en analogía con la fórmula de medio entero,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n-2 ) ! ! ! 3 N Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4) (4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligned}}}
donde n!(p) denota la pth multifactorial de n. Numéricamente,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\aprox 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\aprox 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\aprox 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\aprox 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\aprox 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\aprox 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
Se desconoce si estas constantes son trascendentales en general, pero Γ (1/3) y Γ(1/4) fueron demostradas como trascendentales por G. V. Chudnovsky. Γ (1/4) / 4√π también ha sido conocido por ser trascendental, y Yuri Nesterenko demostró en 1996 Que Γ (1/4), π y en son algebraicamente independientes.,
El número Γ (1/4) está relacionado con la constante de Gauss G por
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G {\sqrt {2 \ pi ^{3}}}}},}
y Gramain ha conjeturado que
Γ ( 1 4) = 4 π 3 e 2 γ-δ + 1 4 {\displaystyle \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
donde δ es la constante de Maser-Gramain OEIS: A086058, aunque. indica que esta conjetura es falsa.,
Borwein Zucker y han encontrado que Γ(n/24) se puede expresar algebraicamente en términos de π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)), y K(k(6)), donde K(k(N)) es una integral elíptica completa de primera especie. Esto permite aproximar eficientemente la función gamma de argumentos racionales a alta precisión usando iteraciones de media aritmética–geométrica cuadráticamente convergentes. No se conocen relaciones similares Para Γ (1/5) u otros denominadores.,
En particular, donde AGM() es la media aritmética–media geométrica, tenemos
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\derecho)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Otras fórmulas incluyen el infinito productos
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
y
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
donde a es la Glaisher–Kinkelin constante y G es el catalán es constante.,
Las dos representaciones siguientes Para Γ(3/4) fueron dadas por I., k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\derecho)}
y
π 2 1 Γ 2 ( 3 de 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , e − π ) e 2 k π 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
donde ϑ1 y ϑ4 son dos de los Jacobi funciones theta.,