Post-offentliggørelse aktivitet

Kurator: Malcolm A. H. MacCallum

Bidragydere:

Eksakte Løsninger af Einsteins Ligninger

Einsteins Generelle Relativitetsteori er den førende teori om rum-tid og alvoren: det er stærkt ikke-lineære. Nøjagtige løsninger af Einsteins ligninger modellerer således graviterende systemer og muliggør udforskning af teoriens matematik og fysik.,

Indhold

  • 1 Resumé
  • 2 Einsteins ligninger
  • 3 Gør de ligninger, tractable
    • 3.1 Symmetri grupper
    • 3.2 “Algebraically særlige” løsninger
    • 3.3 Andre forenklede forudsætninger
  • 4 Løse ligninger
  • 5 Nogle vigtige løsninger
    • 5.1 Schwarzschild og Kerr løsninger
    • 5.2 Friedmann-med masser af naturligt lys-Robertson-Walker (FLRW) løsninger
    • 5.3 masser af naturligt lys-Tolman-Bondi – (LTB) løsninger
    • 5.4 Plane bølger
    • 5.,5 Taub-MØTRIK familie
  • 6 Referencer
  • 7 Se også

Oversigt

Einsteins felt ligninger af den generelle relativitetsteori er 10 nonlinearpartial differentialligninger i 4 uafhængige variable. Dette komplicerede system kan ikke generelt integreres, selv om det er blevet omformuleret som en selvkoblet integreret ligning (Sciama, Gilaylenand Gilman, 1969). Analytiske og numeriske tilnærmelser kan anvendesat udforske fysiske situationer. Nøjagtige løsninger, selvom de opnås Vedat indføre forenklende antagelser, supplerer sådanne tilgange iflere måder., De repræsenterer den fulde ikke-linearitet, der tillader undersøgelse af stærke feltregimer; de giver baggrunde, hvorpå der kan opbygges forstyrrelsestilkendegivelser; og de muliggør kontrol af numerisk nøjagtighed.

udtrykket ‘nøjagtig løsning’ er ikke veldefineret: normalt betyder det en løsning, hvor alle mængder udtrykkes af elementære funktioner eller de velkendte specialfunktioner, men undertiden udvides det til at omfatte løsninger, der kun er kendt op til opløsning af en eller fleredifferentielle ligninger., De kendte eksakte løsninger opnås fra enbred række antagelser, hvoraf den vigtigste af disse erindstilling af symmetrigrupper eller specielle former for krumtensoren. Blandt de kendte løsninger har nogle været særligebetydning fysisk eller matematisk.

en række bøger giver undersøgelser af nøjagtige løsninger, og bør høres, hvis der ønskes mere detaljerede oplysninger. For en generel undersøgelse af løsninger indeholdende den enkle energi-momenta givet ved vakuum, elektromagnetisme og perfectfluids se Stephani et al., (2003) for inhomogent cosmologicalsolutions (defineret som dem, der indeholder som et særligt tilfælde, en af de FLRW modeller diskuteret nedenfor) se Krasi$\acute{\rm n}$ski (1997), og for detaljerede undersøgelser af somespecial klasser se Griffiths (1991) og Belinskii og Verdaguer(2001).

For fysiske fortolkninger af mange vigtige løsninger seeBi$\check{\rm c}\acute{\rm a}$k (2000) og Griffiths og Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Det skal bemærkes, at en nøjagtig løsning ikke nødvendigvis har enunik fortolkning., For eksempel, blandt de eksempler, der er givet senere Schwarzschild løsning dermed fortolkes som udtryk for enten den ydre region af en sphericalmass, eller samspillet regionen efter kollision af to particularplane bølger. Et beslægtet punkt er, at forskellige kilder kan give anledning til den samme nøjagtige løsning.

Einsteins ligninger

Einsteins Generelle Relativitetsteori generaliserer ne .tons gravityteori til en kompatibel med speciel relativitet., Den modellerer rum-og tidspunkter som en(pseudo-)Riemannian firedimensionel manifold med ametrisk \(g_{ab}\) af signatur \(\pm 2\) (tegnet valg isconventional). Testpartikler antages at bevæge sig på geodesikerne af denne manifold og tidevandsgravitationskræfter er beskrevet af denskrumning.

