durch Elementarfunktionen oder die bekannten Sonderfunktionen ausgedrückt werden, aber manchmal wird er auf Lösungen ausgedehnt, die nur bis zur Lösung einer oder mehrerer Differentialgleichungen bekannt sind., Die bekannten exakten Lösungen werden aus einer Vielzahl von Annahmen gewonnen, von denen die wichtigste die Anordnung von Symmetriegruppen oder speziellen Formen des Krümmungssensors ist. Unter den bekannten Lösungen waren einige von besonderemwichtig physikalisch oder mathematisch.
Eine Reihe von Büchern liefert Umfragen über exakte Lösungen und sollte konsultiert werden, wenn ausführlichere Details gewünscht werden. Für einen allgemeinen Überblick über Lösungen, dieeinfache Energiemomenta enthalten, die durch Vakuum, Elektromagnetismus und Superfluide gegeben ist, siehe Stephani et al., (2003), für inhomogene kosmologische Lösungen (definiert als solche, die eines der unten diskutierten FLRW-Modelle als Sonderfall enthalten) siehe Krasi$\acute{\rm n}$ski (1997) und für detaillierte Erhebungen einiger spezieller Klassen siehe Griffiths (1991) und Belinskii und Verdaguer(2001).
Für physikalische Interpretationen der viele wichtige Lösungen seeBi$\check{\rm c}\acute{\rm a}$k (2000) und Griffiths und Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Es sollte beachtet werden, dass eine genaue Lösung nicht notwendigerweise aeinique Interpretation., Zum Beispiel kann die Schwarzschild-Lösung unter den später gegebenen Beispielen so interpretiert werden, dass sie entweder den äußeren Bereich einer sphärischen Masse oder den Interaktionsbereich nach der Kollision zweier Partikelflugzeugwellen darstellt. Ein verwandter Punkt ist, dass verschiedene Quellen zu derselben genauen Lösung führen können.
Einsteins Gleichungen
Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinert Newtons Gravitationstheorie auf eine mit spezieller Relativitätstheorie kompatible., Es modelliert Raum – und Zeitpunkte als (pseudo-)riemannsche vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit ametric \(g_{ab}\) der Signatur \(\pm 2\) (die Zeichenauswahl istkonventionell). Es wird angenommen, dass sich die Testteilchen auf der geodätischen Ebene bewegen, und die Gezeitengravitationskräfte werden durch ihre Krümmung beschrieben.
Die Gleichungen wurden in Form einer Koordinatenbasis eingeführt, werden jedoch häufig in der Form geschrieben, die durch die Annahme eines Tetrads (Achoice der Basis des Tangentenvektorraums, dessen Basisvektoren konstante Skalarprodukte haben) oder in Form des Spinkoeffizienten-Formalismus erhalten wird.,
Weil man von einem anderen Satz von charakterisierenden Annahmen ausgeht, die in unterschiedlichen Koordinaten zur gleichen Lösung führen können, ist das „Äquivalenzproblem“ der Entscheidung, wann zwei Mannigfaltigkeiten (lokal) dersam sind, dh isometrisch, von Bedeutung. Dies ist formal unentschlossenaber in der Praxis kann normalerweise mit Methoden gelöst werden, die auf Ideasof Cartan basieren (siehe Kapitel 9 von Stephani et al. (2003)).,
Die gleichen Gleichungen (mutatis mutandis) wurden in höheren Dimensionen (siehe Schwarzer Ring) mit einigen der gleichen Techniken verwendet und gelöst, aber bisher wurde nur sehr wenig von der gesamten Landschaft möglicher Lösungen in 5 oder mehr Dimensionen untersucht.
