discusión
aceleración constante
El cálculo es un tema matemático avanzado, pero hace que derivar dos de las tres ecuaciones de movimiento sea mucho más simple. Por definición, la aceleración es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Toma la operación en esa definición y revísala. En lugar de diferenciar la velocidad para encontrar la aceleración, integre la aceleración para encontrar la velocidad. Esto nos da la ecuación velocidad-tiempo., Si asumimos que la aceleración es constante, obtenemos la llamada primera ecuación de movimiento .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Invierte esta operación. En lugar de diferenciar la posición para encontrar la velocidad, integre la velocidad para encontrar la posición. Esto nos da la ecuación posición-tiempo para la aceleración constante, también conocida como la segunda ecuación de movimiento .,td>
⌡
A diferencia de la primera y segunda ecuaciones de movimiento, no hay ninguna manera obvia para derivar la tercera ecuación de movimiento (la que relaciona la velocidad a la posición) utilizando el cálculo., No podemos hacer ingeniería inversa a partir de una definición. Tenemos que jugar un truco bastante sofisticado.
la primera ecuación de movimiento relaciona la velocidad con el tiempo. Nos esencialmente derivada de este derivado…
| dv | = a |
| dt |
La segunda ecuación de movimiento se relaciona la posición a tiempo., Vino de este derivado…
| ds | = v |
| dt |
La tercera ecuación de movimiento se relaciona la velocidad a la posición. Por extensión lógica, éste debe venir de un derivado que se parece a esto…
| dv | = ? |
| ds |
¿Pero qué es igual? Bueno, nada por definición, pero como todas las cantidades que hace igual a sí mismo. También es igual a sí mismo multiplicado por 1., Usaremos una versión especial de 1 (dtdt) y una versión especial de álgebra (álgebra con infinitesimales). Mira lo que pasa cuando hacemos esto. Obtenemos una derivada igual a la aceleración (dvdt) y otra derivada igual a la inversa de la velocidad (dtds).,»2″> =
Next step, separation of variables., Junta cosas que son similares e intégrelas.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Sin embargo, realmente solo funcionó porque la aceleración era constante, constante en el tiempo y constante en el espacio. Si la aceleración variara de alguna manera, este método sería incómodamente difícil. Volveríamos a usar álgebra sólo para salvar nuestra cordura. No es que haya nada malo en eso. El álgebra funciona y vale la pena salvar la cordura.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Apliquémoslo a la situación con el nombre insólito-el tirón constante. No es mentira, así se llama. Tirón es la tasa de cambio de aceleración con el tiempo.
| j = | da |
| dt |
Esto hace que el tirón de la primera derivada de la aceleración, la segunda derivada de la velocidad, y la tercera derivada de la posición.,
| j = | da | = | d2v | = | d3s |
| dt | dt2 | dt3 |
La unidad SI de jerk es el metro por segundo en cubos.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
Una alternativa de unidad es la g por segundo.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Tirón no es sólo de algunos sabios culo físicos de la respuesta a la pregunta, «Oh, sí, así que ¿cómo se llama la tercera derivada de la posición?»Jerk es una cantidad significativa.
el cuerpo humano viene equipado con sensores para detectar la aceleración y el tirón., Situado en el interior de la oreja, integrado en nuestros cráneos, se encuentra una serie de cámaras llamadas el laberinto. Parte de este laberinto está dedicado a nuestro sentido del oído (la cóclea) y parte a nuestro sentido del equilibrio (el sistema vestibular). El sistema vestibular viene equipado con sensores que detectan la aceleración angular (los canales semicirculares) y sensores que detectan la aceleración lineal (los otolitos). Tenemos dos otolitos en cada oreja, uno para detectar la aceleración en el plano horizontal (el utrículo) y otro para detectar la aceleración en el lugar vertical (el sacculo)., Los otolitos son nuestros propios acelerómetros.
la palabra otolito viene del griego οτο (oto) para oreja y λιθος (lithos) para piedra. Cada uno de nuestros cuatro otolitos consiste en una placa dura en forma de hueso unida a una estera de fibras sensoriales. Cuando la cabeza se acelera, la placa se desplaza hacia un lado, doblando las fibras sensoriales. Esto envía una señal al cerebro diciendo «estamos acelerando.»Dado que la gravedad también tira de las placas, la señal también puede significar» esta manera está abajo.»El cerebro es bastante bueno para averiguar la diferencia entre las dos interpretaciones. Tan bueno, que tendemos a ignorarlo., Vista, sonido, olfato, gusto, tacto — ¿DÓNDE ESTÁ el equilibrio en esta lista? Lo ignoramos hasta que algo cambia de una manera inusual, inesperada o extrema.
