Diskussion
konstant acceleration
Calculus er en avanceret matematisk emne, men det gør der følger to af de tre bevægelsesligninger meget enklere. Per definition er acceleration det første derivat af hastighed med hensyn til tid. Tag operationen i denne definition og vend den om. I stedet for at differentiere hastighed for at finde acceleration, integrere acceleration for at finde hastighed. Dette giver os hastighed-tid ligningen., Hvis vi antager, at accelerationen er konstant, får vi den såkaldte første bevægelsesligning .,tr>
| t | |
| ⌠ ⌡ |
a dt |
| 0 |
Again by definition, velocity is the first derivative of position with respect to time., Vend denne operation. I stedet for at differentiere position for at finde hastighed, integrere hastighed for at finde position. Dette giver os position-tid ligningen for konstant acceleration, også kendt som den anden bevægelsesligning .,td>
⌡
I modsætning til første og anden bevægelsesligninger, der er ingen indlysende måde at udlede den tredje ligning af bevægelse (den ene, der vedrører velocity position) ved hjælp af calculus., Vi kan ikke bare omdanne det fra en definition. Vi er nødt til at spille et ret sofistikeret trick.
den første bevægelsesligning vedrører hastighed til tid. Vi hovedsageligt stammer det fra denne afledte…
| dv | = en |
| dt |
Den anden ligning af bevægelse vedrører holdning til tid., Det kom fra dette afledte…
| ds | = v |
| dt |
Den tredje ligning af bevægelse vedrører velocity position. Ved logisk udvidelse skal det komme fra et derivat, der ser sådan ud…
| dv | = ? |
| ds |
men hvad er det lige? Definition, men ligesom alle mængder svarer det til sig selv. Det svarer også til sig selv ganget med 1., Vi bruger en speciel version af 1 (dtdt) og en speciel version af algebra (algebra med infinitesimals). Se hvad der sker, når vi gør dette. Vi får et derivat svarende til acceleration (dvdt) og et andet derivat svarende til den inverse hastighed (DTDs).,”2″> =
Next step, separation of variables., Få ting, der ligner hinanden, og integrer dem.,35a8″>
⌡
Certainly a clever solution, and it wasn’t all that more difficult than the first two derivations., Det virkede dog kun, fordi accelerationen var konstant — konstant i tid og konstant i rummet. Hvis accelerationen varierede på nogen måde, ville denne metode være ubehageligt vanskelig. Vi ville være tilbage til at bruge algebra bare for at redde vores fornuft. Ikke at der er noget galt med det. Algebra værker og tilregnelighed er værd at gemme.,
| v = | v0 + at | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½at2 | |
| = | ||
| v2 = | v02 + 2a(s − s0) |
constant jerk
The method shown above works even when acceleration isn’t constant., Lad os anvende det på en situation med et usædvanligt navn — konstant rykk. Ingen løgn, det er hvad det hedder. Jerk er hastigheden for ændring af acceleration med tiden.
| j = | da |
| dt |
Dette gør ryk den første afledte af accelerationen, den anden afledede af hastigheden, og den tredje afledte af position.,
| j = | da | = | d2v | = | d3s |
| dt | dt2 | dt3 |
Den SI-enhed for ryk er meter per sekund kubik.
| ⎡ ⎢ ⎣ |
m/s3 | = | m/s2 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s |
En alternativ enhed er g per sekund.,
| ⎡ ⎢ ⎣ |
g | = | 9.80665 m/s2 | = 9.80665 m/s3 | ⎤ ⎥ ⎦ |
| s | s |
Jerk er ikke bare nogle kloge røv fysikere svar på spørgsmålet, “Oh yeah, så hvad du kalder den tredje afledte stilling?”Jerk er en meningsfuld mængde.
den menneskelige krop er udstyret med sensorer til at fornemme acceleration og rykk., Placeret dybt inde i øret, integreret i vores kranier, ligger en række kamre kaldet labyrinten. En del af denne labyrint er dedikeret til vores følelse af hørelse (cochlea) og en del af vores følelse af balance (det vestibulære system). Det vestibulære system er udstyret med sensorer, der registrerer Vinkelacceleration (de halvcirkelformede kanaler) og sensorer, der registrerer lineær acceleration (otolitterne). Vi har to otolitter i hvert øre-en til at detektere acceleration i vandret plan (utricle) og en til at detektere acceleration i lodret sted (saccule)., Otoliths er vores egne indbyggede accelerometre.
ordet otolith kommer fra det græske ο (((oto) for Øre og Lith…. (lithos) for sten. Hver af vores fire otolitter består af en hård knoglelignende plade fastgjort til en måtte af sensoriske fibre. Når hovedet accelererer, skifter pladen til den ene side og bøjer sensoriske fibre. Dette sender et signal til hjernen, der siger “vi accelererer.”Da tyngdekraften også trækker på pladerne, kan signalet også betyde” denne vej er nede.”Hjernen er ganske god til at finde ud af forskellen mellem de to fortolkninger. Så godt, at vi har tendens til at ignorere det., Syn, lyd, lugt, smag, berøring — hvor er balance i denne liste? Vi ignorerer det, indtil noget ændrer sig på en usædvanlig, uventet eller ekstrem måde.