Die Gleichungen nachvollziehbar machen
Autoren nehmen manchmal eine metrische Form an und verwenden Eq. (1) tocalculate der Energie-Impuls – (das ist der veralteten \(g\)-Methode beschrieben bySynge (1971)). Da keine Gleichung tatsächlich gelöst ist, verdient das Ergebnis nicht, als Lösung bezeichnet zu werden., Genaue Lösungen werden jedoch allgemein durch weniger extreme Vereinfachungsformen erzielt, die für eine gegebene Form des Energieimpulses automatisch sicherstellen können, dass einige der Gleichungen wahr sind, während andere gelöst werden müssen.
Symmetriegruppen
Lösungen, die durch solche Annahmen erhalten werden, fallen unter Teil II vonstephani et al. (2003): siehe auch Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) und Bolejko et al (2010).,
“ Algebraisch spezielle “ Lösungen
Ein Weyl-Tensor ohne Null hat die Eigenschaft,dass es vier „principal null directions“ (PNDs) gibt, die durch Nullvektoren definiert sind, die\bc}k^bk^c=0 gehorchen.Die algebraische Struktur des Weyl-Tensors wird dann dadurch charakterisiert, ob zwei oder mehr PNDs zusammenfallen. Wenn mindestens zwei dies tun, dann wird vorausgesetzt, dass ein geeigneter Energieimpuls angenommen wird, kann der metrische Tensor vereinfacht werden., Solche Raumzeiten werden als „algebraisch speziell“ bezeichnet undkann durch die Anzahl zufälliger Formen in die Petrov-Typen eingeteilt werden: Die Einzelheiten der möglichen Fälle sind im Artikel über den Spin-Koeffizienten-Formalismus angegeben. Für die Energiemomenta, die normalerweise in solchen Raumzeiten berücksichtigt wird, ist das Vektorfeld des wiederholten PND geodätisch und shearfree durch den Kundt-Thompson-Satz, der (siehe Stephani etal (2003), Satz 7.5) den Goldberg-Sachs-Satz verallgemeinert. Wenn nur zwei PNDs zusammenfallen, ist die Raumzeit von Petrov Typ II., In dem Artikel über den Spin-Koeffizienten-Formalismus wird das Beispiel vondie Robinson-Trautman-Lösungen (Petrov-Typ-II-Metriken, bei denen die Anzahl wiederholter PNDs verdrehungsfrei ist) werden im Detail abgeleitet.
Die bekannten algebraisch speziellen Lösungen behandelt in Teil III ofStephani et al. (2003). Es gibt natürlich eine Überlappung mit Lösungen, die durch die Annahme von Symmetriegruppen erreicht werden. Zum Beispiel sind alle sphärisch -symmetrischen Lösungen vom Petrov-Typ D oder, als Sonderfall, konformflat.,
Andere vereinfachende Annahmen
Einige andere Spezialisierungen von Interesse ergeben sich aus den folgenden Annahmen
- Es gibt konstante Vektor-oder Tensorfelder
- die Krümmung ist rezidivierend, komplex rezidivierend oder symmetrisch (dies sind Bedingungen, an denen z.,, \(R_{abcd;e}\))
- Es gibt einen Killing-oder Killing-Yano-Tensor
- Die Raumzeit erlaubt konforme Bewegungen oder Kollineationen (Vektorfelder, die eine Transformation erzeugen, unter der die Metrik einem Vielfachen von sich selbst oder der Krümmung zugeordnet ist)
- Die Raumzeit enthält Oberflächen mit speziellen Eigenschaften (z. B. flache dreidimensionale Scheiben)
- Die Raumzeit hat spezielle Einbettungseigenschaften
Ein besonders häufiger Fall ist, wenn es eine konforme Bewegung fürdas Vielfache ist eine Konstante: solche Transformationen werden genannthomotheties., Ihre generierenden Vektorfelder gehorchen\wobei \(C\) eine Konstante ist. Eine beträchtliche Anzahl bekannter Lösungen gibt Homotheties zu, obwohl viele davon entdeckt wurden, ohne dass die Homothety angenommen wurde.
