curador: Malcolm A. H. MacCallum
soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein
la Relatividad General de Einstein es la teoría líder del espacio-tiempo no lineal. Las soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein modelan así los sistemas gravitatorios y permiten la exploración de las matemáticas y la física de la teoría.,
contenido
- 1 Resumen
- 2 ecuaciones de Einstein
- 3 Hacer las ecuaciones manejables
- 3.1 grupos de simetría
- 3.2 soluciones «algebraicamente especiales»
- 3.3 otras suposiciones simplificadoras
- 4 resolver las ecuaciones
- 5 algunas soluciones importantes
- 5.1 las soluciones Schwarzschild y Kerr
- 5.2 las soluciones Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (flrw)
- 5.3 soluciones Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
- 5.4 ondas planas
- 5.,5 la familia Taub-NUT
- 6 Referencias
- 7 Ver también
resumen
Las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general son 10 Ecuaciones diferenciales no lineales en 4 variables independientes. Este complicado sistema no puede ser generalmente integrado, aunque ha sido reformulado como una ecuación integral auto-acoplada (Sciama, Waylen y Gilman, 1969). Se pueden utilizar aproximaciones analíticas y numéricas para explorar situaciones físicas. Las soluciones exactas, aunque obtenidas imponiendo suposiciones simplificadoras, complementan tales enfoques de varias maneras., Encarnan la no linealidad completa, permitiendo el estudio de regímenes de campo fuertes; proporcionan antecedentes sobre los cuales se pueden construir aproximaciones perturbativas; y permiten verificar la exactitud numérica.
el término ‘solución exacta’ no está bien definido: generalmente significa una solución donde todas las cantidades se expresan por funciones elementales o las funciones especiales bien conocidas, pero a veces se extiende para incluir soluciones conocidas solo hasta la solución de una o más ecuaciones diferenciales., Las soluciones exactas conocidas se obtienen a partir de una amplia variedad de suposiciones, la más importante de ellas es laimposición de grupos de simetría o formas especiales del curvaturetensor. Entre las soluciones conocidas, algunas han sido de particularimportancia física o matemática.
una serie de libros proporcionan encuestas de soluciones exactas, y deben ser consultados si se desean detalles más completos. Para un estudio general de las soluciones que contienen elmple momento energético dado por el vacío, el electromagnetismo y los fluidos perfectos, ver Stephani et al., (2003), Para soluciones cosmológicas no homogéneas (definidas como aquellas que contienen como caso especial uno de los modelos FLRW discutidos más adelante) ver Krasi ski\acute{\rm N} ski ski (1997), y para estudios detallados de algunas clases especiales ver Griffiths(1991) y Belinskii y Verdaguer (2001).
para interpretaciones físicas de muchas soluciones importantes seeBi se \ check {\rm c} \ acute {\rm a} k k (2000) y Griffiths y Podolsk\\acute {\rm y}. (2009). Cabe señalar que una solución exacta no tiene necesariamente una interpretación única., Por ejemplo, entre los ejemplos dados más tarde, la solución de Schwarzschild puede interpretarse como que representa la región exterior de una masa esférica, o la región de interacción después de la colisión de dos ondas de avión particulares. Un punto relacionado es que diferentes fuentes pueden dar lugar a la misma solución exacta.
las ecuaciones de Einstein
La teoría de la relatividad general de Einstein generaliza la teoría de la gravedad de Newton a una compatible con la relatividad especial., Modela los puntos de espacio y tiempo como una variedad (pseudo)riemanniana de cuatro dimensiones con ametric \(g_{ab}\) de signature \(\pm 2\) (la opción de signo es convencional). Se supone que las partículas de prueba se mueven en la geodésica de esta variedad y las fuerzas gravitacionales de marea son descritas por su supervivencia.
Las ecuaciones se han introducido en términos de una base de coordenadas, pero se escriben con frecuencia en la forma obtenida asumiendo una tétrada (una opción de base del espacio vectorial tangente cuyos vectores base tienen productos escalares constantes), o en términos del formalismo del coeficiente de espín.,
debido a que partiendo de un conjunto diferente de supuestos de caracterización uno puede llegar a la misma solución en coordenadas diferentes, el «problema de equivalencia» de decidir cuando dos variedades son (localmente) el mismo, es decir, isométrico, es de importancia. Esto es formalmente indecible, pero en la práctica generalmente se puede resolver usando métodos basados en ideas de Cartan (ver capítulo 9 de Stephani et al. (2003)).,
las mismas ecuaciones (mutatis mutandis) se han utilizado y resuelto en dimensiones superiores (ver anillo negro), con algunas de las mismas técnicas, pero hasta ahora muy poco del panorama completo de posibles soluciones en 5 o más dimensiones se ha explorado.