nunca he estado en órbita o vivido en otro planeta. La gravedad siempre me tira hacia abajo de la misma manera. De pie, caminando, sentado, acostado-todo es bastante tranquilo. Ahora vamos a subirnos a una montaña rusa o participar en una actividad similar emocionante como esquí alpino, carreras de Fórmula Uno o ciclismo en el tráfico de Manhattan. La aceleración se dirige primero en una dirección, luego en otra. Incluso puede experimentar breves períodos de ingravidez o inversión., Este tipo de sensaciones generan una intensa actividad mental, por lo que nos gusta hacerlas. También nos agudizan y nos mantienen enfocados durante los posibles momentos finales de la vida, por lo que evolucionamos este sentido en primer lugar. Su capacidad de sentir tirón es vital para su salud y bienestar. Jerk es emocionante y necesario.
constant jerk es fácil de tratar matemáticamente. Como un ejercicio de aprendizaje, vamos a derivar las ecuaciones de movimiento para constante tirón. Usted es bienvenido a tratar problemas más complicados tirón si lo desea.
Jerk es la derivada de la aceleración., Deshacer ese proceso. Integrar tirón para obtener la aceleración en función del tiempo. Propongo que llamemos a esto la ecuación de zeroeth del movimiento para el tirón constante. La razón por la que será evidente después de que terminemos la siguiente derivación.,»c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integre la aceleración para obtener la velocidad en función del tiempo. Hemos hecho este proceso antes. Llamamos al resultado la relación velocidad-tiempo o la primera ecuación de movimiento cuando la aceleración era constante. Deberíamos darle un nombre similar. Esta es la primera ecuación de movimiento para el tirón constante.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integre la velocidad para obtener el desplazamiento en función del tiempo. Hemos hecho esto antes también. La relación desplazamiento-tiempo resultante será nuestra segunda ecuación de movimiento para el tirón constante.,v id=»2b78da115e»> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Cuando el tirón es cero, todos vuelven a las ecuaciones de movimiento para una aceleración constante. Cero tirón significa aceleración constante, por lo que todo está bien con el mundo que hemos creado. (Nunca dije que la aceleración constante fuera realista. Constant jerk es igualmente mítico. En el mundo hypertextbook, sin embargo, todas las cosas son posibles.)
¿a dónde vamos ahora? ¿Deberíamos trabajar en una relación velocidad-desplazamiento(la tercera ecuación de movimiento para el movimiento constante)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Ese no puede ser nuestro amigo. Por el momento, no puedo ser molestado. No se si resolver esto me diría algo interesante. Sé que nunca he necesitado una tercera o cuarta ecuación de movimiento para un tirón constante, todavía no. Dejo este problema a los Matemáticos del mundo.
Este es el tipo de problema que distingue a los físicos de los matemáticos. Un matemático no necesariamente se preocuparía por el significado físico y solo podría agradecer al físico por un desafío interesante., Un físico no necesariamente la atención acerca de la respuesta a menos que resultó ser útil, en cuyo caso el físico sin duda gracias al matemático por ser tan curioso.
constante nada
esta página de este libro no trata de movimiento con aceleración constante, o tirón constante, o chasquido constante, crujido o estallido. Se trata del método general para determinar las cantidades de movimiento (posición, velocidad y aceleración) con respecto al tiempo y entre sí para cualquier tipo de movimiento., El procedimiento para hacerlo es la diferenciación (encontrar la derivada)
- La derivada de la posición con el tiempo es velocidad (v = dsdt).
- La derivada de la velocidad con el tiempo es aceleración ( a = dvdt).
o integración (encontrar la integral)
- La integral de la aceleración en el tiempo es el cambio en la velocidad (v v = ∫a dt).
- La integral de la velocidad en el tiempo es el cambio de posición (∆s = ∫v dt).
así es como funciona. Alguna característica del movimiento de un objeto es descrita por una función., ¿Puedes encontrar la derivada de esa función? Eso le da otra característica del movimiento. ¿Puedes encontrar su integral? Eso te da una característica diferente. Repita cualquier operación tantas veces como sea necesario. Luego aplique las técnicas y conceptos que aprendió en cálculo y ramas relacionadas de las matemáticas para extraer más significado: rango, dominio, límite, asíntota, mínimo, máximo, extremo, concavidad, inflexión, analítico, numérico, exacto, aproximado, etc. He agregado algunas notas importantes sobre esto al resumen de este tema.,