Jeg har aldrig været i kredsløb eller boet på en anden planet. Tyngdekraften trækker mig altid ned på samme måde. Stående, gå, sidde, ligge — det hele er ret beroliget. Lad os nu hoppe i en rutsjebane eller deltage i en lignende spændende aktivitet som alpint skiløb, Formula One racing eller cykling i Manhattan trafik. Acceleration styres først på en måde og derefter en anden. Du kan endda opleve korte perioder med vægtløshed eller inversion., Disse slags fornemmelser genererer intens mental aktivitet, hvorfor vi kan lide at gøre dem. De skærper os også op og holder os fokuseret i løbet af muligvis livsendende øjeblikke, hvorfor vi udviklede denne forstand i første omgang. Din evne til at fornemme ryk er afgørende for dit helbred og velvære. Jerk er både spændende og nødvendigt.konstant rykk er let at håndtere matematisk. Som en læringsøvelse, lad os udlede bevægelsesligningerne for konstant rykk. Du er velkommen til at prøve mere komplicerede rykkeproblemer, hvis du ønsker det.
Jerk er derivatet af acceleration., Fortryd denne proces. Integrer jerk for at få acceleration som en funktion af tiden. Jeg foreslår, at vi kalder dette zeroeth-bevægelsesligningen for konstant rykk. Årsagen til, at det vil fremgå, når vi er færdige med den næste afledning.,”c3561135a8″>
⌡
⌡
| a − a0 = | jt | |
Acceleration is the derivative of velocity., Integrer acceleration for at få hastighed som en funktion af tiden. Vi har gjort denne proces før. Vi kaldte resultatet hastigheds – tidsforholdet eller den første bevægelsesligning, når accelerationen var konstant. Vi bør give det et lignende navn. Dette er den første bevægelsesligning for konstant rykk.,r>
⌡
⌡
| v − v0 = | a0t + ½jt2 | ||
Velocity is the derivative of displacement., Integrer hastighed for at få forskydning som en funktion af tiden. Vi har også gjort det før. Den resulterende forskydning-tid forhold vil være vores anden ligning af bevægelse for konstant ryk.,v id=”2b78da115e”> ds =
⌡
| s − s0 = | v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | ||
Please notice something about these equations., Når jerk er nul, vender de alle tilbage til bevægelsesligningerne for konstant acceleration. Zeroero jerk betyder konstant acceleration, så alt er rigtigt med den verden, vi har skabt. (Jeg har aldrig sagt konstant acceleration var realistisk. Konstant rykk er lige så mytisk. I hyperte .tbook worldorld er imidlertid alle ting mulige.)
hvor skal vi gå næste? Skal vi arbejde på et hastighedsforskydningsforhold (den tredje bevægelsesligning for konstant rykk)?,
| v = | v0 + a0t + ½jt2 | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| v = | f(s) |
How about an acceleration-displacement relationship (the fourth equation of motion for constant jerk)?,
| a = | a0 + jt | |
| + | ||
| s = | s0 + v0t + ½a0t2 + ⅙jt3 | |
| = | ||
| a = | f(s) |
I don’t even know if these can be worked out algebraically. I doubt it. Look at that scary cubic equation for displacement., Det kan ikke være vores ven. I øjeblikket kan jeg ikke blive generet. Jeg ved ikke, om det ville fortælle mig noget interessant. Jeg ved, at jeg aldrig har brug for en tredje eller fjerde bevægelsesligning for konstant rykk — endnu ikke. Jeg overlader dette problem til matematikere i verden.
Dette er den slags problem, der adskiller fysikere fra matematikere. En matematiker ville ikke nødvendigvis bekymre sig om den fysiske betydning og kunne bare takke fysikeren for en interessant udfordring., En fysiker ville ikke nødvendigvis bekymre sig om svaret, medmindre det viste sig at være nyttigt, i hvilket tilfælde fysikeren helt sikkert ville takke matematikeren for at være så nysgerrig.
konstant intet
denne side i denne bog handler ikke om bevægelse med konstant acceleration, eller konstant ryk, eller konstant snap, knitren eller pop. Det handler om den generelle metode til bestemmelse af bevægelsesmængderne (position, hastighed og acceleration) med hensyn til tid og hinanden for enhver form for bevægelse., Proceduren for at gøre det er enten differentiering (finde derivatet) …
- derivatet af position med tiden er hastighed (v = dsdt).
- derivatet af hastighed med tiden er acceleration (a = dvdt).
eller integration (at finde den integrerende)…
- integralet af acceleration over tid er ændringen i hastighed (∆v = ∫et dt).
- integralet af hastighed over tid er ændring i position (s S = v v dt).
Her er den måde, det fungerer på. Nogle karakteristiske for bevægelsen af et objekt er beskrevet af en funktion., Kan du finde derivatet af denne funktion? Det giver dig et andet kendetegn ved bevægelsen. Kan du finde sin integral? Det giver dig en anden egenskab. Gentag begge handlinger så mange gange som nødvendigt. Anvend derefter de teknikker og begreber, du lærte i calculus og relaterede grene af matematik, for at udtrække mere mening — rækkevidde, domæne, grænse, asymptote, minimum, maksimum, ekstremum, konkavitet, bøjning, analytisk, numerisk, nøjagtig, omtrentlig og så videre. Jeg har tilføjet nogle vigtige noter om dette til resum .et for dette emne.,
