differentialregning bruges til at finde ændringshastigheden for en variabel-sammenlignet med en anden variabel.
i den virkelige verden kan den bruges til at finde hastigheden på et bevægeligt objekt eller til at forstå, hvordan elektricitet og magnetisme fungerer. Det er meget vigtigt for at forstå fysik—og mange andre videnskabsområder.
differentialregning er også nyttig til graftegning., Det kan bruges til at finde hældningen af en kurve, og de højeste og laveste punkter i en kurve (disse kaldes henholdsvis maksimum og minimum).
variabler kan ændre deres værdi. Dette adskiller sig fra tal, fordi tal altid er de samme. For eksempel er tallet 1 altid lig med 1, og tallet 200 er altid lig med 200. Man skriver ofte variabler som bogstaver som bogstavet.:”.” kan være lig med 1 på et tidspunkt og 200 på et andet.
nogle eksempler på variabler er afstand og tid, fordi de kan ændre sig., Hastigheden af et objekt er, hvor langt det rejser i en bestemt tid. Så hvis en by er 80 kilometer (50 miles) væk, og en person i en bil kommer der på en time, har de rejst med en gennemsnitlig hastighed på 80 kilometer (50 miles) i timen. Men dette er kun et gennemsnit: måske rejste de hurtigere nogle gange (siger på en motorvej) og langsommere på andre tidspunkter (siger ved et trafiklys eller på en lille gade, hvor folk bor). Det er bestemt vanskeligere for en chauffør at finde ud af en bils hastighed ved kun at bruge dens kilometertæller (afstandsmåler) og ur—uden et speedometer.,
indtil calculus blev opfundet, var den eneste måde at arbejde på at skære tiden i mindre og mindre stykker, så gennemsnitshastigheden over den mindre tid ville komme tættere og tættere på den faktiske hastighed på et tidspunkt. Dette var en meget lang og hård proces, og måtte gøres hver gang folk ønskede at arbejde noget ud.
på en kurve har to forskellige punkter forskellige skråninger. De røde og blå linjer er tangenter til kurven.,
et meget lignende problem er at finde hældningen (hvor stejl den er) på ethvert tidspunkt på en kurve. Hældningen på en lige linje er let at træne — det er simpelthen hvor meget det går op eller ned (Y eller lodret) divideret med hvor meget det går over (. eller vandret). På en kurve er hældningen imidlertid en variabel (har forskellige værdier på forskellige punkter), fordi linjen bøjer. Men hvis kurven skulle skæres i meget, meget små stykker, ville kurven på punktet næsten ligne en meget kort lige linje., Så for at udarbejde sin hældning kan en lige linje trækkes gennem punktet med samme hældning som kurven på det tidspunkt. Hvis dette gøres nøjagtigt rigtigt, vil den lige linje have samme hældning som kurven og kaldes en tangent. Men der er ingen måde at vide (uden kompleks matematik) om tangenten er helt rigtig, og vores øjne er ikke nøjagtige nok til at være sikre på, om det er nøjagtigt eller simpelthen meget tæt.
hvad Ne .ton og Leibni.fandt var en måde at udarbejde hældningen (eller hastigheden i afstandseksemplet) nøjagtigt ved hjælp af enkle og logiske regler., De delte kurven i et uendeligt antal meget små stykker. De valgte derefter point på hver side af det interval, de var interesseret i, og udarbejdede tangenter på hver. Da de punkter flyttes tættere sammen mod det punkt, de var interesseret i, hældningen nærmede sig en bestemt værdi som tangenter nærmede sig den reelle hældning af kurven. Den særlige værdi, den nærmede sig, var den faktiske hældning.
et billede, der viser, hvad mean og + + H betyder på kurven.,
matematikere har vokset denne grundlæggende teori til at lave enkle algebra regler—som kan bruges til at finde derivatet af næsten enhver funktion.