Lösen der Gleichungen
Sobald man die Metrik vereinfacht und einen geeigneten Energie-Impuls-Tensor eingeführt hat, bilden die verbleibenden nicht-trivialen Gleichungenein System von Differentialgleichungen (oder im Fall von Spacetimehomogenität, algebraische Gleichungen). Es gibt keinen allgemeinen Algorithmus füralle Fälle, aber einige Methoden, die in anderen Bereichen verwendet werden, haben sich als nützlich erwiesen.,
Die Punktsymmetrien des Gleichungssystems sind zwar in vielen Situationen nützlich (siehe z. B. Stephani (1989) oder Olver (1986)), reduzieren sich jedoch normalerweise im Raumzeitkontext auf Diffeomorphismen der Mannigfaltigkeit(nur sagen, dass die Ergebnisse koordinateninvariant sind) oder auf isometrische oder homothetische Bewegungen. Es gibt jedoch Fälle (z. B. sphärisch symmetrische Shearfree Perfect Fluids), in denen Liepoint-Symmetrien bei der Suche nach exakten Lösungen hilfreich waren. Generalisierte Symmetrien, Verlängerung und Linearisierung können ebenfalls hilfreich sein.,
Insbesondere Lösungen mit zwei pendelnden Abtötungsvektoren (die auf zweidimensionale oder zeitähnliche Oberflächen einwirken und Materie mit geeignetem Energieimpuls enthalten) sind Methoden aus der Theorie integrierbarer Systeme zugänglich, wie harmonische Karten (potentielle Raumsymmetrien), Bäcklund-Transformationen, inverse Streuung, andRiemann-Hilbert-Probleme. So können beispielsweise alle stationären Axisymmetricvacuum-Raumzeiten mit solchen Erzeugungstechniken aus dem flachen Raum gewonnen werden. Zu den Ergebnissen gehören solitonische Lösungen.,
Einige wichtige Lösungen
Es sind sehr viele Lösungen bekannt, wie aus den in der Zusammenfassung zitierten Referenzen hervorgeht, von denen viele physisch nicht vollständig interpretiert wurden. Die Metrik in geschlossener Form zu kennen, Aufklärungvon seinen physikalischen Eigenschaften kann immer noch schwierig sein (siehe Griffiths und Podolsk$\rm{\rm y}$ (2009)):Zum Beispiel können die geodätischen Gleichungen, deren Lösungen die Möglichkeit gebenrückstände von Testteilchen und Lichtstrahlen, können auch für einfache hartnäckig seinmetrik. Zu den wichtigsten Lösungen zählen nun die kürzeren., (Beachten Sie, dass die ausgewählten Lösungen zwar alle algebraisch spezifisch und einige sphärisch sind, dies jedoch bei weitem nicht für alle Lösungen der Fall ist.) Die Originalpapiere, in denen die ausgewählten Lösungen zuerst abgeleitet wurden, sind alle ohne weiteres verfügbar und wurden mit Ausnahme des ersten Plane Waves-Papiers in die „Golden Oldies“ – Serie aufgenommen.
Die Schwarzschild-und Kerr-Lösungen
Die Schwarzschild-Metrik ist die einzigartige externe Lösung für einen kugelsymmetrischen Körper in einem umgebenden leeren Raum., Dies legt nahe, dass die Allgemeine Relativität mit der newtonschen Schwerkraft die Eigenschaft teilt, dass das äußere Feld eines kugelförmigen Körpers nur von seiner Gesamtmasse und nicht von der radialen Verteilung der Materie abhängt. Die Interpretation der Lösung als dieselbe wie die einer Punktmasse in der Mitte ist jedoch unbefriedigend, da die obige Form nur in \(r>2m\) geeignet ist. In den frühen Jahren nach der Entdeckung der Lösung war den Forschern nicht klar, ob \(r=2m\), wobei die Metrik von Eq. (5) hat eindeutig einen singulären Koeffizienten, der eine wahre Singularität darstellt., Es ist nun klar, dass es sich um einen“ Ereignishorizont “ handelt, die Grenze eines Schwarzen Lochs, und dass die vollständige analytische Fortsetzung der Lösung bei \singular ist(r=0\). Für historische Informationen finden Sie unter Eisenstaedt (1982) und für eine Allgemeine Diskussion von globalen Eigenschaften spacetimes, einschließlich derer, die hier diskutiert, siehe Hawking und Ellis (1973). Die Schwarzschild-Lösung lieferte ein Muster für spätere Untersuchungen von Singularitäten und Schwarzen Löchern.