De ligninger, der er blevet indført i form af et koordinatsystem grundlag butare ofte skrevet i den form, der fås ved at antage, at en tetrad (achoice på grundlag af den tangent vektorrum, hvis grundlag vektorer haveconstant skalar produkter), eller i form af spin-koefficient formalisme.,

Fordi ved at starte fra et andet sæt, der karakteriserer assumptionsone kan nå frem til den samme løsning i forskellige koordinater ‘ækvivalens problem’ i at beslutte, hvornår de to mangfoldigheder er (lokalt) indbygget, dvs isometrisk, er af betydning. Dette er formelt undecideablemen i praksis kan normalt løses ved hjælp af metoder baseret på ideer fra Cartan (se kapitel 9 i Stephani et al. (2003)).,

De samme ligninger (tilsvarende) har været anvendt, og løst i højere dimensioner (se Sort ring), med nogle af de samme teknikker, men indtil videre meget lidt af den fulde landskab af mulige løsninger i 5 eller flere dimensioner har været undersøgt.

gør ligningerne tractable

forfattere antager undertiden en metrisk form og bruger e.. (1) at beregne energi-momentum (dette er den forældede \(g\) – metode beskrevet afsynge (1971)). Da ingen ligning er faktisk løst, resultatet ikke fortjener at blive kaldt en løsning., Men de nøjagtige løsninger opnås generelt ved mindre ekstreme forenklinger, som for en given form for energiimpuls automatisk kan sikre, at nogle af ligningerne er sande, samtidig med at andre kan løses.

symmetri grupper

opløsninger opnået ved sådanne antagelser er omfattet af Del II ofStephani et al. (2003): se også Griffiths (1991), Belinski andVerdaguer (2009) og Bolejko et al (2010).,

“Algebraically særlige” løsninger

En ikke-nul Weyl tensor har den egenskab, at der er fire “principal null retninger” (PNDs),der er defineret af null vektorer adlyde\bc}k^bk^c=0.\] Den algebraiske struktur af Weeyl tensor er derefter karakteriseret vedom to eller flere af PND ‘ erne falder sammen. Når mindst to gør det, antages det at give en passende energi-momentum, den metriske tensor kan væreimplificeret., Sådanne rumtider er kendt som’ algebraisk specielle’, og kan klassificeres i Petrov-typerne efter antallet af sammenfaldende: detaljerne om de mulige tilfælde er angivet i artiklen om spin-koefficientformalisme. For energi-impuls normalt i sådanne spacetimes, den vektor, der inden for de gentagne PND isgeodesic og shearfree af Kundt-Thompsons sætning, som (se Stephani etal (2003), theorem 7.5) generaliserer Goldberg-Sachs-sætning. Når kun to PND ‘ er falder sammen, er rumtidenaf Petrov type II., I artiklen om spin-koefficientformalismen er eksemplet på Robinson-Trautman solutions (Petrov type II metrics, hvor feltet af gentagne pnds er T .ist-free) er afledt i detaljer.

de kendte algebraisk specielle løsninger diskuteres i del III ofStephani et al. (2003). Der er naturligvis en overlapning med løsningeropnået ved at antage symmetrigrupper. For eksempel er alle sfæriskesymmetriske løsninger er af Petrov Type D eller som et specielt tilfælde konformtflat.,

Andre forenklede forudsætninger

Nogle andre fagområder af interesse opstår fra følgende antagelser

  • der findes en konstant vektor eller tensor felter
  • krumning er tilbagevendende, komplekse tilbagevendende eller symmetrisk (disse er forhold om f.eks.,, \(R_{abcd;e}\))
  • der er et mord eller Drab-Yano tensor
  • rumtiden indrømmer konform bevægelser eller collineations (vektor felter skabe en transformation, under hvilke den variabel, der er knyttet til et multiplum af sig selv eller krumning til sig selv)
  • rumtid indeholder overflader med særlige egenskaber (for eksempel, fladskærms tre-dimensionelle skiver)
  • rumtiden har særlige indlejring egenskaber

En særlig udbredt i tilfælde, hvor der er en konform motion forwhich flere er en konstant: sådanne transformationer er calledhomotheties., Deres genererende vektorfelter adlyder\hvor \(c\) er en konstant. Et betydeligt antal kendte løsninger indrømmer homotetier, selvom manyof disse blev opdaget uden tilstedeværelsen af homothety beingassumed.

Løsning af ligninger

Når man har forenklet den variabel, og der er indført en suitableenergy-momentum tensor, de resterende ikke-triviel ligninger vil forma system af differentialligninger (eller, i tilfælde af spacetimehomogeneity, algebraiske ligninger). Der er ingen generel algoritme tilalle tilfælde, men nogle metoder, der anvendes på andre områder, har vist sig nyttige.,