haciendo que las ecuaciones sean manejables
Los autores a veces asumen una forma métrica y usan Eq. (1) para calcular el momento-energía(Este es el método en desuso \(g\) descrito por synge (1971)). Dado que ninguna ecuación se resuelve realmente, el resultado no merece ser llamado una solución., Sin embargo, las soluciones exactas se obtienen generalmente mediante formas de simplificación menos extremas que, en una forma determinada de impulso energético, pueden garantizar automáticamente que algunas de las consecuencias sean verdaderas mientras que otras quedan por resolver.
grupos de simetría
Las soluciones obtenidas por tales supuestos están cubiertas por la Parte II de Stephani et al. (2003): Véase también Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) y Bolejko et al (2010).,
soluciones «algebraicamente especiales»
un tensor de Weyl distinto de cero tiene la propiedad de que hay cuatro «direcciones nulas principales» (PNDs),definidas por vectores nulos que obedecen a\bc}K^bk^c=0.\] La estructura algebraica del tensor de Weyl se caracteriza por si dos o más de los PNDs coinciden. Cuando al menos dos lo hacen, entonces,se asume un momento de energía adecuado, el tensor métrico puede simplificarse., Estos tiempos espaciales se conocen como «algebraicamente especiales», y pueden clasificarse en los tipos de Petrov por el número de pdn coincidentes: los detalles de los posibles casos se dan en el artículo sobre el formalismo del coeficiente de espín. Para los momentos de energía generalmente considerados en tales tiempos espaciales, el campo vectorial del PND repetido es geodésico y sin piel por el teorema de Kundt-Thompson, que (Véase Stephani etal (2003), teorema 7.5) generaliza el teorema de Goldberg-Sachs. Cuando solo dos PNDs coinciden, el espacio-tiempo isof Petrov tipo II., En el artículo sobre el formalismo del coeficiente de espín se deriva en detalle el ejemplo de las soluciones Robinson-Trautman (métricas de Petrov tipo II en las que el campo de los PNDs repetidos es libre de giros).
las soluciones algebraicamente especiales conocidas se discuten en la Parte III de Stephani et al. (2003). Hay naturalmente una superposición con las soluciones obtenidas asumiendo grupos de simetría. Por ejemplo, todas las soluciones simétricas esféricas son de Petrov Tipo D o, como caso especial, conformalmenteflat.,
otras suposiciones simplificadoras
algunas otras especializaciones de interés surgen de las siguientes suposiciones
- Existen campos constantes de vectores o tensores
- La curvatura es recurrente, compleja recurrente o simétrica (estas son condiciones on, E. G.,, \(R_{abcd;e}\))
- there is a Killing or Killing-Yano tensor
- El espacio-tiempo admite movimientos conformales o colineaciones (campos vectoriales que generan una transformación bajo la cual la métrica se asigna a un múltiplo de sí mismo o la curvatura a sí mismo)
- El espacio-tiempo contiene superficies con propiedades especiales (por ejemplo, cortes planos tridimensionales)
- El espacio-tiempo tiene propiedades especiales de incrustación
A el caso particularmente común es cuando hay un movimiento conforme para el cual el múltiplo es una constante: tales transformaciones se llaman Homotetias., Sus campos vectoriales generadores obedecen a\donde \(C\) es una constante. Un número significativo de soluciones conocidas admiten homotetias, aunque muchas de ellas fueron descubiertas sin la presencia de homotetias.