Die Einzigartigkeit dieser Lösung zeigt, dass die allgemeine Relativitätstheorie keine monopolaren Gravitationswellen zulässt., Es ist auch die Annäherung der niedrigsten Ordnung an das Feld realer astronomischer Körper wie Erde und Sonne. Die Berechnung der Geodäsie auf diesem Gebiet hat genaue Vorhersagen der Lichtbiegung durch die Sonne und des Fortschritts des Perihels von Merkur ermöglicht, zwei der „klassischen Tests“ der allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Schwarzschild-Lösung ist ein Sonderfall der Kerr-Lösung (gefunden 1963), die das äußere Feld eines rotierenden Schwarzen Lochs darstellt. Dies kann als Instanz von Eq geschrieben werden. (4) mit \(e=g=l=\Lambda=0\) und es ist üblich, \(a^2:=\gamma\) zu schreiben., Das Verhältnis von Spin zu Masse(in geometrisierten Einheiten) ist dann \(a/m\). Die Schwarzschild-und Kerr-Lösungen bilden den Hintergrund für Untersuchungen der Physik auf dem Gebiet der Schwarzen Löcher, die zur Modellierung von Röntgen-Binärquellen und aktiven galaktischen Kernen in der Astronomie verwendet werden. Beobachtungen der Strahlung von Materie in der Nähe von Schwarzen Löchern lassen den Schluss zu, dass astronomische Schwarze Löcher mit \(a/m > 0.95\): siehe Schwarze Löcher.
Die Schwarzen Löcher Schwarzschild und Kerr können leicht verallgemeinert werden, um elektromagnetische Ladungen ungleich Null einzuschließen und (unter Verwendung von Eq., (4) zum Beispiel) ungleich Null \(l\) und \(\Lambda\). Es gibt Einzigartigkeitssätze, die (mit einigen technischen Einschränkungen) zeigen, dass diese Familien die einzigartigen stationären Schwarzen Löcher mit kugelförmiger Topologie eines nicht singulären Ereignishorizonts sind.
Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) – Lösungen
Diese Lösungen geben die geometrie des „standard-Modell“ in der modernen kosmologie, und somit der hintergrund für eine enorme Anzahl von Papieren studieren kosmologische Physik, einschließlich der Störungen der Lösungen., Ihre Geometrie wurde in den 1930er Jahren von Robertson und Walker unabhängig voneinander geklärt, und die am häufigsten verwendeten spezifischen Lösungen wurden in den 1920er Jahren von Friedmann und Lemaître gefunden: daher der lange Name.
Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) – Lösungen
Diese sphärisch symmetrischen Lösungen sind die Lösungen für Eq. (2) enthält „Staub“ (eine perfekte Flüssigkeit mit \(p=0\)) mit \(\Lambda=0\). Sie verallgemeinern die FLRW-Lösungen für Staub zu inhomogenen Lösungen., Da angenommen wird, dass Staub gegenwärtig eine angemessene Darstellung des Materiegehalts des Universums im großen Maßstab darstellt, wurden LTB-Lösungen häufig verwendet, um genaue Modelle von Strukturen im Universum bereitzustellen (siehe Bolejko et al (2010)). Sie enthalten als Sonderfälle sowohl die Schwarzschild-als auch die Dust FLRW-Lösungen.