Løgn punkt symmetrier af system af ligninger, selv om nyttige inmany situationer (se fx Stephani (1989) eller Olver (1986)), usuallyreduce i rumtiden forbindelse til diffeomorphisms af manifold(bare for at sige, at resultaterne er at koordinere invariant) eller toisometric eller homothetic bevægelser. Der er dog tilfælde, (forexample, spherically symmetrisk shearfree perfekt væsker), hvor Liepoint symmetrier har været behjælpelige med at finde exactsolutions. Generaliserede symmetrier, forlængelse og linearisering kanogså være til hjælp.,

især løsninger med to pendling Killing vektorer (der handler onspacelike eller timelike to-dimensionelle overflader), og som indeholder matterwith passende energi-momentum, er modtagelig for metoder fra theoryof integrable systemer, såsom harmoniske kort (potentielle spacesymmetries), Bäcklund transformationer, inverse scattering, andRiemann-Hilbert problemer. For eksempel kan alle stationære a .isymmetricvacuum rumtider opnås ved hjælp af sådanne genererende teknikkerstart fra fladt rum. Blandt resultaterne er solitonic løsninger.,

Nogle vigtige løsninger

rigtig mange løsninger, der er kendt, som en gennemgang af referencer citedin Resuméet vil vise, og mange af disse har ikke været fullyinterpreted fysisk. At kende den metriske i lukket form, elucidationof dets fysiske egenskaber kan stadig være svært (se Griffiths og Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009)):for eksempel, geodætiske ligninger, hvis løsninger giver possibletracks af test partikler og lys stråler, som kan være vanskelige selv for simplemetrics. Blandt de vigtigste løsninger er de nu kortbeskrevet., (Bemærk, at selv om de valgte løsninger alle er algebraiskspecielle og flere er sfæriskysymmetriske, er dette langt fra tilfældet for alle løsninger.) De originale papirer, hvor de valgte løsninger først blev afledt, er alle let tilgængelige, bortset fra det første plane wavesaves-papir, der er inkluderet i “Golden Oldies” – serien.

Schwarzschild og Kerr løsninger

Schwarzschild parameter er enestående ekstern løsning for en spherically symmetrisk krop i en omgivende tomme rum., Dette antyder, at generel relativitet deler med Ne .tonsk tyngdekraft egenskaben om, at det ydre felt af ethvert sfærisk legeme kun afhænger af dets samlede masse og ikke af den radiale fordeling af sagen. Fortolkning af løsningen som den samme som for en punktmasse i midten er imidlertid utilfredsstillende, fordi ovenstående formular kun er egnet i \(r> 2m\). I de tidlige år efter opdagelsen af løsningen, forskerne var ikke klart, om \(r=2m\), hvor metriske af E.. (5) klart har en ental koefficient, repræsenterede en sand singularitet., Det er nu godt forstået, at det er en” begivenhedshorisont”, grænsen for et sort hul, og at den komplette analytiske fortsættelse af løsningen er ental ved \(r=0\). For historiske oplysninger, se Eisenstaedt (1982) og for en generel diskussion af globale egenskaber spacetimes, herunder dem, der diskuteres her, se Hawking og Ellis (1973). De Sch .ar .schild løsning forudsat et mønster for senere undersøgelser af singularities og sorte huller.

denne løsnings unikke viser, at generel relativitet ikke indrømmer monopolære gravitationsbølger., Det er også den laveste rækkefølge tilnærmelse til området for virkelige astronomiske organer som Jorden og solen. Beregning af geodesik på dette felt har muliggjort nøjagtige forudsigelser af lysbøjning af Solen og fremskridt med Perihelion of Mercury, to af de “klassiske tests” af generel relativitetsteori.

Sch .ar .schild-løsningen er et specielt tilfælde af Kerr-opløsningen (fundet i 1963), der repræsenterer det ydre felt i et roterende sort hul. Dette kan skrives som en forekomst af E.. (4) med \(e=g=l=\Lambda=0\) og det er sædvanligt at skrive \(a^2:=\gamma\)., Forholdet mellem spin til masse(i geometrizeded enheder) er derefter \(- en/m\). Sch .ar .schild-og Kerr-løsningerne danner baggrund for studier af fysikken inden for sorte huller, der bruges til modellering af Røntgenbundne kilder og aktive galaktiske kerner i astronomi. Observationer af stråling fra noget nær sorte huller, der gør det muligt for os at udlede, at der er astronomiske sorte huller med \(a/m > 0.95\): se Sorte huller.

Schwarzschild og Kerr sorte huller kan let generaliseres til at omfatte ikke-nul elektromagnetisk afgifter og (bruger-Eq., (4) for eksempel) ikke-nul \(l\) og \(\Lambda\). Der er unikke teoremer viser (med nogle tekniske forbehold), at disse familier er de unikke stationære sorte huller med sfærisk topologi af en ikke-ental begivenhed horisont.