resolviendo las ecuaciones
Una vez que se ha simplificado la métrica y se ha introducido un tensor de impulso energético adecuado, las ecuaciones no triviales restantes formarán un sistema de ecuaciones diferenciales (o en el caso de la homogeneidad espacial, ecuaciones algebraicas). No existe un algoritmo general para todos los casos, pero algunos métodos utilizados en otras áreas han demostrado ser útiles.,
simetrías de punto de Lie del sistema de ecuaciones, aunque útiles en muchas situaciones (Véase, por ejemplo, Stephani (1989) u Olver(1986)), generalmente reducen en el contexto espacio-tiempo a difeomorfismos de la variedad (simplemente diciendo que los resultados son invariantes de coordenadas) o movimientos toisométricos u homotéticos. Sin embargo, hay casos (por ejemplo, fluidos perfectos sin piel esféricamente simétricos) donde las simetrías de Liepoint han sido útiles para encontrar soluciones exactas. Las simetrías generalizadas, la prolongación y la linealización también pueden ser de ayuda.,
en particular, las soluciones con dos vectores de muerte conmutados (que actúan sobre superficies bidimensionales similares al espacio o al tiempo), y que contienen materia con un momento de energía adecuado, son susceptibles a los métodos de la teoría de sistemas integrables, tales como mapas armónicos (simetrías espaciales potenciales), transformaciones de Bäcklund, dispersión inversa, problemas de andRiemann-Hilbert. Por ejemplo, todos los espacios estacionarios axisymmetricvacuum se pueden obtener utilizando tales técnicas de generación comenzando desde el espacio plano. Entre los resultados se encuentran soluciones solitónicas.,
algunas soluciones importantes
se conocen muchas soluciones, como se mostrará la lectura de las referencias citadas en el resumen, y muchas de ellas no se han interpretado físicamente por completo. Conociendo la métrica en forma cerrada, elucidación de sus propiedades físicas todavía puede ser difícil (ver Griffiths y Podolsk\\acute {\rm y}$(2009)):por ejemplo, las ecuaciones geodésicas, cuyas soluciones dan las posibles tracks de partículas de prueba y rayos de luz, pueden ser intratables incluso para simplemetrics. Entre las soluciones más importantes se encuentran las que ahora se describen brevemente., (Tenga en cuenta que aunque las soluciones seleccionadas son todas algebraicallyspecial y varias son esfericallysymmetric, esto está lejos de ser el caso para todas las soluciones.) Los documentos originales en los que las soluciones seleccionadas se derivaron por primera vez están disponibles, teniendo, a excepción del primer papel de ondas planas, se incluyeron en la Serie «Golden Oldies».
las soluciones de Schwarzschild y Kerr
la métrica de Schwarzschild es la solución externa única para un cuerpo esféricamente simétrico en un espacio vacío circundante., Esto sugiere que la relatividad general comparte con la gravedad newtoniana la propiedad de que el campo externo de cualquier cuerpo esférico depende solo de su masa total y no de la distribución radial de la materia. Sin embargo, la interpretación de la solución como la misma que la de una masa puntual en el centro no es satisfactoria porque la forma anterior solo es adecuada en \(r>2m\). En los primeros años después del descubrimiento de la solución, los investigadores no estaban claros Si \(r=2M\), donde la métrica de Eq. (5) claramente tiene un coeficiente singular, representado una verdadera singularidad., Ahora se entiende bien que es un» horizonte de eventos», el límite de un agujero negro, y que la continuación analítica completa de la solución es singular en \(r=0\). Para Información histórica ver Eisenstaedt (1982) y para una discusión general de las propiedades globales de los tiempos espaciales, incluyendo las discutidas aquí, ver Hawking y Ellis (1973). La solución de Schwarzschild proporcionó un patrón para investigaciones posteriores de singularidades y de agujeros negros.
la singularidad de esta solución muestra que la relatividad General no admite ondas gravitacionales monopolares., También es la aproximación de orden más bajo al campo de cuerpos astronómicos reales como la Tierra y el sol. El cálculo de geodésicas en este campo ha permitido predicciones precisas de la flexión de la luz por el sol y el avance del perihelio de Mercurio, dos de las «pruebas clásicas» de la teoría de la relatividad general.
La solución de Schwarzschild es un caso especial de la solución de Kerr (encontrada en 1963) que representa el campo externo de un agujero negro giratorio. Esto se puede escribir como una instancia de Eq. (4) con \(e=g=l=\Lambda=0\) y es habitual escribir \(a^2:=\gamma\)., La relación entre espín y masa (en unidades geometrizadas) es entonces \(a/m\). Las soluciones de Schwarzschild y Kerr proporcionan la base para los estudios de la física en el campo de los agujeros negros, que se utilizan en el modelado de fuentes binarias de rayos X y núcleos galácticos activos en astronomía. Las observaciones de la radiación de la materia cerca de agujeros negros nos permiten inferir que hay agujeros negros astronómicos con \(A/M > 0.95\): véase agujeros negros.