Ebene Wellen
Diese Raumzeiten liefern ein wichtiges Beispiel für unerwartete globale Struktur., Wenn man eine ebene Welle zu flachen Räumen auf beiden Seiten eines Bereichs von \(u\) verbindet und eine „Sandwich-Welle“ bildet, dann fokussiert sich der Lichtkegel von einem Punkt auf der einen Seite auf der anderen Seite, wie von Penrose (1965) gefunden. Die Sandwichwellenstruktur löste die Frage, ob die Gravitationswellen, die Einstein zuerst anhand von Approximationen fand, nur Koordinateneffekte sein könnten: Bondi, Pirani und Robinson (1959) zeigten, dass freie Testteilchen durch Passage durch den Wellenbereich relativ beschleunigt werden, was bedeutet, dass die Welle Energie tragen muss.,
Ebenenwellen sind die erste Näherung für Gravitationsstrahlung weit weg von einer Quelle in einem ansonsten leeren Raum. Sie sind ein Sonderfall der allgemeineren pp-Wellen, Lösungen mit einem kovariant konstanten Null-Tötungsvektor, die flugzeugfrontale Gravitationswellen mit parallelen Strahlen neu erfinden und 1925 von Brinkman gefunden wurden. Diese ganze Klasse ist vom Petrov-Typ N (alle vier PNDs stimmen überein) oder konform flach.
Die Taub-NUT-Familie
Taub-NUT-Raumzeit hat sehr unerwartete globale Eigenschaften., Die NUTregion enthält geschlossene zeitähnliche Linien und keine sinnvollen Cauchy-Flächen, es gibt zwei ungleiche maximale analytische Erweiterungen deretaub-Region (oder eine Nicht-Hausdorff-Manifold mit beiden Erweiterungen), thespacetime ist im Sinne einer Krümmungssingularität unsingular und es gibt Geodäten mit endlicher affiner Parameterlänge. Diese Eigenschaften führten zum Titel von Misners 1963-Papier (einige dieser Eigenschaften werden von theother Taub-NUT Metrics geteilt)., Die Lösung hatte großen Einfluss auf die Untersuchung von exakten Lösungen und kosmologischen Modellen, die räumlich homogen sind, und allgemein auf solche, die überflächenhomogen und selbstähnlich sind, auf die Kosmologie im Allgemeinen und auf unser Verständnis globaler Analysen und Gesetzmäßigkeiten in Weltraumzeiten.
Belinski, V A und Verdaguer, E (2001). Gravitationssolitonen. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J. (1982). Histoire et Singularitäten de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Bogen. Hist. Exact Sci. 27: 157-198.
Ellis G F R Madsen, M (1991)., Genaue Skalare Feld kosmologien. Klasse. Quant. Grav. 8: 667-676.
Griffiths, J B (1991). Kollidierende ebene Wellen im Allgemeinen Relativität. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, S W und Ellis, G F R (1973). Die großräumige Struktur der Raum-Zeit. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi$\acute{\rm n}$ski, Ein (1997). Inhomogene kosmologische Modelle. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). Anwendungen von Lügengruppen auf Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., Eine Bemerkenswerte Eigenschaft von Ebenen Wellen in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Rev. Mod. Phys. 37: 215.
Sciama, D W; Waylen, P C und Gilman, R C (1969). Allgemein kovariante Integralformulierung von Einsteinschen Feldgleichungen. Körperliche Überprüfung A 187: 1762.
Stephani, H. (1989). Differentialgleichungen-Ihre Lösungen mit Symmetrien. Cambridge University Press, Cambridge.
zum Beispiel Synge, J L (1971). Relativität: die allgemeine Theorie. Nord-Holland, Dordrecht.
Siehe auch
Schwarzes Loch, Schwarzer Ring, Kosmologische Konstante, Allgemeine Relativität, Spinkoeffizient Formalismus