El cálculo diferencial se utiliza para encontrar la tasa de cambio de una variable—en comparación con otra variable.
en el mundo real, se puede utilizar para encontrar la velocidad de un objeto en movimiento, o para entender cómo funcionan la electricidad y el magnetismo. Es muy importante para entender la física—y muchas otras áreas de la ciencia.
el cálculo diferencial también es útil para graficar., Se puede utilizar para encontrar la pendiente de una curva, y los puntos más altos y más bajos de una curva (estos se llaman el máximo y mínimo, respectivamente).
las Variables pueden cambiar su valor. Esto es diferente de los números, porque los números son siempre los mismos. Por ejemplo, el número 1 es siempre igual a 1, y el número 200 es siempre igual a 200. A menudo se escriben variables como letras como la letra x:» x » puede ser igual a 1 en un punto y 200 en otro.
algunos ejemplos de variables son la distancia y el tiempo, porque pueden cambiar., La velocidad de un objeto es lo lejos que viaja en un tiempo determinado. Entonces, si una ciudad está a 80 kilómetros (50 millas) de distancia y una persona en un automóvil llega allí en una hora, han viajado a una velocidad promedio de 80 kilómetros (50 millas) por hora. Pero esto es solo un promedio: tal vez viajaron más rápido en algunos momentos (por ejemplo, en una carretera), y más lento en otros momentos (por ejemplo, en un semáforo o en una pequeña calle donde vive la gente). Ciertamente, es más difícil para un conductor calcular la velocidad de un automóvil utilizando solo su odómetro (medidor de distancia) y reloj, sin un velocímetro.,
hasta que se inventó el cálculo, la única manera de resolver esto era cortar el tiempo en piezas cada vez más pequeñas, por lo que la velocidad promedio durante el tiempo más pequeño se acercaría más y más a la velocidad real en un punto en el tiempo. Este fue un proceso muy largo y duro, y tenía que hacerse cada vez que la gente quería trabajar en algo.
En una curva, dos puntos diferentes tienen diferentes pendientes. Las líneas rojas y azules son tangentes a la curva.,
un problema muy similar es encontrar la pendiente (qué tan empinada es) en cualquier punto de una curva. La pendiente de una línea recta es fácil de calcular – es simplemente cuánto sube o baja (y o vertical) dividido por cuánto atraviesa (x u horizontal). En una curva, sin embargo, la pendiente es una variable (tiene diferentes valores en diferentes puntos) porque la línea se dobla. Pero si la curva fuera a ser cortada en pedazos muy, muy pequeños, la curva en el punto se vería casi como una línea recta muy corta., Así que para calcular su pendiente, se puede dibujar una línea recta a través del punto con la misma pendiente que la curva en ese punto. Si esto se hace exactamente bien, la línea recta tendrá la misma pendiente que la curva, y se llama tangente. Pero no hay manera de saber (sin matemáticas complejas) si la tangente es exactamente correcta, y nuestros ojos no son lo suficientemente precisos para estar seguros de si es exacta o simplemente muy cercana.
lo que Newton y Leibniz encontraron fue una manera de calcular la pendiente (o la velocidad en el ejemplo de distancia) exactamente, usando reglas simples y lógicas., Dividieron la curva en un número infinito de piezas muy pequeñas. Luego eligieron puntos a cada lado del rango en el que estaban interesados y elaboraron tangentes en cada uno. A medida que los puntos se acercaban hacia el punto en el que estaban interesados, la pendiente se acercaba a un valor particular a medida que las tangentes se acercaban a la pendiente real de la curva. El valor particular al que se acercó fue la pendiente real.
Una imagen que muestra lo que x y x + h media de la curva.,
Los matemáticos han desarrollado esta teoría básica para hacer reglas de álgebra simples, que se pueden usar para encontrar la derivada de casi cualquier función.