Los agujeros negros de Schwarzschild y Kerr pueden generalizarse fácilmente para incluir cargas electromagnéticas no nulas y (usando Eq., (4) por ejemplo) no-cero \(l\) y \(\Lambda\). Hay teoremas de unicidad que muestran (con algunas advertencias técnicas) que estas familias son los únicos agujeros negros estacionarios con topología esférica de un horizonte de eventos no singular.
las soluciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)
estas soluciones dan la geometría del «modelo estándar» en la cosmología moderna, y por lo tanto proporcionan el fondo para un enorme número de artículos que estudian la física cosmológica, incluidas las perturbaciones de las soluciones., Su geometría fue aclarada por Robertson y Walker, independientemente, en la década de 1930, y las soluciones específicas más utilizadas fueron encontradas por Friedmann y Lemaître en la década de 1920: de ahí el nombre largo.
soluciones Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
estas soluciones esféricamente simétricas son las soluciones para Eq. (2) que contiene «polvo» (un fluido perfecto con \(p=0\)) con \(\Lambda=0\). Generalizan las soluciones FLRW para polvo a soluciones no homogéneas., Dado que se cree que el polvo es una representación apropiada del contenido de materia del universo a gran escala en la actualidad, las soluciones LTB se han utilizado mucho para proporcionar modelos exactos de estructuras en el universo (Véase Bolejko et al (2010)). Contienen como casos especiales las soluciones Schwarzschild y dust FLRW.
ondas planas
estos tiempos espaciales proporcionan un ejemplo importante de estructura global inesperada., Si uno une una onda plana a espacios Planos a cada lado de algún rango de \(u\), formando una «onda sándwich», entonces el cono de luz de un punto en un lado se vuelve a enfocar en el otro lado, como encontró Penrose (1965). La estructura de onda sándwich resolvió el problema de si las ondas gravitacionales encontradas por primera vez, usando aproximaciones, por Einstein podrían ser simplemente efectos coordinados: Bondi, Pirani y Robinson (1959) mostraron que las partículas de prueba libres son relativamente aceleradas por el paso a través de la región de la onda, lo que implica que la onda debe transportar energía.,
Las ondas planas son la primera aproximación para la radiación gravitacional lejos de una fuente en un espacio vacío. Son un caso especial de las ondas pp más generales, soluciones con un vector de muerte nulo covariablemente constante que vuelve a emitir ondas gravitacionales con frente plano con rayos paralelos y que fue encontrado en 1925 por Brinkman. Toda esta clase es de Petrov tipo N (los cuatro PNDs coincidentes) o conformalmente plana.
la familia Taub-NUT
El espacio-tiempo Taub-NUT tiene propiedades globales muy inesperadas., La Nutregión contiene líneas cerradas similares al tiempo y no hay superficies sensibles de Cauchy, hay dos extensiones analíticas máximas inequivalentes de la región de Taub (o una variedad No-Hausdorff con ambas extensiones), el espacio tiempo es no singular en el sentido de una singularidad de curvatura, y hay geodésicas de longitud de parámetro afín finito. Estas propiedades dieron lugar al título del documento de Misner de 1963 (algunas de estas propiedades son compartidas por las otras métricas de Taub-NUT)., La solución tuvo una gran influencia en los estudios de soluciones exactas y modelos cosmológicos que son espacialmente homogéneos, y más generalmente en aquellos que son hipersuperficiales homogéneos y similares a sí mismos, en la cosmología en general, y en nuestra comprensión del análisis global y las singularidades en el espacio-tiempo.
Belinski, V A y Verdaguer, E (2001). Solitones gravitacionales. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Arco. Hist. Sci Exacta. 27: 157-198.
Ellis, G F R and Madsen, M (1991)., Cosmologías exactas del campo escalar. Clase. Quant. Grav. 8: 667-676. Griffiths, J B (1991). Colisionando ondas planas en la relatividad general. Oxford mathematical monographs. Oxford University Press, Oxford. Hawking, s W and Ellis, G F R (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi acute\acute{\rm n} ski ski, a (1997). Modelos cosmológicos no homogéneos. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., Una propiedad notable de las ondas planas en la relatividad general. Apo. Mod. Phys. 37: 215.
Sciama, D W; Waylen, P C and Gilman, R C (1969). Generalmente formulación integral covariante de las ecuaciones de campo de Einstein. Physical Review A 187: 1762. Stephani, H (1989). Ecuaciones diferenciales-sus soluciones usando simetrías. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relatividad: la teoría general. Holanda Septentrional, Dordrecht.
Véase también
Agujero Negro, Anillo Negro, constante cosmológica, relatividad General,formalismo de coeficiente de espín