Den Fourier-transformation er en generalisering af den komplekse Fourier-serien i den grænse som 
. Udskift den diskrete 
med den kontinuerlige 
, mens 
., id=”419aba94c7″>
is called the inverse (
) Fourier transform., Den notation 
er indført i Trott (2004, p. xxxiv), og 
og 
er det nogle gange også bruges til at betegne den Fourier-transformation og invers fouriertransformation, henholdsvis (Krantz 1999, s. 202).
Bemærk, at nogle forfattere (især fysikere) foretrækker at skrive omdanne i form af kantede frekvens 
i stedet for oscillationsfrekvens 
.,”25d609f7e8″>
is sometimes used (Mathews and Walker 1970, p., 102).,div>
The Fourier transform 
of a function 
is implemented the Wolfram Language as FourierTransform, and different choices of 
and 
can be used by passing the optional FourierParameters-> 
a, b
option., Som standard tager Languageolfram-sproget Fourierparametre som 
. Desværre er en række andre konventioner i udbredt brug. For eksempel: 
anvendes i moderne fysik, 
bruges i ren matematik-og systemudvikling, 
bruges i sandsynlighedsregning til beregning af den karakteristiske funktion, 
bruges i klassisk fysik, og 
bruges i signalbehandling. I dette arbejde, efter Brace .ell (1999, s., 6-7), antages det altid, at 
og 
medmindre andet er angivet. Dette valg resulterer ofte i stærkt forenklede transformationer af fælles funktioner såsom 1, 
osv.,a Fourier transform can always be expressed in terms of the Fourier cosine transform and Fourier sine transform as
 |
(19)
|
A function 
has a forward and inverse Fourier transform such that
 |
(20)
|
provided that
exists.,
2. Der er et begrænset antal diskontinuiteter.
3. Funktionen har afgrænset variation.,d”>
The Fourier transform is also symmetric since 
implies 
.,td>
where 
.,
Der er også et noget overraskende og ekstremt vigtigt forhold mellem autokorrelationen og Fourier-transformationen kendt som theoreiener-Khinchin-sætningen., Let 
, and 
denote the complex conjugate of 
, then the Fourier transform of the absolute square of 
is given by
 |
(33)
|
The Fourier transform of a derivative 
of a function 
is simply related to the transform of the function 
itself.,d34e4″>
then
 |
(40)
|
The first term consists of an oscillating function times 
., id=”3f4582000b”>
so 
has the Fourier transform
 |
(57)
|
If 
has a Fourier transform 
, then the Fourier transform obeys a similarity theorem., id=”ec13a9034f”>
where 
denotes the cross-correlation of 
and 
and 
is the complex conjugate.,
Enhver operation på 
, der efterlader sit område uændret blade 
uændret, siden
 |
(64)
|
Den følgende tabel opsummeres nogle fælles fouriertransformation par.,or 
, 
by
 |
 |
 |
(67)
|
 |
 |
 |
(68)
|