Friedmann-Lematretre-Robertson-solutionsalker (FLR.) løsninger

disse løsninger giver geometrien af “standardmodellen” i moderne kosmologi og giver således baggrunden for et enormt antal artikler, der studerer kosmologisk fysik, herunder forstyrrelser af løsningerne., Deres geometri blev afklaret ved Robertson og Walkeralker, uafhængigt, i 1930′ erne, og de hyppigst anvendte specifikke løsninger blev fundet ved Friedmann og ved Lema .tre i 1920 ‘ erne: dermed den lange navn.

Lema .tre-Tolman-Bondi (LTB) løsninger

disse sfærisk symmetriske løsninger er løsningerne til e.. (2) indeholdende “støv” (en perfekt væske med \(p=0\)) med \(\Lambda=0\). De generaliserer FLR. – løsninger til Støv til inhomogene løsninger., Da støv antages at være en passende repræsentation af universets stofindhold i stor skala på nuværende tidspunkt, har LTB-løsninger været meget brugt til at tilvejebringe nøjagtige modeller af strukturer i universet (se Bolejko et al (2010)). De indeholder som særlige tilfælde både Sch .ar .schild og dust FLR.løsninger.

Plane bølger

disse rumtider giver et vigtigt eksempel på uventet global struktur., Hvis man slutter sig til en plan bølge til flade rum på hver side af nogle vifte af \u\), der danner en “sandwich-bølge”, så lyskegle fra et punkt på den ene side i højere grad fokuserer på den anden side, som fundet af Penrose (1965). Sandwich bølge struktur løst spørgsmålet om, hvorvidt den gravitationelle bølger, som først blev fundet, ved hjælp af tilnærmelser, som Einstein kunne være blot at koordinere effekter: Bondi, Pirani og Robinson (1959) viste, at gratis test-partikler, der er relativt hurtigere passage gennem den bølge regionen, hvilket betyder, at den bølge skal transportere energi.,

Plane bølger er den første tilnærmelse til gravitationsstråling langt fra en kilde i et ellers tomt rum. De er et specialtilfælde af den mere generelle pp-bølger, løsninger med en covariantly konstant null Killing vektor reresenting fly-fronted gravitationsbølger med parallelle stråler og fundet i 1925 af Brinkman. Hele denne klasse er af Petrov type N (alle fire pnds sammenfaldende) eller konformt flad.

Taub-NUT-familien

Taub-NUT spacetime har meget uventede globale egenskaber., Den NUTregion indeholder closed timelike linjer og ingen fornuftig Cauchy overflader,der er to inequivalent maksimal analytiske udvidelser af theTaub region (eller en ikke-Hausdorff manifold med begge udvidelser), thespacetime er nonsingular i den forstand, at en krumning singularitet,og der er geodesics af finite affine parameter længde. Disse egenskaber gav anledning til titlen på Misner ‘ s 1963 papir (nogle af disse egenskaber deles af theother Taub-NUT målinger)., Den løsning havde en stor indflydelse på undersøgelser af exactsolutions og kosmologiske modeller, som er rumligt-homogene, andmore generelt om, hvilke der er hypersurface-homogene andself-lignende, på cosmologyin generelt, og på vores forståelse af den globale analyse andsingularities i rum-tid.Belinski, V A and Verdaguer, e (2001). Gravitationelle solitoner. Cambridge University Press, Cambridge. Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularities de la solution de Sch .ar .schild: (1915-1923). Bue. Hist. Præcis Sci. 27: 157-198. Ellis, G F R and Madsen, M (1991)., Nøjagtige skalære felt kosmologier. Klasse. Quant. Grav. 8: 667-676.

Griffiths, JB (1991). Kolliderende plane bølger i generel relativitet. O .ford matematiske monografier. Oxford University Press, Oxford. ha Hawking, s and and Ellis, GF R (1973). Den store skala struktur rum-tid. Cambridge University Press, Cambridge.

Krasi$\akut{\rm n}$ski, – en (1997). Inhomogene kosmologiske modeller. Cambridge University Press, Cambridge.

Olver, P J (1986). Anvendelser af Lie grupper til differentialligninger. Springer-Verlag, Heidelberg.

Penrose, R (1965)., En bemærkelsesværdig egenskab af flybølger i generel relativitet. Pastor Mod. Phys. 37: 215. Sciama, D;; Sciaylen, P C og Gilman, R C (1969). Generelt kovariant integreret formulering af Einsteins feltligninger. Fysisk Anmeldelse En 187: 1762. Stephani, H (1989). Differentialligninger-deres løsninger ved hjælp af symmetrier. Cambridge University Press, Cambridge.

Synge, J L (1971). Relativitet: den generelle teori. Nordholland, Dordrecht.

Se også

sort hul, sort ring, kosmologisk konstant, generel relativitet,Spin-koefficientformalisme